Тестовый контроль по математике учебно-методическое пособие

Пример 5. Вычислить lim(

x −1 − x ) = (∞ − ∞

).

x→∞

Решение:

lim(

x −1 −

x ) = lim

(

x −1 −

x )(

x −1 +

x )

=

(

x −1 +

x )

x→∞

→∞ x

= lim

x −1 − x

= lim

−1

= −

1

= 0.

( x −1 +

( x −1 + x )

∞

x→∞

x ) →∞ x

Неопределенность ( 0 ∞

)

Данную неопределенность

сводят

к неопределенности

∞

0

или

.

∞

0

Пример 6. Вычислить lim (1 − e2 x )ctgx = (0 ∞ ).

x→ 0

Решение. lim(1− e2 x )ctg x = lim

1− e2 x

=

0

= lim −2x = −2.

x→

0

→x 0 tg x

0

x→

0 x

Примеры второго уровня сложности

Пример 7. Вычислить

(2x + 5)3 (3x − 2)

∞

lim

4

+ 5

=

.

x→∞

x

∞

Решение. Для раскрытия неопределенности

∞

разде-

∞

lim (2x + 5)

3

(3x

− 2) = lim

(2x + 5)3 (3x − 2)

x3

x

=

x→∞

x4 + 5

→∞ x

x4 + 5

x4

5

3

2

2

+

3 −

2

3

3

x

x

= lim

=

= 24.

5

1

x→∞

1 +

x4

Пример 8. Вычислить lim

x + 5 − 3

.

x

→

4

x2 −16

Решение. Имеем неопределенность

0

,

для раскрытия

0

lim

(

x + 5 − 3)(

x + 5 + 3)

= lim

x + 5 − 9

=

x + 5 + 3)

x + 5 +

3)

x→ 4 (x − 4)(x + 4)(

→x

4 (x − 4)(x + 4)(

= lim

x − 4

= lim

1

=

1

=

1

.

8 6

x→ 4 (x − 4)(x + 4)( x + 5 + 3)

→x 4 (x + 4)( x + 5 + 3)

48

1 − cos x

0

2sin2

x

2

1

x

x

lim

=

= lim

=

,

так как

sin

при

x

2

x

2

2

2

x→ 0

0

→x 0

2

Пример 11. Вычислить

lim

ex − e− x

.

sin x

x→ 0

Решение.

ex − e− x

= lim

e2 x −1

= lim

2x

=

1

= 2.

lim

2lim

x→ 0 sin x

→x 0 sin x ex

→ x

0 x ex

→

x 0 ex

Пример 12. Вычислить lim

sin 3x

.

x→π

2(π −

x)

sin 3x

0

t = π −

x

lim

=

=

t →

0

при

→xπ =

2(π −

x)

x→π

0

x = π − t

= lim

sin(3π − 3t)

= lim

sin 3t

= lim

3t

=

3

,

t →

0

2t

→t

0

2t

→ t 0 2t

2

так как sin 3t 3t

при t →

0.

x −1, если х< 0,

2

−1, если 0

≤ x≤ 1,

y = x

2, ecли х >1.

lim

y = lim ( x −1) = −1;

x→ −0

0

→x − 0 0

lim

y = lim (x2 −1) = −1;

x→ +0

0

→x + 0 0

lim y = lim (x2 −1) = 0;

x→ −1

0

→x− 1 0

lim y =

lim 2 = 2;

x→ +1

0

→x+ 1 0

y(1) = 0.

1. Если lim f1 ( x) = A, lim f2 ( x) = B, то lim

f1 ( x)

равен…

x→

a

→x a

x→ a f2 ( x)

1)

A

;

2) A − B;

3) A B;

4) а.

B

2. Если lim f1 ( x) = 3,

lim f2 ( x) = 2, то lim (

2 f1 ( x) − 4 f

2 ( x))

x→

a

x→ a

x→ a

равен…

1)

2;

2) –2;

3) 0;

4) 1.

3. Если lim f1 ( x) = 5, lim f2 ( x) =1,

то lim(3 + f1 ( x) f

2 ( x))

x→

2

→x 2

x→ 2

равен…

1)

2;

2) 3;

3) 8;

4) 1.

4. Функция, предел которой при х→

2 равен 0, имеет вид…

1)

y = 4 2x − 4 ; 2) y = ln ( x − 2); 3) y = 2x−2 ; 4) y =

1

.

e2−x

1) а = 4;

2) а = 3;

3) а = 5;

4) а = –1.

6. Функция, предел которой при х→ 2 равен 0, имеет вид…

1) y =

x2 − 4

; 2) y =

x2 − 8

; 3) y =

x2 − 4

; 4) y =

x3 + 8

.

x + 2

x − 2

x − 2

x + 2

7. Предел lim

5x

равен…

x→

0 sin 7x

1) 0;

2)

5

;

3)

7

;

4) ∞.

7

5

−

1

x + 2

1

1

2

1) y = e x

; 2)

y =

; 3) y =

; 4) y = −

.

x − 2

x2

−1

x2

+1

x3

− x

2

равен…

9. lim

x→∞

x − 3

1) ∞;

2) 0;

3) –3;

4) 1.

( x +1)(x2 +1)2

10. lim

4x5 + x −

равен…

x→∞

1

1) ∞;

2) 1;

3) 0,25;

4) 0.

11. lim

x − 2

равен…

x→

2 x2 − 5x + 6

1) 0;

2) ∞;

3) –1;

4) 1.

12. lim

5 + x − 2

равен…

x→−

1

x +1

1) ∞;

2) 1;

3) 0,25;

4) 0.

13. lim (

3x + 2 −

3x −1)

равен…

x→∞

1) ∞;

2) 0;

3) 1;

4) 2.

14. lim

2x sin 4x

равен…

x→

0

tg2 5x

1)

8

;

2)

5

;

3) 0,32;

4) 0.

8

5

12x2

x

равен…

15. lim

2

x→∞

12x

+ 3

1) 1;

2) е12;

3) е–3;

4) 0.

1)

y = x − 2;

2) y =

1

;

x − 2

3)

y =

x − 2

;

4) y =

sin ( x − 2)

.

x − 2

( x − 2)3

1)

y =

1

;

2)

y =

x +1

;

x +1

sin 2x

y =

x +1

y =

x +1

3)

;

4)

.

x −1

sin ( x −1)

18. Для функции

1

справедливо следующее утвер-

y = 9

x +2

2

+ 5x −1

x

19. lim

3x

равен…

2

x→∞

3x

+ 2x +1

1)

1;

2) e;

3) е–3;

4) 0.

x + 4, x < −1,

20. Скачок функции

2

+ 2,

−1 ≤ x< 1 , в точке разрыва

y = x

1

2x, x ≥

равен…

1)

1;

2) 2;

3) 3;

4) –1.

Номер задания

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Номер ответа

1

2

3

1

3

1

2

4

1

3

3

3

2

3

1

1

2

2

2

1

1. Производная явной функции

Пусть функция

y = f (x)

определена на интервале (a; b).

Разность

∆ x= x−

x0

называется приращением

аргумента х

в точке x0

(a;b).

Разность ∆ f (x0 )=

f (x0+ ∆ x−)

f (x0 ) называ-

ется приращением функции в точке x0 .

Если существует конечный предел

lim

∆ f (x0 )

= f ′(x ),

∆ x→ 0

∆ x

0

то он называется производной функции в точке x0 .

Пределы

lim

∆ f (x0 )

=

f ′(x

− 0),

lim

∆ f (x0 )

= f ′(x + 0)

∆ x→−

0

∆ x

0

∆ x→+ 0

∆ x

0

Если производная определена в каждой точке интервала

(a;b),

то она представляет собой функцию

y′ = f ′(x).

Произ-

водная обозначается y′ или f ′(x), или

dy

.

dx

Нахождение производной называется дифференцированием.

Геометрически производная f ′(x0 )

функции

y = f (x)

равна

угловому коэффициенту касательной, проведенной

к графику этой функции в точке x0 .

Пусть C = const,

u = u(x),

v = v(x).

1) (C)′ = 0

2) (u ± v)′ = u′ ± v′

3) (uv)′ = u′v + uv′

4) (Cu)′ = Cu′

u ′

u′v

− uv′

C ′

Cv′

5)

=

6)

= −

v

2

v

2

v

v