Лекции по высшей математике Часть 1

х - х 0 =у - у 0 ^ z - z Q

(1 5 3)

I

т

п

}

Уравнения (15.3) называются каноническими уравнениями прямой.

Уравнения прямой, проходящей через две точки

Прямая,

проходящая

через

две

точки AY,(*,,.y,,z1)

и

М2(*2>У2>г2),

определяется уравнениями

х - х х

у - у х

z - z {

(15.4)

хг ~ х\

Уг-У\

г2 - " 1

Параметрическиеуравнения прямой

Прямая,

проходящая через точку

A/0(jr0,y0,z0)

в направлении вектора

5 = {/,т,п), определяется параметрическими уравнениями

(х = / • / +дг0,

(15.5)

у = т / +у0,

z = n t + z0.

Областью изменения параметра /

является вся ось

- о о < / < + о о . При

изменении

t

величины

х, у,

меняются так,

что точка

М (xty,z )

движется

по

прямой.

т.е.

S = я ,х т =

4

Я,

С,

Вг

Для нахождения точки

M0(x0,y0,z0), принадлежащей прямой L, найдем

одно

из решений

системы

(15.6).

Пусть, для

определенности,

.42

#2

Тогда, взяв

вместо

произвольное число

(например,

=о )

и

подставив его в систему (15.6), найдем соответствующие этому

z0

значения

и

Уо

(х0,у0 - единственное решение системы, т.к. — * —

) Таким

А-2

В2

образом, получим точку Mn(x0,y0,z0), лежащую на прямой.

Зная

точку

Л/0(дt0,y0,z0)

и направляющий вектор

S

прямой,

записываем уравнение прямой в каноническом виде

*-*о = У~Уо _ Z - ZQ

I

т

п

Замечание 15.1.

Если

А

С

—1 *

—L, то произвольное значение придается

А2

С2

переменной

у ; если

в

с

- переменной

х .

— * — , то

Вг

С2

Г д г -2 у + З г - 4 = 0,

|3jc + 2 y - 5 z - 4 = 0.

Решение.

Найдем направляющий вектор прямой I :

/

j

к

S = Л|Х т =

1

- 2

3 = (10 — 6) / — (—5 — 9 )у + (2 + 6 )£ = 4 / + 1 4 j+ S k .

3

2

-5|

A \\L2

о

SI ИSi

<=.

i =

=

n2

/г

OT2

L, 1 L2

<=>

S j l S z

<=>

/,

/2 + m,

/я2 + w, • n2 = 0 .

,

* - * 0 _ У - У о _ г - z 0

I

т

п

с плоскостью

а

Л* + By+Cz + D = 0 .

Для этого, очевидно, следует решить систему уравнений

\Ax + By+Cz+D = О,

1 * - * о

У~Уо = z ~ zo

[

I

т

п

Проше всего это сделать, записав уравнения

прямой

L

в

параметрическом виде:

Ах + By +Cz + D = О,

х = / • t + х0,

у = m / + y0,

Z =

/ ! • / +

Z 0 .

Решая полученную систему подстановкой выражений

х, у,

через

параметр t в первое уравнение системы, получим

A(I •/ + * „ ) + В(т •/ + у 0) + С{п */ + z0)+D = 0 ИЛИ

/•(/4* / + В • ш+ С • п)+ Ах0 + Ву0 + Cz0 +■D = 0.

(15.8)

Из уравнения (15.8) следует:

если А1 + В т+ С п * 0,

то прямая

L

пересекает плоскость

а

в

точке, координаты которой легко найти,

вычислив сначала из уравнения (15.8) значение параметра

/ этой точки;

если

А1 + В т + С п =0

и

Ах0 + Ву0 +CzQ+ D *0,

то

прямая

L

параллельна плоскости

а ;

n-S

Таким образом,

sinф= |cosу/\ =

"111

\А1+ В т + С п\

(15.9)

Б\Пф = -

л1а 2 +В2+ С 2 -V/2+т2+ п2

Из

формулы

(15.9) вытекают условие параллельности

прямой и

плоскости:

L\\a

<^>

nJLS <=>

А1 + В т + С п =О (прямая может лежать в плоскости);

и условие перпендикулярности прямой и плоскости:

/ .

<=>

Л, о

А

В

С

L L a

п ||S

—

= —

= — .

/

т

п

§ 16.

Поверхности второго порядка

некоторой данной прямой

/ и пересекающей данную линию L,

называется

цилиндрической

поверхностью. Линия

L называется ее направляющей, а

каждое положение движущейся прямой / - образующей.

Уравнение

вида

Ffx.yj^O

в пространстве

определяет