Лекции по высшей математике Часть 1

Оу, причем парабола

х2 = 2ру

расположена

в верхней, а парабола

х2 =-2ру - в нижней

полуплоскости

(рис. 40).

из уравнения

х =

4у

следует что

* < 0, то уравнение определяет

левую ветвь указанной параболы (рис. 41).

гиперболы есть центр, то для этих

кривых

вводится

понятие

эксцентриситета - это число ,

которое обозначается

символом

и

вычисляется по формуле е = —, где

- половина расстояния между

а

фокусами эллипса (гиперболы),

а

большая

полуось

эллипса

(действительная полуось гиперболы).

Для эллипса с< 1, для окружности

£ = 0, для гиперболы

е>\.

Рассмотрим

общее

уравнение кривой второго

порядка

А х 2 + 2Вху + С у г + 2D x + 2E y + F = О,

( 11.11)

где

А, В, С, D, Е, F - действительные числа, но по крайней мере одно из чисел

А, В, С отлично от нуля. Заметим, что коэффициенты при ду,

при х и при

у

обозначены 2В ,

2D и

2Е не случайно. Это сделано для того, чтобы

Пусть на плоскости задана декартова прямоугольная

система

координат

х О у

(рис. 42). Путем

параллельного переноса осей координат

получена новая система

х'О 'у'

начало координат которой

находится в

точке О

Пусть

точка м -

произвольная

точка плоскости

и

(х ; у)

координаты этой точки в старой

системе координат

х О у ,

а

(х';У )-

координаты той же точки

м

в новой системе координат х'О'у'

Начало

координат системы

х'О'у'

-

точка

О

в старой системе координат х О у

имеет координаты

(х0;у0). Тогда

связь

между

старыми

и

новыми

координатами точки

м определяется формулами:

х = х +х0 ,

( 11.12)

где (х; у)

координаты

произвольной точки в системе хО у ,

(* ';/)

координаты

той же точки

в системе х'О'у', (х0;у0)

координаты

нового

угол а (угол

а отсчитывается против хода часовой стрелки), в результате

чего получим

новую систему координат

х'Оу'

Пусть

I , j

-

базисные векторы

старой

системы

координат

х О у ,

базисные векторы

новой

системы

координат

х'О у',

а точка

м

произвольная

точка

плоскости,

имеющая

координаты

(х \у ) в

старой

системе координат

хОу

и

координаты

(* ';/)

в новой системе координат

х'Оу'. Заметим, что координаты

х

и у

совпадают с координатами вектора

ОМ в его разложении по базису

/, j , а координаты

х'

и

у' совпадают с

координатами

вектора ом

в

его

разложении

по

базису

/', / ,

т.е.

OM = x i + y j ,

OM = x ' i ' + y ' j '

Следовательно,

x i

+ y j

=х'

/'+у • j '

(11.14)

Умножая равенство (11.14) скалярно на вектор

получим:

скалярно на вектор j

Получим:

1+yj j =

j+ y'-j'

j ,

7 = 0 , 7 7

= 1,

/' j = cos(90° - a) = sina , f

j = cosa ,

следовательно,

у = x sin a + У co sa .

Таким образом, формулы преобразования координат при повороте

системы координат

на угол а имеют вид:

fx = x 'c o s a - / s i n a ,

(11.16)

[у = х' sin а + У cos a ,

где (х;у)

- координаты

произвольной точки

в системе

х О у ,

(JC' ; У)

координаты

той

же точки

в системе

х О у ' ,

а

- угол

поворота системы

координат

х О у

вокруг

точки О

(в направлении против хода

часовой

стрелки).

рассмотрим на конкретном примере.

Пример 11.6. Пусть дано уравнение кривой:

ЗУ + 10ду+3/-2л:-14.у-13 = 0.

(11.17)

JC' = x c o s a - y s i n a ,

{

У = x s in a + у cos а,

где

х ,

у

координаты в повернутой системе

координат,

подставим

в

уравнение (11.18).

Имеем

з(хcos а - у sin a f +1 о(хcos а - у sin a )(xsin а +у cos а)+ 3(xsin а + у cos a f - 8 = О

или

(3cosJa +

10 cos a sin а+ 3 sin ’ а )^2+(-

6 005 а sin а + 10 cos1а -

10 sin ’ а+ 6 sin a cos а )ху +

+ (3sin1a - 1 0 s in a c o s c r + 3 c osJ<х)у

- 8

= 0.

Угол поворота

а

системы координат х'О’у'

будем искать из условия,

что коэффициент при

ху равен нулю. Решая тригонометрическое уравнение

lO cos2 а - 10sin 2 а = 0,

имеем

c o s2 a = 0 . Следовательно, а = —.

4

Подставив

cos а = sin а -

в

последнее

уравнение

линии

/,,

получим:

(Ъ

10

3 > 2

(Ъ

10

3 > 2 _

л

U

2

2)

U

2

2)

8х2 -

2 у - 8 = 0 .

(11.19)

Таким образом, уравнение (11.19)

- это уравнение линии

L в системе

координат

хО'у,

полученной поворотом системы

х'О'у' на угол a = j

то преобразование координат можно выполнять в любом порядке.

Замечание 2.

Если

в уравнении

(11.11) кривой второго

порядка коэффициент

в

не равен нулю,

то чтобы слагаемое

с

Btq1a - ( C - A ) t q a - B = 0.

(П.21)

поворота рассматривать угол

а , лежащий в первой четверти, для которого

tqa > 0. Тогда значения

sina

и

cosa, необходимые для записи формул

поворота системы координат, определяются по формулам тригонометрии

sing =

у tqa

,

cos а =

I 1■-—■=■.

^ \ +tq2a

yj\ + tq2a

Замечание J.

Если уравнение (11.11)

не содержит слагаемого с

произведением координат, т.е.

В = 0, то для приведения его к каноническому

виду следует выполнить параллельный перенос осей координат.

Пример 11.7.

Привести уравнение

Зх2 - 6 х - .у

+ 4 = 0

(11.22)

к каноническому виду и построить его геометрический образ.

Решение. Вычислим инвариант заданного уравнения:

3

0

8 =

■0.

0

0

координат.

Новую

систему

координат

обозначим

х'О 'у'

Подставим

формулы

преобразования

координат

при параллельном

переносе

(х = X +X ,

-

<

09

где (х0,у0)-координаты нового начала координат-точки (7, в

Ь = / + Л>

исходное уравнение:

3(У + х0)2 - б(У + *0) - (У + у0)+ 4 = 0.

Запишем уравнение в виде

3(х'У + (бх0 —б)х' —у' +

—6ха — у 0 +4 = 0 .

(11.23)

Далее найдем такие значения

х 0 и

у0, при которых коэффициент при У и

свободный член уравнения равны нулю:

Г

6х0-6 = 0,

|3х,; -

6*0 - >0 + 4 = 0.

Решение системы: х0 =1, >'„ = 1. Таким

образом,

(7(1; 1). Подставив в

уравнение

(11.23) найденные х0

и у0,

получим каноническое уравнение

параболы:

3(x'J = у'

или

(У)2= ^ У

Уравнение (11.22)

преобразуется следующим образом:

З*2 -

6дг = .у- 4,

з(х2 -

2дс) = .у- 4,