ния получаем переходные процессы линейной модели двигателя в ’’боль­ шом” — (Дхб, АУб)- Очевидно, что имеющая место разница в переход­ ных процессах в ’’большом” дх = (А хб - А х %), by = (А уб - Ау%) являет­ ся основной для расчета матриц (Qxu, Qyu) по методу наименьших квад­ ратов :

QyU

Вычислительный алгоритм А4 идентификация билинейной модели двига­ теля (2.20) приведен в табл. 2.8.

Пример 8. Идентификация двухвального ТРДДФ. Указанный алгоритм был использован при идентификации билинейной модели двигателя с воз­ действием по GT:

Апв = а ц А п в + a1 2 AnK +byAGT +£1“ (Див ДСТ) + £?? (Дик ДСТ), 1

AhK =a2 1 AnB + a2 2 AnK +b2 AGT + g2 4(AnB AGT) + g%%(AnKAGr ),\

где ay, bj — коэффициенты линейной части; g"n> • • •. 822 — коэффициенты нелинейной части билинейной модели.

Линейной части билинейной модели двигателя соответствуют матрицы А (2 X 2), В (2 X 1), полученные в предыдущем примере.

Нелинейная часть билинейной модели (матрица Qxu (2X2)) ’’восста­ навливалась” по переходным процессам в ’’большом” —в 30%-ной окрест­ ности установившегося режима двигателя (ик = 95%). Результаты вы­ числений по алгоритму А4 из табл. 2.8 приведены в табл. 2.9.

Диагностическая проверка билинейной модели двигателя показала, что ошибка воспроизведения переходных процессов по частоте вращения вентилятора и компрессора (по фазовому вектору) от режима малого газа до максимального режима не более 5% (рис. 2.10, а) при действии вектора управления (рис. 2.10, б) .

В заключение необходимо указать на то, что методология идентифи­ кации современного авиационного двигателя, изложенная в данном па­ раграфе, применима к ’’чистому эксперименту”, т.е. при отсутствии пог­ решностей в переходных в математической модели процессов двигателя.

§ 2.3. ВЛИЯНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ

НА ТОЧНОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ

Геометрию ’’точного” решения задачи идентификации для большей наг­ лядности дадим применительно к одновальному ТРД.

Рассмотрим задачу идентификации модели двигателя:

где Гд —постоянная времени двигателя; кп —коэффициент передачи по расходу топлива; Ап = n{t) - ns, AGT = GT(t) - GTS —малые отклонения параметров рабочего процесса двигателя относительно установившегося режима (ns, GTS) .

Переходные процессы этого двигателя были получены по системе урав­ нений полной нелинейной модели для земных условий полета (М, Н = 0).

Критерий адекватности задачи идентификации при этом соответствует сумме квадратов погрешности воспроизведения процесса по частоте вра­ щения:

ся через (д, Ъ) , при этом д = дор* ± Ад, b = b opt ± АЬ.

На рис. 2.11 показана гиперповерхность, отвечающая критерию адек­

ния" параболоида этими поверхностями представляют собой обычные дву­

лора в окрестности точки минимума (дор^ b opt), то получим выражение,

полнив преобразования, получим уравнение, которое и определяет эллипс

Рис. 2.11. Гиперповерхность критерия адекватности 1п (а, Ъ) при идентификации одновального ГТД

Рис. 2.12. Эллипс ошибок при идентификации одновального ГТД Х т = (ат, Ьх) ^ — "точное” решение задачи Хп = (ап, Ьп) ^ “ приближенное реше­

ние задачи, rlt гг —полуоси эллипса ошибок, —угол поворота главных осей эллип­ са ошибок

Предположим, что для оператора А существует обратный оператор А _1, такой, что имеет место единственное ’’точное” решение исходного уравне­ ния: х х = А ~ 1у г.

Рассмотрим влияние искажений в приближенном уравнении (2.36) на точность решения х , когда имеют место погрешности.

Первый случай

Обратимся к приближенному уравнению (2.36) с искажением только в правой части у = у г + %у , а именно Ах = у г + %у . Так как для оператора А существует ограниченный обратный оператор А ' 1, то приближенное урав­

Второй случай

Рассмотрим приближенное уравнение (2.36), в котором имеются искаже­ ния только в самом операторе А , а именно когда приближенное уравнение имеет вид (А + В)х - у х, где В —матрица возмущений. Оператор А считает­ ся корректным, как и в случае 1, для него существует обратный Л "1. Если возмущение в операторе А мало, т.е. матрица возмущений В такова, что для числовых характеристик (норм) матриц выполняется условие II А~1 В II < </* < 1, то приближенное уравнение можно преобразовать к виду

А [Е + А~*В]х = Ух,

где Е —единичная матрица (тождественный оператор).

Умножим полученное уравнение слева на Л "1, в результате чего [£+ СА - 1В ) ] х = А ' 1у х .

Решение последней системы уравнений отсюда равно

x = * i + k =[Е + (А~1В )] - 1 А-'ух =[Е + ( А ' 1В )] - 1х 1,

при этом смещение в решении оценивается выражением ix = 1[E + i A - ' B ) ] - 1 - Е \ х г .

Норма этого смещения %х оценивается величиной, зависящей от r > IL4“12?II:

Третий случай

Теперь можно перейти к общему случаю искажений исходного уравнения (2.36). Для этого рассмотрим три системы уравнений, связанных с (2.36):

а) ’’точная” система, А х= ух; б) возмущение в правой части, Ах = у г + %у \

в) возмущение в правой части и в операторе, (А + В)х =Ух + %у -

Пусть эти системы уравнения имеют свои решения, соответственно равные Х\, х 2, *з- Сравнение решений первого (точного) уравнения со вторым, а второго с третьим приводит к следующим оценкам:

Из этих оценок непосредственно вытекает неравенство для смещения в

Воспользуемся выражением II х\ II < \\A~l II X IIу х II и получим из послед­ него неравенства оценку для смещения в виде

Введем в рассмотрение величину ц(А) = II ЛИХ IIИ-1 II, которая назы­ вается числом обусловленности матрицы А (см.: [2.8]). Обратимся к неравенству II х 3 - х г II и, приняв, что г = ПИ"1 II X II511, в результате по­ лучим

Это неравенство позволяет оценивать относительную погрешность в

Как правило, в практике решения задач индентификации ГТД искажения в (А, у г) имеют случайный характер и достоверных суждений о структуре искажений (5, %у) не имеется. В связи с этим получение интервальных оценок точности решения задач идентификации лучших, чем (2.38), (2.39), оказывается затруднительным [2.5].

Неравенство (2.39) для ’’приближенного” решения задачи идентифика­ ции используется для оценки верхней границы смещения коэффициентов линейной модели двигателя, вызванного влиянием помехи искажений в исходных переходных процессах. Окончательная формула для относи-

Для количественной оценки смешения в коэффициентах линейной модели двигателя необходимо вычислить меру обусловленности матрицы

( й ТЮ -

Вычисление собственных значений \ max(v r v) и Xmjn( vTv) на ЭВМ позволяет получить значение меры обусловленности этой матрицы:

Отсюда следует (см. (2.40)), что даже малые погрешности в исходных наблюдениях по (Алв, Дик , Д(7Х) в силу большого значения меры обус­ ловленности матрицы (7Jr “D) двухвального двигателя приводят к недопус­ тимому смещению в искомых коэффициентах двигателя. В данном случае даже очень малые искажения в наблюдениях (~ 0,01%) по (Длв, Длк , AGT) дают значительные погрешности, так как при этом уровне искажений знаменатель выражения (2.40) стремится к нулю:

II d(vTv) II

Систему ’’приближенных” уравнений (2.36) с матрицей ( v T v) неболь­ шим значением меры обусловленности ii(~uTv) принято называть плохо обусловленными системами линейных уравнений [2.8 1.

Физическими причинами плохой обусловленности матрицы ( v T~v) двух­ вального двигателя являются: а) значительная газодинамическая связь

роторов турбокомпрессора; б) близкие значения моментов инерции рото­ ров.

Полученные оценки смешения в коэффициентах линейной модели двига­ теля говорят о том, что при решении задачи идентификации большое вни­ мание нужно уделять точности исходной информации.

В табл. 2.12 приведены результаты решения задачи идентификации по алгоритму для линейной модели двухвального ТРДДФ при воздействии по (GT, F c). ’’Точное” решение задачи было получено по ’’точным” пере­ ходным процессам двигателя, а ’’приближенное” решение соответствует процессам со случайными искажениями относительно ’’точных” процессов.

Из табл. 2,12 (линейная модель двухвального двигателя) видно, что ’’при­ ближенное” решение задачи идентификации ТРДЦФ обладает значительным

Таким образом, решение задачи идентификации линейной модели сов­ ременного авиационного двигателя неустойчиво.

В настоящее время разработаны методы выделения устойчивой части решения задачи идентификации, среди которых наибольшей популярностью пользуются Методы, основанные на регуляризации решения по А.Н. Тихо­ нову [2.17]. С помощью этих методов можно из приближенного решения выделить его устойчивую часть, согласуясь при этом с точностью измерения

Уровень искажений в ’’точных” процессах двигателя был следующим:

оп = 5 об/мин; OGT = 10 кг/ч.

Результаты вычислений по алгоритму идентификации с регуляризацией решения по А.Н. Тихонову приведены в табл. 2.13.

Диагностическая проверка регуляризованного решения задачи иденти­ фикации показала, что средняя ошибка воспроизведения частоты вращения ТРД составила ~ 9,9 %.

Вычислительный алгоритм А5 решения задачи идентификации с регуля­ ризацией по А.Н. Тихонову представлен в табл. 2.14. Идею выбора регуля­ ризованного по А.Н. Тихонову решения задачи идентификации иллю­ стрирует рис. 2.13. Очевидно, что регуляризованное решение XR ближе к точному решению Х т, чем приближенное решение Х п.

ИСКЛЮЧЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ

При решении задачи идентификации с помощью алгоритма А5 по искажен­ ным переходным процессам (х (t) ,u (t)) вносятся дополнительные ошибки в матрицы (А, В) двигателя из-за погрешностей в вычислении производных d x / d t ^ ( x i+1 - X i)lA t .

Действительно, пусть параметр х (г) измеряется на двигателе со случай­

§ 2.4. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ГТД ПО РЕЗУЛЬТАТАМ НАТУРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

От начала проектирования до серийного производства каждый авиационный двигатель сопровождает его математическая модель — аналог реального двигателя. Для успешного решения задач проектирования и доводки цифровой САУ двигателя необходимо, чтобы его математическая модель обладала требуемой адекватностью, т.е. воспроизводила динамические процессы реального двигателя с заданной точностью. Обычно к началу проведения натурного эксперимента с реальным двигателем в распоряже­ нии исследователей имеется экспериментальная математическая модель двигателя, в которой учитываются основные характеристики элементов и узлов двигателя, полученных из предшествующих экспериментов. Эти обстоятельства позволяют с помощью математического моделирования двигателя на ЭВМ и соответствующего решения задачи идентификации, например с помощью алгоритма АЗ из табл. 2.6, получить начальную оцен­ ку коэффициентов его линейной модели:

Ах = А 0А х + В0Аи,

нейной модели (начальная оценка коэффициентов).

При проведении натурных исследований ввиду объективного расхожде­ ния некоторых реальных и расчетных характеристик двигателя необходимо уточнить коэффициенты ( А 0, В 0, С0, D0) линейной модели, полученные при математическом моделировании.

Применение вычислительных алгоритмов идентификации авиационных двигателей позволяет рассчитать уточненные коэффициенты линейной моде­ ли двигателя, опираясь на априорную информацию —точность эксперимен­ тальных переходных процессов, начальную оценку коэффициентов модели. Очевидно, что согласование линейной математической модели двигателя с результатами натурного эксперимента является одним из важных факто­ ров, которые обеспечивают повышение качества и сокращение времени доводки алгоритмов управления цифровой САУ современных ТРДФ.

Современная экспериментальная установка, на которой проводятся на­ турные эксперименты с авиационным двигателем, представляет собой сложный и дорогостоящий технический комплекс. В него входят: двига­ тель; штатная система управления ГТД; автоматическая система сбора и обработки информации на быстродействующей ЭВМ. Естественное желание исследователей получить с экспериментальной установки как можно более точную и надежную информацию о реальных характеристиках двигателя заставляет многократно повторять единичные эксперименты или проводить последовательные серии связанных между собой экспериментов. Очевидно, что справиться с такой массой экспериментальной информации можно только с помощью современных быстродействующих ЭВМ, оснащенных соответствующими математическими программами:

а) первичной обработки эксперимента (подпрограммы статистической обработки с оценкой степени достоверности наблюдений, приведение наблюдений к физической системе отсчета и т.д.) ;

б) интерпретации результатов наблюдений с целью получения ’’выход­ ных кривых” эксперимента (подпрограммы фильтрации помех, исключе­ ния методических погрешностей датчиков первичной информации и т.п.);

в) оценки искомых параметров математической модели двигателя, так как в натурном эксперименте регистрируются не сами параметры двигате­ ля, а их некоторые проявления (подпрограммы идентификации линейной модели двигателя и т.п.);

г) формирования соответствующей базы данных из ’’выходных кривых” эксперимента и расчетных параметров двигателя (подпрограммы управле­ ния базой данных с целью автоматизированного и оперативного отображе­ ния результатов эксперимента);

д) синтеза ’’настроек” регуляторов цифровой САУ двигателя (подпро­ граммы синтеза цифровых регуляторов).

Совокупность математических подпрограмм составляет программное обеспечение экспериментального комплекса — систему автоматической обработки результатов натурного эксперимента. Такая система должна работать в диалоговом режиме, при котором исследователь управляет про­ цессом обработки информации и по ходу эксперимента оптимизирует пара­ метры цифровой системы управления двигателя. При проведении натурного эксперимента параметры рабочего процесса двигателя измеряются с конеч­ ными уровнями погрешностей и искажений, которые зависят от метрологи­ ческих характеристик системы измерений комплекса. В силу этого в пере­ ходных процессах двигателя — ’’выходных кривых” эксперимента всегда

ний параметров рабочего процесса двигателя.

Как было показано, из-за высокой чувствительности решения задачи идентификации линейной модели ТРДЦФ к помехам и погрешностям подпрограммы идентификации необходимо модифицировать так, чтобы влияние помех и погрешностей было бы минимальным. С этой целью предлагается существенно использовать априорную информацию о коэф­ фициентах линейной моДели (А о, В о, С0, Л 0) , полученных при иденти­ фикации математической модели двигателя на ЭВМ. Для решения задачи идентификации в экспериментальном комплексе с начальной оценкой

Модифицированный алгоритм позволяет оценить в общем случае век-

Решение задачи идентификации в этом случае будем искать из условий минимума регуляризующего функционала 1ХЬ «*= 1,2 ......... и:

где Е — единичная матрица; ( / / , £ / ) ° pt - искомые оценки, зависящие от множителя регуляризации а.

Выбор оптимального значения параметра регуляризации a opt для крите­

Для каждого значения ак по формуле (2.44) рассчитывается оптималь­ ная оценка (/), £7)a opt, которая минимизирует критерий адекватности (2.43), состоящий из суммы невязок:

а) переходных процессов

б) коэффициентов модели

В качестве оптимального значения параметра регуляризации a opt выби­ рается такое число ак, для которого с требуемой точностью выполняется одно из неравенств приближения:

двигателя относительно начальной оценки ( / f0, g° ).

На рис. 2.14, а, б показан процесс изменения ак от а 0 до ос°Ъ%, в резуль­ тате которого будет достигнуто одно из неравенств приближения. спо­ соба выбора коэффициентов ак также следует, что a opt будет достигнуто

Рис. 2.14. Изменение невязок при итерационном изменении множителя регуляриза­ ции от а0 до ocopt

а — график изменения невязки по коэффициентам модели, б - график изменения невязки по переходным процессам

за конечное число шагов, при этом за начальное значение а0 целесообразно

\\vT VII

принять значение а0 --------- ------- , связанное с матрицей причинно-след­

ственных связей v = [vx ! vu] .

Таким образом-, процедура вычисления решения задачи идентификации с регуляризацией по методу А.Н.Тихонова представляет собой последовательное решение задачи при переборе значений (//,£*)££* для к = 1 , 2 , . . . ,

Применение указанной процедуры расчетов обеспечивает надежное вы­ деление устойчивого решения задачи идентификации линейной модели сов­ ременных авиационных двигателей разных конструктивных схем по резуль­ татам натурного эксперимента. Вычислительный алгоритм А7 идентифика­ ции линейной модели ГТД с регуляризацией решения по А.Н.Тихонову и учетом априорной информации приведен в табл. 2.17.

Соотношения из табл. 2.17 были реализованы в виде систем соответ­ ствующих вычислительных алгоритмов на языках программирования современных ЭВМ. С помощью этих вычислительных алгоритмов были обработаны результаты натурных испытаний современных одновальных и двухвальных ГТД. Коэффициенты линейных моделей двигателей, получен­ ные в результате решедия задач идентификации, позволили сократить время разработки цифровых САУ двигателей, повысить качество довод­

ки систем управления на самолете.

П р и м е р 13. Идентификация линейной модели двухвального ТРДДФ,

Рис. 2.15. Блок-схема адаптивного многосвязного цифрового регулятора режима ТРДЦФ

к2, къ — матричные коэффициенты, зависящие от условия полета (М, Нлаг) , г/м — гидромеханическая часть системы управления, 1 — БЦВМ, 2 — линейная модель ТРДЦФ с изменяемыми матричными коэффициентами Л (М, Н) , В (М, Н)

ТРДЦФ определялись коэффициенты усиления ’’оптимальных” по квадра­ тичному критерию цифровых регуляторов двигателя [2.15].

Существует реальная возможность ’’распространения” коэффициентов усиления цифровых регуляторов, найденных по коэффициентам линейной модели двигателя (Л/,Я= 0), на другие условия полета (Af, Я-var). Такая возможность просто реализуется с помощью теории подобия (см. § 2.1), так как коэффициенты 7} линейной модели (см. (2.8)) непосредственно зависят от (р *х, Г*х) . В этом случае на ЭВМ проводится непосредственный

расчет матриц линейной модели двигателя (А, В, С, D ) MtH с помощью формул из табл. 2.19 (алгоритм А 8).

Вычислительный алгоритм А8 позволяет значительно сократить коли­ чество натурных экспериментов с реальным двигателем, так как можно не проводить исследований для некоторых условий полета (М, Я-var).

Пример 14. Расчет коэффициентов линейной модели двухвального ТРДЦФ (А, В, С, D) при изменении условий полета (Af, Я-var).

Формулы из табл. 2.19 были реализованы в виде соответствующего вычислительного алгоритма, по котррому на ЭВМ проводился расчет

приведены результаты соответствующих расчетов для коэффициентов матрицы А.

Из табл. 2.20 следует, что при различных условиях полета (М, Я-var) коэффициенты линейной модели двигателя изменяются более чем в 2 раза.

Коэффициенты линейной модели двигателя (А, В, С, D )M^ =const, рассчитанные указанным способом, можно использовать как начальные оценки коэффициентов при идентификации двигателя по алгоритму А7 или для синтеза цифровых регуляторов.

регулирования цифровой САУ ТРДЦФ. Уравнение замкнутой системы уп­ равления (САУ + ТРДЦФ) в малых отклонениях имеет вид

Ах = (А - Вк3)А х + (Bk3k2)Av,

где к2 - матрица регулятора; к3 - корректирующая матрица, обеспечиваю­

Очевидно, что в адаптивном многосвязном цифровом регуляторе САУ ТРДЦФ необходимо так изменять матричные коэффициенты k 3(M,ff), k2(M, Я ), чтобы при любых условиях полета (М, tf-var) сохранялись усло­ вия требуемой динамики процессов в замкнутой системе: А ЭЛ1Л = const, ^эам = const. Из этих условий нетрудно получить конечные формулы для

Матрицы линейной модели двигателя для земных условий М = О, Я = 0; С^зам» Дзам) —матрицы замкнутой системы, отвечающие желаемой дина­ мике регулирования х г = х(аруд).

Если матрицы линейной модели двигателя, полученные для земных ус­ ловий (М = 0, Я = 0), обозначить как (А 0, £ 0)> то для других условий Полета (М Ф 0 ,Н Ф 0 ) справедливы соотношения

Дх = А А х + ВАи= MPt [МР~1А 0МРХ] Д* +MPt [MPx~l В0МРи ] Аи,

алгоритма БЦВМ, при этом в память машины заносится информация о ли­

(<43ам» Взйм) • По указанным здесь вычислительным алгоритмам может Производиться непрерывная настройка (адаптация) цифровых регуляторов ^АУ ТРДЦФ, изображенных на рис. 2.1.

УПРАВЛЕНИЕ ГТД НА ПЕРЕХОДНЫХ РЕЖИМАХ ПО УСЛОВИЮ МАКСИМАЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ

^ешедае задачи оптимального управления ГТД на переходных режимах Позволяет выявить все энергетические резервы ГТД и получить эталонные Переходные процессы, которые могут быть использованы при его диаг­ ностике. Оптимальное управление ГТД на этих режимах обычно отыски­ вается Из условия минимума времени переходного процесса [2.3, 2.7] и Для многовальных ТРДЦФ может быть определено только с помощью Численных методов теории оптимальных систем. Для одновальных ТРД с регулируемым соплом, когда движение ротора турбокомпрессора описы-

можно определить момент t2 переключения управления и2 относительно момента t\ переключения управления и х:

. I Aj + Л2 | h =*i + ------ -------

При расчете первого приближения tx интегрирование системы произво­

X o ( f t ) - x 0 ( t i )

где 8f ='х/ - х {, i = 1, 2; х) —координаты системы при ее интегрировании в обратном времени.

Такой прием позволяет получить хорошее первое приближение и умень­ шить интервал интегрирования при уточнении решения.

В случае задачи при ограничениях на фазовые координаты (2.48), (2.49) можно использовать соответствующие теоремы принципа максимума, приведенные в [2.13], так как условие регулярности оптимальной траекто­ рии для данной задачи выполнено. Проверка условия скачка позволяет установить непрерывность сопряженных переменных и определить число переключений. Знаки управлений на первом участке траектории выбирают­ ся также по формуле (2.51), координата х 0 изменяется монотонно.

Расчет первого приближения оптимального по быстродействию програм­ много движения одновального ТРД с регулируемым соплом выполняется

А = Ai sign и Р * + А2 sign и2 *;

2)интегрирование системы уравнений

X o= kf(x0, x l , x 2), xi =ки 1,

х 2 = ки2,

(2.53)

*о = ~ kf(xo,xl t x 2),

хх = - кы х,

х2 ---- ки2

от t = 0 до t = tL с начальными условиями