Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции по высшей математике Часть 1

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

4.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 147 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Теорема 8.3.			* >	—►
	Если векторы а			и ь заданы своими координатами
	а = {*/.' УГ. Zi),			ft = {х2; у2; z2},	то
а х А= {y,z2 -z,y 2; z,x2 - x,z2; x y 2- y ix 2}						или
a x b —		J	*					(8.2)
		У\ z\
		Уг	z2
Доказательство.	Запишем		разложение векторов		а	и	6	по базису
	а = X] I	+ у, j + zj k ,		b=X2i + y 2j + Z2k .
Тогда, используя алгебраические свойства векторного произведения и
значения векторных произведений базисных векторов / , 7 , *,							получим:
axb = (Xj i + У] j + Z/ k )x(x2 /				+ У2 j + 2 ) = XjX2( / x i ) +				Xjy2( i x j )+
+XfZ2( i X k)+ yiX2( j x i ) +		yiy2( j x j ) + yjZ2( j xk)+			ZjX2( k x i ) +			Zjy2( k x j) +
+ZjZ2(k xk)= (yjZ2- Ziyi) i		+ {Z/X2- *yZ2) 7 + (Xjy2 - У]X2)k .
Последнее	выражение		- это	разложение определителя,				стоящего в

формуле (8.2), по элементам первой строки. Таким образом, формула (8.2) доказана.

Следствие	8.L	Необходимым	и	достаточным			условием
коллинеарности		—►	и	—►	(JC2;	у2; z2}	является
коллинеарности	векторов a - {x7;_yy,z;}		и	b -	(JC2;	у2; z2}	является
пропорциональность соответствующих координат:
		iL =i l		it
		*2	У2	'2
Доказательство.		В силу теоремы 8.1	а \|\| Ь		о	ах ь	0. Тогда по
теореме 8.3

А= А ;

[yiz2-z,y2=0,	Уг	zi'
\| x2zx- jf.z2 =О,		iL =A	=iL
{х\Уг-У1*2=Ь		х2 У2	z2 '
{х\Уг-У1*2=Ь	А ^ А
	А ^ А
	.Уг	xi ’

Пример 8.2. Даны два вектора а и Ь , для которых | а |= 2, | Ъ|=6 ,

—VЛ—> С		—> —►		б) 1(2 а +3 6)х(а-4 6)\|.
<е = (а ,Ь) = - л . Найти		а)	ах 6 ,
6	—►—>	—>	—>	j
Решение:
	а) \| ах 6 \|=\| а \| • \| 6 \| • sin <р = 2• 6• —= 6 .
ах ь =6 е , где	е - единичный вектор направления ах 6 ;

б) согласно свойствам векторного произведения

(2 а+ 3 6 ) х (or- 4 6 ) = 2(дх а) - 8(ах Ь) + 3(6х а ) - 12(6х 6) = -8(дх 6) - 3(ах Ь) = - 1 1(ах b).

Следовательно,

|(2а+3 6 ) х ( а - 4 6 ) Н - 1 1 ( а х lb) |= 111 а х 6 |= 11 • 6 = 66 .

Пример 8.3. Найти площадь треугольника с вершинами Л(1;2;0), Я(3;2;1), С(-2;1;2).

Решение:	= ^\| АВ* АС\.
Находим координаты векторов				Л Я и Л С :	Л Я = {2;0;l}, АС = {-3 ;- 1 ;2 } .
Тогда	1	J	к
	1	J	к
АВхАС =	2	О	I =	i - 1 j —2 k .
	-3	-1	2
Следовательно,			=- Vl + 49 +4 =		.

8.4.Механический смысл векторного произведения

Пусть / - сила, приложенная в точке М, а вектор —> —►

аом соединяет некоторую точку пространства

—> —>	—v
О с точкой М. Тогда а х /	момент силы f
относительно точки О.

§9. Смешанное произведение векторов

9.1.Определение смешанного произведения

Пусть даны три вектора			а , ъ и с
Если	вектор	~а векторно умножить на			вектор ь		и полученный вектор
—► —>	скалярно	умножить на	вектор	->	то	получится число, называемое
а х ь				с
смешанным произведением векторов				—► —>		—►	которое обозначается
				а ,	ь ,	с ,
а Ь с	Из определения смешанного произведения имеем:

		о 6 с - ( а х 6 ) с					( 9 . 1 )

9.2.Геометрический смысл смешанного произведения

Геометрический смысл смешанного произведения раскрывает

следующая
Теорема 9.1.	Смешанное произведение а ь с	равно объему

параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах

—► —►—►								—► —^		~правая,
а	ь с	взятому со знаком «плюс», если тройка векторов а							ь . с	~правая,
и со знаком «минус»,			если тройка			—►	—►	—►	же	векторы
и со знаком «минус»,			если тройка			а	, ь ,	с - левая; если	же	векторы
а	, ь , с	компланарны, то а		6	с равно нулю:
			,	если		а, 6, с - правая;
		а b с —< - F	^ ,		если	a,	с - левая\
		О,	если		а, b,с -		компланарны
		Доказательство.			Построим			на векторах		Ь, с ,
приведенных к общему началу О, параллелепипед (см. рис. 18).

			Введем		обозначение d - a ^ b
			и	изобразим				вектор	d ,
			ортогональный				векторам		а и
			b , длина которого равна
			площади			параллелограмма
			ОАКВ,		построенного				на
			векторах		а	и	Ъ
	Рис. 18.
Тогда	а b с = ( а	х b ) с =d	с=\а\ пр_, с .
Если		—> —► —►		правой (рис. 18), то угол ср
Если	тройка векторов а ,		ь , с является	правой (рис. 18), то угол ср
между векторами d u e		острый, следовательно, пр^с>0					и	пР - с=	Я , где
Я - высота построенного параллелепипеда. Значит, а					ь	= Sa		Я :

Если же тройка векторов а , ь , с является левой (рис. 19), то угол ф

тупой, пр^с<0 и	пр^ с = - Н . Тогда
<1	d
О Ь С — SOAKR* ( ~ Я ) =	— У„ар-да *

В	случае,	когда	векторы		а ,	л , с
компланарны (рис.20),
-У —> —>	->	—>	так	как	вектор	-»
a h с	d	с = 0,				d
ортогонален		плоскости,		в которой		лежат

векторы а, ь и с . Теорема доказана.

Следствие 9.I. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения:

а , h , с компланарны О а Ь с =0.

Следствие 9.2. При круговой перестановке перемножаемых векторов смешанное произведение не меняется:

а Ь с —Ь с а - с а Ъ \

при перестановке любых двух перемножаемых векторов смешанное произведение меняет знак на противоположный:

а b с — - b а с , а Ъ с = - с Ъ а ,

а Ь с = - а с b .

Следствие 9.3. Объем параллелепипеда, построенного на векторах

а , ь , с , равен модулю смешанного произведения этих векторов:

Vпар-да ~ \ а b с jj

а объем треугольной пирамиды (рис.21), построенной на этих же векторах, определяется формулой:

_ 1,

Упир-ды=-\а ь СI, так как

У,пир-ды

9.3. Вычисление смешанного произведения в координатной форме

Теорема 9.2. Если векторы а , ь				и с	заданы своими координатами
yii zi},	4	= {x2; y 2; z2}, c = {
		*1	У\	=\	(9.2)
		a b c — *2	^2	z2	(9.2)
		*3	УЗ	‘ 3
Доказательство. Найдем смешанное произведение векторов
а = JCy i + у I j	+	2/ k , 6 = *2 » +		У2 j	+ 22 Л , c = Xj I + Уз j + 2j k ,

используя формулы вычисления векторного и скалярного произведений в координатной форме:

—*	—>	-►
/	У	*
	У	= (yiz2 - z 0>2)i - (x,z2 - z,x2) j +(x0>2 - y ,x 2)k ;
а х Ь —	У 1	= (yiz2 - z 0>2)i - (x,z2 - z,x2) j +(x0>2 - y ,x 2)k ;
x 2	^ 2	“ 2

а b	с	( а х	Ь ) с = ( y , Z 2 - Z j y 2) Х 3+ (ZjX2 - XjZ2) у 3+ (Х;У2 ~ У/ Х2) Z3=
Х1	У\	z\
= *2	У2	z2	•
*3	Уз	z3

Последнее равенство - разложение определителя по									элементам третьей
строки.
Следствие	9.4.	Необходимым					и достаточным			условием
компланарности	векторов		а = {х7; jy7; z7},				Ь = {х2; у2; z2),		с = {хз; у* z3}
является равенство		■*1 У1 -1
является равенство		*2	>2	z2 = 0.
		х3	УЗ	z3
Замечание.	Если а			*1	У\	2\	>0, то тройка векторов			а , Ь , с
Замечание.	Если а		Ъ с	х2	У2	-2	>0, то тройка векторов			а , Ь , с
является правой,				х3	УЗ	z3
является правой,
	*1	-Vi	Z1						ь , с - левая.
если же а ь с -	х2	У2	z2 <0, то тройка векторов а					,	ь , с - левая.
	хз	Уз	zз
			Даны вершины				пирамиды	А(2;-I; 1), В(5; 5; 4),
			С(3; 2; -1), D{4; 1; 3). Найти ее объем.

Решение: Найдем векторы АС, а в , A D :

а с = {1; 3; -2};			АВ = {3; 6; 3}; AD = {2; 2; 2}.
1	—►	—>	—>
^пирамиды~ - 1лс		A B A D \|. Вычислим смешанное произведение:
		1	3	- 2
АС • AB	AD = 3		6	3 =12+18-12+24-18-6=18.
		2	2	2

Следовательно,

^ 1 8 = 3.

Глава 3. Аналитическая геометрия на плоскости

§10. Прямая на плоскости

10.1. Уравнение линии на плоскости
Предположим	на	плоскости	а заданы	декартова		прямоугольная
система координат	хО у	и некоторая линия L .
Рассмотрим уравнение, связывающее две переменные					х	и у :
	F(x; у ) = 0 •		уравнением	линии	L	(10.1)
Уравнение (10.1)		называется				(относительно

заданной системы координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии L , и не удовлетворяют координаты х и у ни одной точки, не лежащей на линии L .

Согласно данному определению линия L это геометрическое место точек на плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению (10.1).

Переменные х и у в	уравнении линии (10.1) называются текущими
координатами точек линии.
Например, уравнение	*2+ У - 1=0 определяет окружность радиуса

R = 1 с центром в начале координат.

Заметим, что уравнение вида (10.1) может и не иметь геометрического образа или иметь геометрический образ, не

соответствующий	понятию	линии. Так,	уравнению	*2+у2=0
удовлетворяет только одна		точка (0; 0);	а уравнение	х2 +у1 +1 = 0

вообще не имеет геометрического образа.

Уравнение (10.1) называется алгебраическим уравнением п-ой степени,


если функция	F(x,y)	представляет собой						сумму конечного числа
слагаемых вида аи х' У,		где	/>7	целые		неотрицательные числа,					причем
/ +j < п ; щ - некоторые постоянные,					причем		хотя бы для одной пары чисел
i , j , удовлетворяющих равенству				,+ у = „,		a v	*	0
Например,	алгебраическое			уравнение первой степени имеет вид
Ах + Ву +С = 0 , где хотя		бы	одно		из чисел			А, В	отлично	от	нуля,
алгебраическое уравнение второй				степени - Ах2 + By2 + Сху +Dx + Еу + F =0, где
хотя бы одно из чисел А, В,С			отлично от нуля.
Утверждение 10.L		Если		линия			L	в	некоторой	декартовой

прямоугольной системе координат хОу определяется алгебраическим уравнением я-ой степени, то в любой другой декартовой прямоугольной системе координат эта линия определяется алгебраическим уравнением той же степени п .

Заметим, что линия на плоскости может быть задана уравнением в полярной системе координат. Этот способ задания линии рассматривается в

§13. Иногда линия на плоскости записывается в параметрическом виде, о чем излагается в § 12.

10.2. Прямая линия на плоскости
Теорема 10.1.	Если на плоскости а		задана декартова прямоугольная
система координат	и прямая	L, то в этой системе координат прямая L
определяется алгебраическим		уравнением	I степени
Ах + Ву + С =0-			(10.2)

Доказательство.

Для доказательства достаточно показать, что прямая L определяется уравнением первой степени относительно специально выбранной системы координатхОу. Систему координат выберем следующим образом: ось Ох направим вдоль прямой L , а ось Оу перпендикулярно к ней. Тогда прямая l относительно выбранной системы координат хОу определяется уравнением у - 0 , т.е. алгебраическим уравнением первой степени. Следовательно, в силу утверждения прямая L в любой другой декартовой прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением первой степени, т.е. уравнением (10.2). Теорема доказана.

Теорема 10.2.	Если на плоскости а	задана декартова прямоугольная
система координат,	то всякое уравнение первой степени
	Ах + Ву + С = Ъ	(10.2)

(хотя бы одно из чисел А, в не равно нулю), определяет относительно этой системы координат прямую линию.

Доказательство.

Уравнение (10.2) имеет бесконечное множество решений. Найдем одно

из них. Обозначим		его	(*0>Уо)’ т.е. точка		ЛУ0(*0;у0)- точка, координаты
которой удовлетворяют			уравнению (10.2), а именно,
			Ах0+ Ву0+С = 0.				(10.3)
Вычитая из уравнения (10.2)				уравнение (10.3), получим
	/\|(д-дг0)+5(у-Уо) =0 >						(Ю-4)
уравнение	эквивалентное уравнению (10.2). Покажем, что уравнение (10.4)
определяет	прямую		L,	проходящую	через точку М0(х0\у0)			и
перпендикулярную		вектору		п = {А\В] (п -	ненулевой вектор, т.к. хотя бы
одно из чисел А, В		не равно нулю ).
				Действительно, если точка			м{х\у)
				лежит на указанной		прямой	L,	то
				векторы	л = {Л;Д} И	м 0м = { x - x Qyy -		Уъ]
				ортогональны, следовательно,				их
				скалярное произведение равно нулю:

Если же точка м(х\у)

не лежит на

прямой L, то векторы п

и М0М

не ортогональны и, следовательно, равенство (10.4) не выполняется. Таким

образом,

уравнение

(10.2), эквивалентное

уравнению

(10.4),

определяет

прямую

L . Теорема доказана.

Уравнение (10.4) называется уравнением прямой, проходящей

через

точку

А*0(*0,у0)

перпендикулярно

вектору л = {Л;£}.

10.3. Различные виды уравнения прямой на плоскости

Уравнение (10.2),

в котором хотя бы один из коэффициентов А или В

не равен нулю,

называется

общим уравнением

прямой. Вектор

л = {л,в},

перпендикулярный

данной

прямой, называется

нормальным

вектором

прямой ( или нормалью).

Общее уравнение прямой (10.2) называется полным, если все его

коэффициенты

а , в

и с отличны от нуля.

Если

хотя

бы

один

из коэффициентов

А, в , С

равен

нулю, то

уравнение (10.2) называется

неполным.

Неполные уравнения прямой

Рассмотрим все возможные виды неполных уравнений прямой.

Если

С = о,

то

уравнение (10.2)

принимает

вид:

Ах + Ву =о

определяет прямую, проходящую через точку (0; 0).

Если

>1 = 0,

то

уравнение (10.2)

принимает

вид:

Ву + С = 0

определяет прямую,

параллельную оси Ох.

Если

В =о,

то

уравнение (10.2)

принимает

вид:

Ах + С = 0

определяет прямую, параллельную оси О у .

Если

А - С =0 , то уравнение (10.2) принимает вид: By =0 (или у - 0)

определяет саму ось

О х.

Если

В =*С =0 , то уравнение (10.2) принимает вид: Ax = Q (или * = 0)и

определяет саму ось

О у.

Рассмотрим полное уравнение прямой (10.2) м покажем, что его можно

привести к виду -а +-Ь =1. Для этого совершим следующие преобразования:

перенесем С

в правую часть:

Ах + By = -С ;

разделим уравнение на

-С

= х

или

”Т +_% = 1'

Введем обозначения:

а = ~ ;

Тогда последнее уравнение

примет вид:

± + ^ = i

(10.5)

Уравнение (10.5) называется уравнением

прямой

в отрезках.

Геометрический

смысл

чисел а и Ь:

- отрезки,

которые

отсекает прямая на осях Ох, Оу

соответственно, т.е. точки

(я;0)

(0,Ь)

- точки пересечения прямой

осями

координат. Уравнение

прямой

в отрезках

применяется

для

построения

прямой

на

чертеже (см. рис.22).

Пример 10.1.

Уравнение

прямой

2. x - З у + 6 = 0

привести

уравнению в отрезках и построить данную прямую.

Решение. Приведем уравнение

прямой к уравнению в отрезках:

2*-Зу = -6

|:(~б);

Следовательно,

а = - з ,

ь = 2.

Для

построения

прямой

строим

точки

(—3;0) и

(0;2)

и проводим

через них прямую (рис. 23).

Рис. 23.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 147 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.2022884.42 Кб30Лабораторный практикум по общей химической технологии.pdf
#
15.11.20223.07 Mб14Лабораторный практикум по теории механизмов и робототехнике..pdf
#
15.11.202224.58 Mб41Лабораторный практикум по химической технологии неорганических веще..pdf
#
15.11.20227.04 Mб47Лабораторный практикум по целлюлозно-бумажному производству..pdf
#
15.11.20224.52 Mб14Лекции и индивидуальные задания по высшей математике Часть 1..pdf
#
15.11.20224.35 Mб9Лекции по высшей математике Часть 1..pdf
#
15.11.202212.2 Mб10Лекции по программированию..pdf
#
15.11.20221.06 Mб11Линейные задачи теории гидродинамической устойчивости и численные ме..pdf
#
15.11.202213.37 Mб62Литейное производство..pdf
#
15.11.20226.78 Mб70Литье по выплавляемым моделям отливок авиационно-космического назнач..pdf
#
15.11.202214.68 Mб5Лицо тоталитаризма..pdf