Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции по высшей математике Часть 1

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

4.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 143 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

				ч «12	° \ т '
			А =	° 2 2	° 2 т
			А =
	k e N			ап2	^ пт ;
Пусть число	k e N	и удовлетворяет условию *<min(n;m). Рассмотрим
элементы матрицы	А, стоящие на пересечении любых к строк и любых к
столбцов матрицы А .						А , стоящих на
Определитель, составленный из элементов матрицы						А , стоящих на
пересечении любых к		строк и любых к столбцов, называется минором к -го
порядка матрицы А и обозначается Мк.
Например, Л = \| 1		°хг	°13 - матрица размерности (2 х З) .			Для нее
	Va21	а11	а2з)

к <2 , т.е. для данной матрицы определены миноры 1-го и 2-го порядка. Перечислим все

миноры 1-го и 2-го порядков матрицы А :

M ,(,)= h . |, М р ) = Ы , А/р) =|«,3|, М р > = К | , Л / р ) = К г|, М } ‘) = | в в |,

а\\	а1г\|	36	II	а11	а13	*
аг\	ат			°2\	°23

(верхний индекс указывает порядковый номер

■2»г	ап
■2»г	II
	агг

минора).

«13

а23

Рангом	матрицы А		называется	наибольший порядок	ее минора,
отличного от нуля. Ранг матрицы А будем обозначать через rA=					rangА.
Минор (к +1)-го порядка Мк+1 называется окаймляющим для минора Мк
к-то порядка, если Мк содержится в миноре				.
В рассмотренном примере для минора Мх=\|а,,\| окаймляющими являются
миноры
М«'>=\|а "	0,1	и W<,) = \| a"	Ч .
\а2\	а22	Г21 а12\

Для нахождения ранга матрицы можно применять метод окаймляющих миноров. Суть этого метода состоит в следующем: если у матрицы существует

минор к	- го порядка М к* 0 и все окаймляющие его миноры М к¥{ - 0 , то ранг
матрицы	равен к .
	'1	3	Г
Пример 3.3. Найти ранг матрицы А = 3		2	2

-3 4

Решение. Для матрицы А определены миноры 1-го, 2-го и 3-го порядков.

			1 33		„	_
Вычислим один из миноров 2-го порядка: М2=			3	2	= -7. Так как единственный
окаймляющий данный минор минор 3-го порядка
А/3 = 3	2	2 = - 11* 0 , то ранг матрицы А равен 3.
5 - 3		4
		(\ -3 5 4^
Пример 3.4. Найти ранг матрицы А = 2			-		6 4 3
		3	-		9 3 2
Решение. Поскольку размерность матрицы					А	равна (3x4), то число
						-3	5
к —1,2,3. Рассмотрим	минор 2-го порядка,		не	равный нулю М2 = -6			4

Вычислим окаймляющие минор М2 миноры 3-го порядка:

-3 Л/,(,) = - 6 - 9

5 4

4 3

3 2

II о

1	-3	5
2	- 6	4
3	- 9	3

Следовательно, rang А = 2 .

В общем случае ранг матрицы может быть найден с помощью элементарных преобразований, не изменяющих ранг матрицы. Под элементарными преобразованиями матрицы понимают:

1)транспонирование матрицы;

2)изменение порядка строк (столбцов) матрицы;

3)отбрасывание нулевой строки (столбца) матрицы;

4)умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, отличное от нуля;

5)прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца).

Две матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Обозначается

А~В.

Пример 3.5.	Найти ранг матрицы
	'	2	-1	5	6 '
	А =	1	1	3	5
	,	1	-5	1	-3

Решение. Вычислим		rang А , производя следующие элементарные
преобразования. Поменяем первую и вторую строки местами:
1	1	3	5 '
А -	-1	5	6
	-5	1	-3

Далее прибавим к элементам второй строки соответствующие элементы первой строки, умноженные на -2. Элементы первой строки, умноженные на - 1,

прибавим к соответствующим элементам третьей строки.
f	1	1	3	5 }	1 1		3	5^
А -	0	-3	-1	-4
					О	-3	-1	4J*
,0		0	0	0 ,
									1 1 *0.
Ранг последней		матрицы		равен 2,		так		как, например,
									О -3

Следовательно, rang А=2.

§4. Системы линейных алгебраических уравнений.

4.1.Основные понятия.

	Рассмотрим систему s			уравнений с п		неизвестными:
		a n * i	+апх2+ -
		211	+а22х 2 + " ••+ «!»•» = 1 .				(4 .1)
							(4 .1)
		Psix \,+ asixi + ' +			=bs ,
где jr,	- неизвестные системы, числа atJ - коэффициенты системы, / = l,s,
j = \,п	( I - номер уравнения,				j - номер неизвестного), числа 6,,62,...,65 -
свободные члены системы.
	Если все свободные члены системы					равны нулю, то	система (4.1)
называется однородной.
	Если хотя бы один b, * 0, то				система (4.1) называется неоднородной.
	Если число уравнений равно числу неизвестных, то система (4.1)
называется квадратной.					называется п значений
	Решением	системы		(4.1)	называется п значений		неизвестных
1 =ь	хг =	=хЛ, при подстановке которых в систему каждое уравнение
обращается в верное равенство.
	Если система (4.1) имеет хотя бы одно решение, то она называется

совместной.

Если система (4.1) не имеет решений, то она называется

несовместной.

Совместная система (4.1), имеющая единственное решение, называется определенной.

Совместная система (4.1), имеющая более одного решения, называется неопределенной системой.

Из приведенных определений следует, что системы делятся на несовместные и совместные. Совместные системы, в свою очередь, подразделяются на определенные и неопределенные.

Решить систему означает:

1)выяснить является она совместной или несовместной;

2)в случае, если система совместная, выяснить является она определенной или неопределенной;

3)если система определенная, то найти единственное решение системы; если система неопределенная, то найти всё множество ее решений.

__		система	Г, + 32 = 7,			несовместной,		так как
Например,			<	является
			], -1-32 = 5
уравнения противоречат друг другу;
система	(х, +Зх2=7,			определенной	так	как имеет единственное
	■!	является
решение , = 1, 2 = 2;
	Г. +32 =7,			неопределенной	так		как она эквивалентна
система <		является
	[2! + 62 =14
уравнению L+32 =7				и поэтому	имеет		множество	решений:
*, = 7 - ЗА,	* 2 = А ,	где А - любое число.

4.2.Матричная запись системы линейных уравнений.

Пусть дана система

в\|Л + <»\|Л +	• + а 1
+ апх1 +•	■+ а1.Х. = *2 .

*51*. + а$2*2+- ■+а*.х. =bs .

Введем обозначения:

'«п		*12	«1л ^
А =	«2.	«22	«2л	- основная матрица системы, составленная из
s«s1		GS1	QSnj
коэффициентов при неизвестных;
		X	* 2	- матрица-столбец	неизвестных системы;
		X	=	- матрица-столбец	неизвестных системы;
			V A v
			(ЬЛ
		в =		- матрица-столбец свободных членов.
			\fisj
		Систему линейных алгебраических уравнений (4.1) можно записать в
матричном виде:				А Х = В,	(4.2)
				А Х = В,	(4.2)
				+«12*2+-■ + '
так	как		А-Х =	«21*1+аих2 + .. + аих.
так	как		А-Х =

,«Я*1+aS2x2+.

Формула (4.2) называется матричной записью системы (4.1).

4.3. Исследование системы s линейных уравнений с п неизвестными.

Рассмотрим систему s линейных уравнений с п неизвестными (4.1).

Пусть А - основная матрица системы (4.1). Матрицу А, дополненную столбцом свободных членов, будем называть расширенной матрицей системы и обозначать А , т.е.

Г«п	«12	«1л	м
А = «21	«22	«2л	*2
^«51	«52	«5л	bSj

Теорема Коонекера-Капелли является необходимым и достаточным условием совместности системы (4.1). Сформулируем эту теорему.

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда rang А= rang А.

Из теоремы Кронекера-Капелли вытекают важные утверждения, которые позволяют выяснить, сколько решений имеет рассматриваемая система,

но не позволяют найти эти решения.
	Утверждение				4.1.	Если система (1)- совместна					( rang А = rang А )			и
rang А = п , то система (1) является определенной.
	Утверждение 4.2. Если система (1) совместна										(rang А = rang А )			и
rang А < п , то система (1) является неопределенной.
	Утверждение 4. 3.					Если rang А * rang А , то система (1) несовместна.
	Пример 4.1. Исследовать систему на совместность.
				ЗдС\| — х2 + 2 * 3 + * ^ — 7,
				21 +х2+4з - 2*4 = 1,
				\|1 - 32 - 63 + 54 = 0.
2	1	4 -	2	Решение. Вычислим методом					окаймляющих			миноров ранг мат
2	1	4 -	2		5 - 1 2		1
1 - 3 - 6 5							Рассмотрим		минор		второго		порядка
Мп = 5 -		= 10+ 2 = 12* 0 .
2	1
Окаймляющие миноры для М2:
				5	-1	2
				2 1 4 = -30 -4 -12 -2 -12 +60 = 0;
				1	- 3	- 6
				5 - 1		Г
			М3<2) = 2		I	-21 = 25+2 -6 -1 +10-30 = 0.
				1	-3	5
Следовательно, rang А = 2.
Вычислим		ранг		расширенной			матрицы	(5 -1		2	1	7"1
Вычислим		ранг		расширенной			матрицы	А =	2 1	4 - 2 1		.	Поскольку
									1 - 3 - 6		5	0
окаймляющий минор для М2
		5 - 1 7
А/3<3) = 2			1 1	= 0 -1 -4 2 -7 -0 + 15 = -35				отличен от нуля, то rang А =3.
		1	- 3	0

Таким образом, rang А * rang А , следовательно, система несовместна.

Пример 4.2. Исследовать систему на совместность. | 7*i +3*2 = 2,

*1- 2*2 = -3,

4*, +9*2 =11.

Решение.Определим ранги основной и расширенной матриц системы.

			(1	Ъ \		.	3U о ,', ТО rang А = 2 .
		А = 1		- 2 . Поскольку Мг = 7			3U о ,', ТО rang А = 2 .
			4	9
(7	3	2 "		7	3	2
А = 1	-2	-3	. Вычислим det А = 1		-2	-3	=-154-36 + 18 +16-33 +189=0.
,4	9	И ,		4	9	11
Следовательно,			rang А= 2 . Согласно			теореме Кронекера-Капелли система

совместна, и в силу выполнения равенства rang А = п является определенной.

§5. Решение систем линейных уравнений.

5.1.Матричный способ решения системы линейных уравнений.

Рассмотрим квадратную систему линейных алгебраических уравнений, определитель основной матрицы которой отличен от нуля.

111 +£122 + -- + <*1пхп = ^ Ь
211 + а 22х2 + , + а 2пхп = *2>	^

*«1*1 +*п2*2+’ -■+*«л*« =К

Запишем систему (5.1) в матричном виде:

А Х = В,

(5.2)

	ч	*12	* 1 ^	, * = *2		Г М
где А = *2.		*22	*2 .	, * = *2	, в = Ьг
			*2 .
	^ 1	*.2	*« >	\ ХП;		А ,
Поскольку	det А =0, то для матрицы				А	существует обратная матрица
А'1 Умножим равенство (5.2) на Ал				слева: А~1 А Х = А~1 В. В силу того, что
А~1 А - X - Е Х - X ,	получим формулу
				Х = А~1 В.		(5.3)

Нахождение решения системы (5.1) по формуле (5.3) и называется

матричным способом решения системы.

Пример 5.1. Решить матричным способом систему

1JC) ч* 2^2 З-Хз = 4,

—Х| + 2x2 “ Зх3 = О,

х2 - х 3 =1.

Решение. Вычислим определитель основной матрицы системы

1 2 3

det Л = -1 2 -3 =-2 +0 - 3- 0 - 2+3 = -4 ^0 .

О 1 -1

Следовательно, для матрицы А существует обратная матрица А~х. Находим А ' 1:

		' 1		5	- 12>
	А''	1	-1	-1	0
	V	“ ~4	-1	-1
	V	1	( 1	5	-12
Тогда	х2	1	-1	-1	0
	Л	4	[-1	-1	4
т.е.	^ = “	(1-4 +5-0-12-1) = 2,				х-у =—~(-l-4-10 +0l)=l,
						4
х3 = 4 1-4-1	0ч-4 1)=0.				г\
					г\
Следовательно,	решение системы X - 1

5.2.Правило Крамера.

Пусть дана квадратная система линейных уравнений

а \lXl + <*12*2 + • • • + Щ пХп = bj,

а 2\х \ + а 22х2 + ' **+ а 2пхп = ^2»

Рп\х\ + ап2х2+■''‘'+ йппХп =

Введем обозначения: Л - определитель основной матрицы системы, Д, - определитель, который получается из А заменой j - го столбца столбцом свободных членов системы (у = \,п), т.е.

а\\	а\г	аи		а\г	а\я	°ll	fl12	А
А = аг\	а22	аг».	Ь2	аи	а1л	А„ = а21	а22	Ь2
А = аг\	а22	аг».	А,-		,	А„ = а21	а22	Ь2
ап\	аш1	апт	bи		ап			К

Правило Крамера (метод определителей) гласит:

1)Если A*0, то система (5.1) имеет единственное решение, которое определяется по формулам Крамера:

2) Если А = о и хотя бы один из определителей д ; * о , то система (5.1) не имеет

решений;					ду=о при j
3) Если д = 0 и	определители				ду=о при j		= 1,л, то либо система (5.1) не имеет
решений, либо система (5.1) имеет множество решений.
Замечание.	Квадратная			система		2-го	порядка в	случае	3).	когда
Д = Д 1 = Д 2 = 0 ,	является совместной (rang А - rang А ),							поэтому	всегда	имеет
множество решений.
Пример 5.2.		Решить методом определителей систему
					2х\ + х2 - х3 = 5,
					• *1 - 2х2 + Зх3 = -3,
					7JCJ + х2 — дг3 = 10.
Решение. Вычислим определители						д,дь д2,д3
		2	1		-1
		1 - 2			3 = 4 + 2 1 - 1 - 1 4 + 1 - 6 = 5;
		7	1		-1
			5		1-1
		А, = -3		- 2 3 = 10 + 30 + 3 - 2 0 - 3 - 1 5 = 5;
			10 1	- 1
			2	5	- 1
		Д2 = 1 -3			3 = 6 + 105 -10 -21 + 5 - 6 0 = 25;
			7		10- I
			2	1	5
		Д3 =	1		_ 2- 3 = - 4 0 - 21 + 5 + 7 0 - 1 0 + 6 = 10.
			7	1	10
Поскольку		Д * о , находим единственное решение						системы	по формулам
!/■	5 .		25	_	10	_
Крамера: *,=- =!; х2= — =				5 ;	*3= у	= 2.

Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) является универсальным, так как применим для решения произвольной системы линейных алгебраических уравнений. Суть метода состоит в приведении системы к равносильной системе ступенчатого вида, которая решается достаточно просто.

Две системы называются равносильными, если они обе несовместны или обе совместны и имеют одно и то же множество решений.

Рассмотрим систему s уравнений с п неизвестными

в 1,*1 +		а 11*2 + ■ ' • +		« . Л	= * > ■
211		22"2	‘ • +	O 2„ J ( .	= * г ,
511	+	° S 2 X 1 +	'

Процесс решения системы по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому виду.

Запишем расширенную матрицу системы, отделив столбец свободных членов вертикальной чертой:

f °\\	12	* ln	4
*21	*22	* 2 •	* 2

* « .

Первый шаг прямого хода. Будем считать, что элемент аи * 0 (если аи =0 ,то первым запишем в системе уравнение, в котором коэффициент при неизвестном дс, отличен от нуля). Выполняя элементарные преобразования со строками расширенной матрицы (5.5), неизвестное исключим из всех уравнений, кроме первого. Для этого умножим элементы первой строки

матрицы на коэффициент и сложим с соответствующими элементами

*п

второй строки. Затем умножим элементы первой строки на коэффициент - —

*п

и сложим с соответствующими элементами третьей строки матрицы. Продолжая этот процесс, получим матрицу

| 4

*12

0*U

*/2

*.„

*2« *5

a'm

S3:

<<< < Предыдущая 1 23 / 143 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.2022884.42 Кб30Лабораторный практикум по общей химической технологии.pdf
#
15.11.20223.07 Mб14Лабораторный практикум по теории механизмов и робототехнике..pdf
#
15.11.202224.58 Mб41Лабораторный практикум по химической технологии неорганических веще..pdf
#
15.11.20227.04 Mб47Лабораторный практикум по целлюлозно-бумажному производству..pdf
#
15.11.20224.52 Mб14Лекции и индивидуальные задания по высшей математике Часть 1..pdf
#
15.11.20224.35 Mб9Лекции по высшей математике Часть 1..pdf
#
15.11.202212.2 Mб10Лекции по программированию..pdf
#
15.11.20221.06 Mб11Линейные задачи теории гидродинамической устойчивости и численные ме..pdf
#
15.11.202213.37 Mб62Литейное производство..pdf
#
15.11.20226.78 Mб70Литье по выплавляемым моделям отливок авиационно-космического назнач..pdf
#
15.11.202214.68 Mб5Лицо тоталитаризма..pdf