Лекции по высшей математике Часть 1
..pdfПоследнее уравнение является уравнением параболы с вершиной в точке
(1 ;1) - Поместим начало новой системы координат в вершину параболы - в
точку 0'(1;1) |
и выполним параллельный перенос осей координат, используя |
|||
формулы { |
Х |
1. |
|
|
IУ |
= у - |
|
|
|
Тогда |
уравнение в системе координат х'О'у' |
будет иметь |
||
канонический вид |
(х')2 - ~ У ' |
|
|
|
Далее строим обе системы координат хОу |
и х'О'у |
и в последней |
||
изобразим параболу, определяемую уравнением |
(х')2= ” У |
(рис. 45). |
||
Пример 11.8. Привести уравнение Ах1 + 9у2-40х +36у +100=0 к
каноническому виду и построить его геометрический образ. Решение. Преобразуем данное уравнение следующим образом:
4(х2 - Юх)+9(у2 + 4><)+100 = 0;
4(дг2 -10JC+ 25-25)+9()'2+4>> + 4-4)+100 = 0;
4(*-5)2-100 +9(}'+2)2 -36 +100= 0;
4{х- 5)2 +9{у+ 2)2 =36 | : 36;
(x-sf , (у+г)'
|
9 |
|
4 |
|
|
Произведем параллельный перенос осей координат, приняв за |
новое |
||||
начало точку |
О'(5,-2). Для этого воспользуемся формулами преобразования |
||||
координат |
х' - х - 5, |
Относительно новых осей уравнение кривой |
|||
У = У + 2. |
|||||
|
|
|
|||
примет вид |
( х ' У Ы У |
= 1. Таким образом, заданная кривая |
является |
||
Л—^ |
4 |
||||
|
9 |
|
|
||
эллипсом с полуосями |
а=3, Ь=2. (рис. 46). |
|
|||
§ 12. Параметрическое представление линии на плоскости
Для аналитического представления линии достаточно часто используют параметрическое представление. Параметрическое представление линии заключается в том, что переменные координаты х и у точек этой линии записывают в виде функций вспомогательной переменной (параметра) t :
j * = <p(t\ |
( 12.1) |
|
где функции <p(t), 4/(t) предполагаются непрерывными по параметру / в некоторой области изменения этого параметра.
Выше (п.10.3) уже рассматривались параметрические уравнения
прямой на плоскости: J х ~ х о +
\ y = y 0+ m t.
Рассмотрим примеры плоских линий, заданных в параметрическом
виде.
|
Пример 12.1. Уравнения |
X = flCOS/, |
( 12.2) |
||
|
у = 6sin /, |
||||
|
|
|
|
|
|
где |
а |
и |
Ь- положительные числа, являются |
параметрическими |
|
уравнениями эллипса с центром в начале координат и полуосями а и Ь.
Чтобы показать это, исключим из уравнений (12.2) параметр / следующим
х 2 = a2cos2 /,
образом:
у 2 - Ь2sin1 /,
Таким образом, получено каноническое уравнение эллипса с
полуосями |
а и |
Ь. |
Заметим, что параметр |
/ может принимать любые |
|
значения, но для того, чтобы точка |
(х\у) один раз обошла эллипс, область |
||||
изменения |
параметра |
/ следует ограничить |
полусегментом 0</<2тг. |
||
Замечание, |
Очевидно, что |
уравнения |
х = Rcost, |
||
|
|||||
у = Rsint
R -const, R> 0 , являются параметрическими уравнениями окружности радиуса R с центром в начале координат.
х - a cos3 /,
Пример 12.2. Параметрические уравнения
у = a sin 3 /,
где а> 0, определяют на плоскости линию, которая называется астроидой. Уравнение астроиды в прямоугольных координатах имеет вид +у% = cfi
График астроиды изображен на рис. 47.
Пример 12.3. Уравнения jjf-flff-sin /),
{.у = R (\~ c o st ),
являются параметрическими уравнениями циклоиды - линии, которую описывает фиксированная точка окружности радиуса R , при условии, что окружность без скольжения катится по неподвижной прямой оси Ох
(рис. 48).
§13. Уравнение линии в полярной системе координат
13.1.Полярная система координат
Кроме прямоугольной системы координат на плоскости можно рассматривать полярную систему координат. Полярная система
координат определяется заданием некоторой точки |
О |
и исходящего из |
|||||||||||||
этой точки луча Ох с указанием единицы масштаба. Точка |
О называется |
||||||||||||||
полюсом полярной системы координат, а луч |
Ох- полярной осью. |
|
|
||||||||||||
Возьмем на плоскости произвольную точку |
м , не совпадающую |
||||||||||||||
с точкой |
О . Положение точки |
м определяется двумя числами |
р |
и <р, |
|||||||||||
где число |
р (полярный радиус) |
равно расстоянию точки |
М от полюса |
||||||||||||
<9, а <р |
{полярный угол) |
- угол, на который нужно повернуть против |
|||||||||||||
часовой стрелки луч Ох до совмещения с лучом |
ОМ. |
Числа |
р |
и <р |
|||||||||||
называются полярными координатами точки |
м |
и обозначаются |
М(р\<р). |
||||||||||||
Заметим, |
|
что для полюса |
О |
|
полярный |
радиус |
р |
равен нулю, а |
|||||||
полярный |
угол |
<р |
не определен, |
т.с. ему |
можно |
приписать любое |
|||||||||
значение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для того, |
чтобы |
соответствие |
между |
точками |
плоскости |
|
|||||||||
(кроме |
О) |
и парами полярных координат |
(р \<р) |
|
было |
взаимно |
|||||||||
однозначным, считают, что |
р |
и |
q> удовлетворяют неравенствам: |
|
|||||||||||
|
р> 0, |
0<у><2я |
|
(или |
- к <<р </г). |
|
|
|
|
||||||
В некоторых задачах от данных ограничений отказываются. Если |
|||||||||||||||
<р<о, |
то полярный угол откладывается вращением |
полярной оси по |
|||||||||||||
часовой |
стрелке. Если |
р < 0, |
|
то полярный |
радиус откладывается на |
||||||||||
соответствующем луче в противоположную от полюса сторону.
Например, на рис. 49 изображены в полярной системе координат
м 2
м 4
м I
Рис. 49.
следующие точки:
Закон изменения величин р и (р выясняется в каждом конкретном
случае.
Установим связь между полярными и прямоугольными
координатами. Для этого совместим полюс О |
с началом прямоугольной |
|
системы координат |
хО у, а полярную ось - |
с положительной полуосью |
Ох. Пусть д и у |
- прямоугольные координаты точки л /,а р и <р |
|
ее полярные координаты.
Из рис. 50 видно, что прямоугольные координаты точки м выражаются через полярные координаты следующим образом:
х = pcostp,
у = psin^?. |
|
(13.1) |
|
|
|
Полярные же координаты точки |
м |
выражаются через |
прямоугольные координаты с помощью формул:
Заметим, что определяя полярный угол <р из последней формулы, следует установить по знакам х и у четверть, в которой лежит искомый угол.
13.2. Некоторые линии, заданные в полярной системе координат
Рассмотрим примеры некоторых кривых, заданных в полярных
координатах. |
|
|
Пример |
13.1. |
Построить кривую, заданную уравнением |
р = a cos (р, где |
а =const, |
а >0. |
Решение. Покажем, что заданная линия в прямоугольных координатах определяется уравнением
(13.2)
Действительно, если в уравнении (13.2) перейти к полярным координатам с помощью формул (13.1), то получим
р - a cos <р.
о
X |
|
|
|
о |
X |
р = ЯСОБф |
p = tfsincp |
|
Рис. 51. |
Рис. 52. |
|
радиуса ^ с центром в точке (§ ’°) |
(СМ-РИС*51)- |
|
Замечание. Уравнение p = asm<p, где а = const, а >0, определяет
|
|
Пример 13.2. Построить линию |
p = cos<p + l. |
|
|
|
||||||
|
Решение. Для построения данной линии составим таблицу значений |
|||||||||||
|
Р- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф |
0 |
+— |
+ i |
+* |
|
|
|
+И |
±2* |
- |
±5* |
±Иж |
|
|
3 |
12 |
2 |
<5К И |
|||||||
|
|
12 |
6 |
4 |
12 |
3 |
1 |
6 |
12 |
|||
р |
2 |
1.97 |
1.87 |
1.71 |
3/2 |
1.26 |
1 |
0.74 |
0.5 |
0.29 |
0.13 |
0.03 |
В полярной системе координат строим точки с координатами (р;<р). Соединив последовательно эти точки, получим линию, называемую кардиоидой (рис. 53).
<р и
± к
0
Рис. 53.
Замечание. |
Построенная линия |
является частным случаем линии |
p = acos<p + l, |
которая называется |
улиткой Паскаля. Форма последней |
линии зависит от соотношения между числами а и I.
Если а = 1, то имеем уже известную кардиоиду, если а>1 , то - улитку Паскаля с самопересечением, если а<1 , то - без самопересечения (см. рис. 54).
Рис. 54.
Пример 13.3. Построить линии а); р = 5 sin 2<р б) р = 2sin 5<р. Решение, а) Линию р = 5sin 2ср можно построить по точкам, но
целесообразнее воспользоваться вспомогательной функцией y = 5sin2x. График этой функции изображен на рис. 55.
Зависимость |
между |
р |
и |
<р |
в |
заданном уравнении |
совпадает с |
||
зависимостью |
между |
у |
и |
х |
в |
вспомогательной |
функции. Если |
||
то р |
Растет от нуля Д° 5, если |
то |
р |
убывает от 5 |
|||||
до нуля, если |
|
|
Р |
убывает от нуля до |
-5 |
и т.д. Изображая |
|||
эту зависимость между р и <р на полярной системе координат, получим замкнутую линию, состоящую из четырех лепестков. Эта линия называется четырехлепестковой розой (рис. 56).
б) Аналогично построим линию |
p = 2sin5(p, воспользовавшись |
вспомогательной.функцией y = 2sin5jc. |
Линия p = 2sin5cp называется |
пятилепестковая роза (рис. 57). |
|
3п |
|
р = 5sin 2ср |
р = 2sin5cp |
Рис. 57
Рис. 56