Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции по высшей математике Часть 1

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

4.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

—►—> —> - >

1)а + ь = ь+ а - переместительный закон;

2)(а + б)+ с = а+(б+ с)- сочетательный закон;

3)сумма противоположных векторов равна нулю: а+(- а) - о.

Замечание.

Разность двух векторов

—> ь определяется следующим образом:

—►—> —> —►

а - Ь = а +(- b ) (СМ. рИС.4).

//. Умножение вектора на число							Рис. 4.
//. Умножение вектора на число
Пусть X - некоторое действительное число, отличное от нуля.
Произведением	вектора	—>	—►	на	число	X называется вектор
Произведением	вектора	а	(а * 0 )	на	число	X называется вектор
Ь = Ха , коллинеарный вектору		а , имеющий длину				-W-		. Направление
вектора b совпадает с направлением				вектора		а ,	если		X> о, и
противоположно ему, если X< 0 .
Например, на	рис. 5	изображены		векторы
				_	—*		—f	\|	_
				Ь=3 а ИЛИ			а ——Ъ,
				d ——2 с		ИЛИ	с = -^ 2 .
									2

Операция умножения вектора на число подчиняется следующим

законам:

1) УСа	)=Ха + Х^ - распределительный закон относительно суммы
векторов;

2) (А.+р) а - X а а - распределительный закон относительно суммы чисел;

3) (Я • ц)а =

- сочетательный закон.

Пример 6.1.

В треугольнике

АВС дано:

—>

—► —>

—>

АВ= a,

AC=b,

AM-

—>

—у

—►

медиана. Выразить вектор AM через векторы

а и Ъ

Решение.

Через точку М проведем прямые С,Л/ и ВХМ ,

параллельные сторонам АВ и АС. Получим

параллелограмм

ABJMCJ,

котором AM

диагональ.

Следовательно

—>

—►

—>

Но

AM = АВХ+ АСХ.

] —>

—>

1—>

(ВХМ

CjM

средние

АС{= -Ь

линии треугольника,

поэтому

АВХ=ВХВ,

АС\ =QC).

Получаем

—► 1—► 1—*•

или

AM =

“►

АМ = -(а+

й).

2 У

Пример 6.2.

Какому условию

должны удовлетворять

ненулевые

—►

—>

—►—>

—> —>

векторы л и

й , чтобы имело место соотношение | а+ й |=| а- й | ?

Решение.

Построим

на

векторах

й ,

выходящих из точки А, параллелограмм

ABCD.

Тогда

АС = я + й ,

DB= а - Ь

Равенство

—> —>

означает,

что

| а+ Ь |=| а - Ь |

длины

диагоналей

параллелограмма

—>

—►

равны, т.е. | АС |=| DB |. Отсюда следует,

что данный параллелограмм - прямоугольник. Следовательно а _1 й

Осью называется

прямая

U , имеющая направление в пространстве.

Пусть в пространстве задана ось

некоторый вектор

АВ.

Спроектируем

начальную и конечную точки вектора

—►

на

ось

U. Обозначим

проекции

АВ

точек

на ось через

Ах

Вх

соответственно

(рис. 6).

Проекцией

вектора АВ

на ось U

называется длина направленного

отрезка АХВХУ взятая

со знаком «+»,

если направление

Л,#,

совпадает с

направлением оси U, и со знаком «-», если направления

А\ВХ

противоположны.

Проекция

вектора на ось обозначается

при А В .

Из

определения

проекции вектора на ось имеем

npL АВ = \

если

АХВХТТ (/,

если

АХВХT il/ .

Углом <р между вектором и осью называется угол, образованный двумя лучами, один из которых направлен по вектору, а другой - по оси. Аналогично определяется угол между двумя векторами. Очевидно, 0 <,<р<, п .

Проекция вектора на ось обладает следующими свойствами.

Свойство 1. Проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью: при АВ =J>4^|cos ^>.

—►

Доказательство, а) Если угол ф между вектором АВ и осью U является острым (рис. 6), то

при АВ = \АХВХ= АС = ABcos<p =

б) Если ф - тупой угол (рис. 7), то

приАВ = -|л,Я,| = -АС = -АВ cos(/r - <р)= = ABcostp =|/4£|C O S 9?.

Рис. 7

в) Если угол ф = ^ (рис. 8), то

точки Ах и Я, совпадают.

.........

*А ®С

Следовательно,

приАВ =\АВ COS q>=0.

Следствие. Если вектор образует с осью острый (тупой) угол, то проекция вектора на ось положительна (отрицательна). Если же вектор перпендикулярен оси, то его проекция на ось равна нулю.

Свойство 2. Проекция суммы векторов на какую-либо ось равна сумме проекций слагаемых векторов на эту ось:

при(ах+ а2+... + ак) = приа1+приа2+... + приак.

Докажите данное свойство для случая к = 2 самостоятельно.

Свойство 3. При умножении вектора на число его проекция умножается на это число, т.е. приЛа = Лприа, где Я - число.

Докажите свойство самостоятельно.

6.4.Линейная зависимость векторов

Линейной		комбинацией			—►	—►	—►	( n e N) называется
Линейной		комбинацией		векторов aXi		а2,	ап	( n e N) называется
выражение вида:
—►	^		—►		.
А.1^ 4- Х2а2+...+ \,а „ , где X,					(/ = Ц/\|)- произвольные действительные
числа.		—►	-►
_		—►	-►	а„	называются		линейно	зависимыми, если
Векторы		ах,	а2,	а„	называются		линейно	зависимыми, если

существуют такие действительные числа Хх, Х2,..., Х„, из которых хотя бы

одно Xj * 0, что линейная комбинация векторов						^ , а2 ,	с указанными
числами обращается в ноль, т.е. имеет место равенство:
		Х\ а1+ Х2а2+...+ Хпап = 0.					(6.1)
Векторы		-»	—►	—*	называются	линейно независимыми,		если
Векторы		ах,	а2, ...,	а„	называются	линейно независимыми,		если
равенство	нулю	их	линейной		комбинации	возможно	только при	Хх
= х2=	Хя = 0.

Докажем два утверждения о линейной зависимости векторов.

Утверждение 6.1.

Если среди векторов о,,

а2,

ап

хотя бы

один вектор является нулевым, то эти

векторы

линейно зависимы.

Доказательство.

Пусть для определенности а, = 0.

Составим

линейную

комбинацию

векторов

а[, 7 2,

а п ,

которой

Х|*0,

Х2= Х3= ...=Х„ = 0. Тогда равенство (6.1) выполняется и

при этом Х\ * 0.

Следовательно, векторы а,, а2, ..., ап являются

линейно зависимыми по

определению.

Утверждение 6.2.

Если среди векторов а ,,

а2,

а„

векторы

—► —►

—►

—> —►

—►

а ,, а2, ..., ап_] являются линейно зависимыми, то векторы ах, а2, • ••,

тоже

линейно зависимы.

Доказательство.

Из

определения

линейной

зависимости

векторов

—► —>

—♦

следует выполнение равенства

ах, а2,

—►

—>

—V

( 6.2)

Xj а, + Х2а2+ ...+ Хт,.7а„_1= 0 ,

в котором

хотя бы одно из чисел

X,- *0

(/ = 1,л - 1).

Равенство (6.2) не

нарушится, если к левой его части прибавить слагаемое

где Х„ = 0.

Тогда для векторов

—►

выполняется равенство

(6.1) и хотя бы

а ,, а2, ...,

а„

одно из чисел X, * 0.

Следовательно,

векторы

а , , . . . ,

а п

линейно зависимы

по определению.

Замечание.

Утверждение

6.2

справедливо,

когда

линейно

зависимыми являются любые k

(к< п) векторов.

Сформулируем и докажем необходимое и достаточное условие линейной зависимости двух векторов.

Теорема 6.1. Для того, чтобы два вектора были линейно зависимыми необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.

Доказательство.

1).	Необходимость.	Пусть		векторы	—► —►
					а ,ь	линейно зависимы.
Докажем,	—►—►
	что а\\ь
Из линейной зависимости векторов ^					и ^	следует, что существуют
такие действительные числа		Х.1	и	Х.2 , из которых хотя бы одно не равно
нулю, что	выполняется равенство		Xi а +Х2? = 0.			Пусть для определенности

X, * 0. Тогда из последнего уравнения выразим вектор а

а = к b ,

-►

а ------ИЛИ

где ЧИСЛО к =

-----------------—

л.]

По определению операции умножения

вектора на число делаем вывод о

коллинеарности

векторов

—► —>

Необходимость доказана.

и ь

2). Достаточность.

Пусть векторы а и

Ь коллинеарны. Докажем,

что эти векторы

линейно зависимы.

Предположим, что

—►

—У

а * 0 и ь * 0. Иначе линейная зависимость а и ь

вытекает из утверждения 6.1. Из коллинеарности векторов

—>

—►

и ь

следует,

—►

число,

не равное

нулю. Запишем

что а =

Хь , где X - действительное

последнее равенство

виде:

1аЛЬ = 0.

Таким

образом,

линейная

комбинация векторов

а и ь

равна нулю, при этом оба коэффициента при

векторах

отличны от

нуля.

Следовательно, векторы

—>

линейно

зависимы по определению. Достаточность доказана.

Следствие 6.1.

Если

векторы

и ~ь

не коллинеарны,

то они

линейно независимы.

Докажем необходимое и достаточное условие линейной зависимости трех векторов.

Теорема 6.2.	Необходимым			и	достаточным		условием линейной
зависимости 3-х векторов является их компланарность.
Доказательство.
1). Необходимость.		Пусть векторы				Г , с	линейно зависимы.
Докажем, что эти векторы		компланарны.
Если векторы а , ь , с			линейно			зависимы,	то по определению
линейной зависимости существуют числа					Х{, Х2, Х3, из которых хотя бы одно
не равно нулю, что выполняется равенство
	Х\ а +Х2 Ь +		Хз с ~ 0.				(6.3)
Пусть для определенности		Х3*0. Тогда из уравнения (6.3) получим:
		с —— — а— — Ь				или
		Дз		Aj
		с = Aj а + к2 Ь ,
			(6.4)
	где к, = - у - . h			=-^т-
		л3			/Ц

	Если векторы			а	и	ь		не
	коллинеарны				(рис.9), то			из
	равенства		(6.4)		следует,		что
	вектор		с		это	диагональ
	параллелограмма, построенного на
	векторах		—*		—>
	векторах		кха и	к2 ъ , приведенных
	к	общему	началу. Следовательно,
	векторы а , ь ,				с	лежат		в
Рис. 9.	плоскости						одного
Рис. 9.	параллелограмма,				что	означает
	параллелограмма,				что	означает
Если же векторы а и Ъ коллинеарны	компланарнарность этих векторов.
Если же векторы а и Ъ коллинеарны
вектор с коллинеарен этим векторам. Следовательно,				векторы		а ,	ь ,
компланарны. Необходимость доказана.	—*	—► —►
	—*	—► —►

2)Достаточность. Пусть векторы а , Ь , с компланарны. Докажем,

что эти векторы линейно зависимы.

—►	—>	—►	является нулевым,	то
Если хотя бы один из тройки векторов а , Ь , с
векторы линейно зависимы в силу утверждения 6.1.
Если хотя бы одна пара векторов из а ,	Ь ,	с	линейно зависима,	т.е.
два вектора коллинеарны, то векторы а , ь , с		линейно зависимы в силу
утверждения 6.2.
Рассмотрим случай, когда а * 0, 6 0, с о и	векторы а , ь , с попарно не

коллинеарны. Приведем векторы а ,~ь ,~с к общему началу О (рис. 10).

Рис. 10.

По построению ОА || а,

Через конец вектора Ь проведем прямые,

—► —► параллельные векторам а и с Точку

пересечения прямой, параллельной вектору —> —► а , с прямой, на которой лежит вектор с ,

обозначим буквой с , а точку пересечения

—> прямой, параллельной вектору с , с прямой,

—► на которой лежит вектор а , обозначим

буквой А .

ОС || с, значит, ОА = Лха, О С - ^ с , где Я,,

некоторые, не равные нулю, числа.

Тогда по правилу параллелограмма сложения векторов получим:

ь = о а +ос	или	ь = Х 1 а + Х 2 с				Таким	образом,	составлена
линейная комбинация векторов				—► —>		—>
				а ,	ь ,	с с ненулевыми коэффициентами,
которая равна нулю :		_	_	_				—> —> —►
		\-Ь~Л}а - Л 2с = 0.				Следовательно, векторы а , ь , с
линейно зависимы по определению.					Достаточность доказана.
Следствие 6.2.			Если векторы а , ? , с				не компланарны, то они
линейно независимы.

6.5.Координаты вектора

Три	линейно независимых	вектора	а ,	ь ,	с	образуют базис в
пространстве, если любой вектор		можно представить в виде некоторой
линейной	комбинации векторов а , ~ь , с ,		г.е.	существуют такие			числа
4 ,^ 2 И Аз,	ЧТО
	d = X i а + Х 2 Ь + Хз с			—>			(6 .5 )
Выражение (6.5) называется разложением				—>		—► —► ->
Выражение (6.5) называется разложением			вектора d		по базису а ,		ь , с , а

числа Х\9Х2, Х3 - координатами вектора d в этом базисе. Справедливы следующие фундаментальные утверждения:

Утверждение 6.3.		Любые три некомпланарных вектора образуют
базис в пространстве.
Утверждении 6.4.		Разложение вектора d	по базису а ,	Ь , с
единственно.
Доказательство (методом «от противного»).			Предположим, что
наряду с разложением (6.5) справедливо другое разложение вектора				—>
				d по
базису а , Ь	с
		~d =\|ii а + р2 Ь + р37		(6-6)
Вычтем из равенства (6.5) равенство (6.6), получим соотношение
	(Xr P i ) а	+ (Х2р2) *> + (Х3 - р3) С = 0.
Векторы	а , 6 , с образуют базис в пространстве, следовательно, они

линейно независимы. Тогда по определению линейно независимых векторов

имеем: Хг р,= 0;	Хгр2= 0;	Х3 - р3 = 0	или	Xt= рг,	—р2; Х3 = р3.
Таким образом, единственность		разложения	вектора d по базису а , ь , с
доказана.


Будем	рассматривать		в
пространстве		декартову
прямоугольную		систему
координат. Ее		образуют	три
взаимно	перпендикулярные
оси	Ох, Оу, O z, имеющие
общее начало О		и одинаковую
масштабную единицу.

Рис. 11.

Базис в декартовой прямоугольной системе принято обозначать

7 , 7 , 7 , при	этом 1	П Ох,	17 1=1;	j * t O y ,		\|^71=1;	7тТОг, \|7 \|=1
(рис. 1 1).
В силу определения базиса любой вектор					d	может быть представлен
единственным	образом	в виде:	d = х i + у j + z к , где х,					у, z - числа,
называемые прямоугольными координатами					вектора		—►	Обозначаются
называемые прямоугольными координатами					вектора		d	Обозначаются

—►

прямоугольные координаты вектора следующим образом: d ={ х; у; z }.

Геометрический смысл прямоугольных координат вектора раскрывает

Утверждение 6.5. Прямоугольные	координаты х,у, z			вектора	—>
					d
есть проекции этого вектора на координатные оси		Ох, Оу, Oz соответственно.
Из этого утверждения следует, что	вектор	d	является	диагональю
прямоугольного параллелепипеда, построенного на			векторах	—► —►	^
				х i , у j , zk .

Так как квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме

квадратов его сторон, то длина вектора d определяется формулой :

	\ d \ = J ? T	/ 7 7	(6.7)
Углы, которые	образует	—►	Ox,Oy,Oz
		вектор d с осями координат
обозначим буквами а,	р, у (рис. 12).
Тогда в силу утверждения 6.5
	х = пр0х d =\| d \|cosa ,
	У= "Роуd =1 d I c°s P ,		(6.8)
	2 = nPox d -\d\ cosу

Числа cosa, cosP и cosy называют направляющими

косинусами

вектора d

Рис. 12.
Утверждение	6.6.	Сумма квадратов	направляющих		косинусов
любого вектора равна единице: cos2 a + cos2 р + cos2 у = 1.
Доказательство. Из формул (6.8) имеем:
х			VU3	IX — ---г ,
cosа - — ,			VU3	IX — ---г ,
\ d \				и
\ d \
cos0 = —	,	Тогда	cos1 /} = -¥-$,		(6.9)
\ d \				й
z			2	й
z			2	*2
cosу - — .			COS	у = — 5-.
\d \|				й
Складывая равенства (6.9),		получим:		й
Складывая равенства (6.9),		получим:

cos2 а + cos2 Р + cos2 у = — ^ (х 2 + у 2 + z 2) = I.

Последнее равенство имеет место в силу формулы (6.7). Таким образом, утверждение доказано.

Значение базисных векторов пространства состоит в том, что они позволяют линейные операции над векторами сводить к линейным операциям над координатами этих векторов.

Например,если

а =

{

t ;

y z;}h - о

a = JC/ / + y

~+j

zt k ,

ь =

{

2 ;

<=>z 2 }

6 =

X 2 7

z~J{ k ,

о + b = ( x t + 2) X7 + ( y

, + 2)У

j + ( Z j

2)Z

~k О

+ b

= {*/+ Х

; У1 +

У2;* 1 + Z 2 } 9

т.е. при сложении векторов их соответствующие координаты складываются; —► —> —>—> —> —>

a - 6 = ( Х Г 2)Х +i f y r 2)У j +( Z Г * г ) к<=> а - Ь= { х Г Х 2 ; У 2; г2 гУ Z 2f ,

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.2022884.42 Кб30Лабораторный практикум по общей химической технологии.pdf
#
15.11.20223.07 Mб14Лабораторный практикум по теории механизмов и робототехнике..pdf
#
15.11.202224.58 Mб41Лабораторный практикум по химической технологии неорганических веще..pdf
#
15.11.20227.04 Mб47Лабораторный практикум по целлюлозно-бумажному производству..pdf
#
15.11.20224.52 Mб14Лекции и индивидуальные задания по высшей математике Часть 1..pdf
#
15.11.20224.35 Mб9Лекции по высшей математике Часть 1..pdf
#
15.11.202212.2 Mб10Лекции по программированию..pdf
#
15.11.20221.06 Mб11Линейные задачи теории гидродинамической устойчивости и численные ме..pdf
#
15.11.202213.37 Mб62Литейное производство..pdf
#
15.11.20226.78 Mб70Литье по выплавляемым моделям отливок авиационно-космического назнач..pdf
#
15.11.202214.68 Mб5Лицо тоталитаризма..pdf