Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции по высшей математике Часть 1

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

4.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 149 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Приведем уравнение (11.3) к более простому виду. Для этого возводим его дважды в квадрат.

yj(x+ c)2 + у2 - 2a - ij(x - c )2 +уг ,
(х +с)2 +у 2 = 4а2 - 4а^(х-с)2+у2 +(х- с)2 +у 2,
4 а ^ (х -с)2 +у 1 = 4 а 2 -	4 с х ,
а ^ (х - с )2 + уг - а1 - с х ,
я 2( ( х - с ) 2 + у2)=а4 - 2	а 2сх + с2х 2,
а2х 2 +а2с2 +а2у 2 = а4	+с2х 2,

a V + f l V - c V ^ 4 - ^ 1,
(а2 - с2)х2 +а2у 2 = а2{а2 - с 2) .
Так как а>с	то а2- с 2> 0. Поэтому обозначим а2 - с 2 =ь2, из чего
очевидно, что а > Ь.	Тогда последнее уравнение примет вид:
Ь2х2 +а2у 2	= а2Ь2 или	“т +^т = 1		(11.4)
		а2	b

Как известно, при возведении уравнения в квадрат можно приобрести

посторонние точки. В нашем случае уравнение (11.4) является равносильным уравнению (11.3), и оно называется каноническим уравнением эллипса.

Исследование канонического уравнения эллипса
„				X2	V2	= 1.
Рассмотрим каноническое уравнение эллипса				— +^		= 1.
				а	Ъ
1)	Поскольку	в уравнении	(11.4) переменные			и	у содержатся в
квадратах,	то эллипс	симметричен	относительно осей Ох и Оу, т.е.
если точка	(х ,у ) удовлетворяет		уравнению (11.4),			то	ему также
удовлетворяют		точки	(х,-у),	(-*,>>),			(•л,-)')-

Начало координат - точка О(0;0)

является центром симметрии

эллипса (см. рис. 30).

Рис. 30.

2)Из уравнения (11.4) следует, что каждое слагаемое в левой части не

превосходит единицы:			хг		и	v2	< 1	или - а < х < а		и - Ь < у<Ь.
			— < 1			b
			а
Значит,	все	точки	эллипса		находятся			внутри		прямоугольника,
ограниченного прямыми:				х = а,	х = -а,			у - Ъ ,	у = —Ъ.
3) Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Если											у =о, то
х = ±а. если * = 0. то			у = ±Ь .		Таким образом, эллипс пересекает ось Ох в
точках л,(-д;0)		и л2(а;0),		а ось	Оу	- в точках Д,(0;-А) и				В2(0;Ь).	Точки
АХУА2,ВХ,В2 называются			вершинами			эллипса.		Отрезки АхАг -2а и ВХВ2 -1Ъ -
осями эллипса,		числа а и Ъ- полуосями эллипса.
4) Для	построения			эллипса,		определяемого			уравнением		(11.4),
необходимо построить			прямоугольник, ограниченный прямыми: х = ±а и

у= ±Ь, и вписать в него овальную замкнутую линию.

5)Различные формы эллипса. Форма эллипса зависит от соотношения между а и Ь. Если в уравнении (11.4) а > Ь , то фокусы эллипса Fx и Р2

расположены на оси Ох			(с2 =		2 - Ьг). Если же а < Ь, то фокусы эллипса Fx и
F2 расположены на оси Оу				( с 2	= Ьг - а2).	Если а = Ь, то фокусы эллипса Fx
и F2 сливаются	с началом			координат		(с =0) и эллипс превращается в
JC2	v 2	=1	или	х2 + у 2 = а2 с центром в точке 0 (0,б) радиуса а.
окружность — +

6)Различные виды уравнений эллипса.

Уравнение	х 2	2
Уравнение	— +	=о называется уравнением вырожденного эллипса,
	а2	Ь2
Данный эллипс	вырождается		х 2	V 2
Данный эллипс	вырождается		в точку <9(0;0). Уравнение — +^-- = -1
			а2	b2

называется уравнением мнимого эллипса, поскольку не имеет геометрического образа.

Замечание. Если из канонического уравнения эллипса		х 2	VJ
Замечание. Если из канонического уравнения эллипса		— +^ - = 1
		а	b
выразить переменную х , то получим х =	. Уравнение	х = a j1-

определяет половину эллипса, расположенную в правой полуплоскости, а

уравнение *: =	-a jl - р -	половину	эллипса,	расположенную в левой
полуплоскости.	Уравнения y = b f ^		и y - b	f ^ - уравнения половин

эллипса, расположенных в верхней и нижней полуплоскостях соответственно.

Пример 11.1. Определить полуоси эллипса 9*2+б4у2=1 и построить

его.
Решение.	Для		нахождения
полуосей	эллипса			запишем
данное	уравнение		в	виде:
у 2 = 1.		Тогда		°2 =Х '
У9+Х 4

II	и отсюда
*= % • Строим прямоугольник,
ограниченный		прямыми		jc = ± i,

у =

и вписываем в него эллипс (см.

>■31).

х = —у V9 - у 2	и изобразить ее.
Решение.		Возведем заданное уравнение в квадрат: х2 = ^(9 - у 2)- Тогда
х2= \ - ~ -	или	дс2 + ^ - = 1. Последнее уравнение является следствием

исходного и представляет собой каноническое уравнение эллипса

с	полуосями		= 1,		b = 3.
Поскольку			из	уравнения
=	^9 - у 2		следует,	что	х <0,
то	оно	определяет			левую
половину		указанного		эллипса
(см. рис. 32).

11.2. Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим f-\ и F2 фокусы гиперболы, расстояние между ними

F, F2 =2C,	а	абсолютную	величину разности расстояний от
произвольной	точки гиперболы до		фокусов - через 2а. По определению
гиперболы 2а <		2с , т.е. а < с .

Для вывода канонического уравнения гиперболы декартовую прямоугольную систему координат выберем также, как и при выводе

уравнения	эллипса.	Тогда	фокусы имеют координаты F,(-c;0),F2(c;0)
(рис. 33).
Пусть	точка M(xty)		произвольная	точка гиперболы. Тогда по
определению гиперболы
		\FlM - F 2M\ = 2a.		(11.5)
В координатной форме уравнение (11.5) запишется следующим
образом:				( п - в )

Приведем уравнение (11.6) к более простому виду. Для этого дважды возводим его в квадрат.

(x + c)2 + у2- 2 т](х+ сУ + у1 <J(x-c)2 +у 2 + ( х - с ) 2 + у2 = 4 а 2.

х 2 +с1 + у 2 - 2а 1 = -у1(х+с)г + у2 •TJ(X - C)2+у2 ,

{х> + S +у 2 - 2 а 2)2 = ((* + с)2 + у 2М ( * - с ) 2 + / ) .

Выполнив		тождественные
преобразования, получим равенство			Ъ	У
			Ъ
			у =— л
			а
(cJ - о 2)-дг2 - а гу г =аг(с2 - а1).
Введем	обозначение	ь2 =с2 -
которое вполне обосновано, поскольку
а<с.	Тогда Ь2х2 - а 2у 2 - а 2Ъ2
или			V = — х

Можно показать, что полученное уравнение (11.7) является эквивалентным уравнению (11.6). Уравнение (11.7) и называют каноническим уравнением гиперболы.

Исследование канонического уравнения гиперболы
Рассмотрим каноническое уравнение гиперболы X 2					V 2=
				а2	Ь2
1)	Гипербола симметрична относительно координатных осей Ох и Оу
т.к. уравнение (11.7) содержит х и у		в квадратах. Начало координат О(0;0)
является центром симметрии гиперболы (см. рис. 34).
2) Из	уравнения (11.7) имеем	х2	V2	Значит,	X2	Тогда
		— = -— + 1.			— > 1.
		а	Ь		а1
х е (—оо;-д]и[а;+оо). Это означает, что		точки	гиперболы находятся слева от
прямой х = —а и справа от прямой х = а .
3) Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Если						у =о,
то х - ± а	; если х - 0, то получим невозможное равенство у 2 = -Ъ2
Таким образом, гипербола пересекает ось Ох			в точках Л,(-а;0) иЛ2(а;0). Эти
точки называются вершинами гиперболы.			Отрезок	Л,А2 =2а называется

действительной осью гиперболы, число а - действительной полуосью.

Гипербола, определяемая уравнением (11.7), не пересекает ось Оу. Поэтому отрезок ВХВ2 =2Ьусоединяющий точки Вх{0-Ь) и В2(0;Ь) называется

мнимой осью гиперболы, а число Ь - мнимой полуосью. Прямоугольник,

ограниченный прямыми х = а, х = - а, у = Ь, у = -Ь		называется основным
прямоугольником гиперболы.
4)	Гипербола - кривая, состоящая из двух	неограниченных ветвей,

расположенных вне основного прямоугольника гиперболы. Диагонали

основного прямоугольника у = ± -х являются асимптотами гиперболы, т.е.

при неограниченном удалении точки гиперболы от начала координат расстояние от этой точки до асимптоты стремится к нулю.

5)Для построения гиперболы (11.7) необходимо построить основной прямоугольник гиперболы, затем провести прямые через противоположные вершины этого прямоугольника, т.е. асимптоты гиперболы, отметить вершины гиперболы на действительной оси и через вершины провести две неограниченные ветви, стремящиеся на бесконечности к асимптотам.

6)Различные формы гиперболы. В каноническом уравнении гиперболы (11.7) действительная и мнимая полуоси могут быть связаны любым из

соотношений: а< Ь , а = Ь , а>Ь. В случае а = b гипербола имеет

JC2	у 2
уравнение —	---- - = 1 и называется равносторонней. Для нее основной
а	а

прямоугольник является квадратом и, следовательно, асимптоты взаимно перпендикулярны.

7) Различные виды уравнений гиперболы.

Уравнение ^ - - ^ - = -1 или	ТГ“ "Т = 1	0 1.8)
а Ь	о а

определяет гиперболу, для которой действительная ось расположена на оси

Оу , а мнимая - на оси Ох, т.е. она пересекает ось Оу. Гипербола (11.8) имеет

Уравнение ~	= 0 называется уравнением вырожденной гиперболы. Оно
а	о
эквивалентно равенствам у ~ ± - х ч			значит, гипербола вырождается в свои
асимптоты.
Пример	11.3.	Определить полуоси гиперболы		4*2- 9 /= 2 5 и
построить ее.
Решение.	Для	нахождения	полуосей гиперболы	приведем данное

уравнение к каноническому виду. Разделим уравнение на 25:

(5/ 2; 0) и (-5/2; 0)		проводим ветви
гиперболы (рис. 36).
Пример	11.4.	Установить, какая линия определяется уравнением
У= -ъ4 хг + 1,	и изобразить ее.
Решение.		Возведем данное уравнение в квадрат: у 2 = 9(х2+ 1).
		У2 х 2

Тогда у 2 - 9 х 2 =9 или	^ ----- j - = l. Последнее	является
каноническим уравнением гиперболы с полуосями а = 1, b = 3		и вершинами

в точках (О; 3) и (0;-3). Поскольку из

11.3. Парабола
Параболой называется геометрическое место точек	плоскости, для
которых расстояние до фиксированной прямой, называемой	директрисой,

равно расстоянию до фиксированной точки, называемой фокусом параболы.

	Пусть точка			F - фокус, а прямая d - директриса параболы. Расстояние
от	точки	F	до	директрисы		d	называется параметром параболы и
обозначается через р (/? > 0 ).
	Для вывода канонического уравнения параболы декартовую
прямоугольную			систему		координат
выберем следующим образом: ось Ох
проходит		через		фокус			F	ГЩ*,У)
перпендикулярно				директрисе		d	в

направлении от директрисы к					F, начало
координат находится в середине отрезка
AF, являющегося расстоянием от фокуса
F	до директрисы,			т.е. AF=p (рис.			38).
Тогда в выбранной системе координат								Рис. 38.
фокус параболы имеет координаты:							Пусть	Л/(дг,_у) - произвольная

точка параболы. Соединим точку М с фокусом F и проведем отрезок МВ

перпендикулярно директрисе d. По определению параболы МВ = MF.

Согласно построению поэтомУпоследнее равенство в

координатной форме запишется следующим образом:

		J h f J =i x- f J +yl					(lL9)
Возведем уравнение (11.9) в квадрат:
				2	2
	х2+ рх + — = х2- ДХ+— + V2, Т.е.
		/ =		2/мс.			( 11.10)
Уравнение (11.10) называется каноническим уравнением параболы.
Исследование канонического уравнения параболы
Рассмотрим каноническое уравнение параболы						(11.10).
1) Парабола	у 2 = 2рх		симметрична относительно координатной оси					Ох,
т.к. в уравнение		(11.10)		переменная	у входит в	четной	степени. Ось
симметрии Ох называется осью параболы.
2) Поскольку	р	> 0, то из уравнения (11.10) следует,					что	т.е.
парабола расположена в правой полуплоскости.
3) При JC= 0 имеем у -			0. Следовательно, парабола проходит через начало
координат. Точка		<9(0;0)		называется вершиной параболы.

4) Различные виды уравнений параболы.

Уравнение у 1 = - 2рх, где р > 0 , также определяет параболу с вершиной в начале координат, ось которой совпадает с осью Ох,

но расположенную в левой полуплоскости (рис. 39).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 149 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.2022884.42 Кб30Лабораторный практикум по общей химической технологии.pdf
#
15.11.20223.07 Mб14Лабораторный практикум по теории механизмов и робототехнике..pdf
#
15.11.202224.58 Mб41Лабораторный практикум по химической технологии неорганических веще..pdf
#
15.11.20227.04 Mб47Лабораторный практикум по целлюлозно-бумажному производству..pdf
#
15.11.20224.52 Mб14Лекции и индивидуальные задания по высшей математике Часть 1..pdf
#
15.11.20224.35 Mб9Лекции по высшей математике Часть 1..pdf
#
15.11.202212.2 Mб10Лекции по программированию..pdf
#
15.11.20221.06 Mб11Линейные задачи теории гидродинамической устойчивости и численные ме..pdf
#
15.11.202213.37 Mб62Литейное производство..pdf
#
15.11.20226.78 Mб70Литье по выплавляемым моделям отливок авиационно-космического назнач..pdf
#
15.11.202214.68 Mб5Лицо тоталитаризма..pdf