Тестовый контроль по математике учебно-методическое пособие

2. Определители

1) Определитель 2-го порядка

∆ =

a11

a12

=

a11a22−

a12 a21

a21

a22

2) Определитель 3-го порядка

∆ =

a11

a12

a13

= a11a22 a33 + a21a32 a13 +

a21

a22

a23

+a12 a23a31 − a13a22 a31 −

a31

a32

a33

−a12 a21a33 − a11a32 a23

3) Определитель 4-го порядка

a11

a12

a13

a14

= a11 A11 + a12 A12 +

∆ =

a21

a22

a23

a24

a31

a32

a33

a34

+a13 A13 + a14 A14 ,

a41

a42

a43

a44

гдеAij = (−1)i + j M ij ,

Aij – алгебраическое дополнение эле-

мента aij

,

M ij – минор (определитель) элемента aij ,

который получается из данного опреде-

лителя вычеркиванием i-й строки и j-го

столбца.

а) Можно разложить определитель по

элементам любой строки и любого

столбца.

б) Аналогично можно вычислить опре-

делитель любого порядка.

3. Обратная матрица,

A−1 – обратная

матрица к матрице А

ранг матрицы

такая, что A A−1 = A−1 A = E.

1

( A*)T , где ∆

A−1 =

– определитель

∆

матрицы А,

a

a ...

a

А* – матрица, элементами которой яв-

A =

11

12

1n

ляются алгебраические дополнения Aij

a21

a22 ...

a2n ,

элементов aij матрицы А,

( A*)

T

– мат-

... ... ...

...

an1

an 2 ...

ann

рица, транспонированная к матрице А*.

A = (aij )n× n

Обратная матрица существует для

квадратной матрицы А, если ∆ ≠ 0.

b

b ...

b

Рангом матрицы B (r(B)) называ-

11

12

1n

ется наивысший порядок минора этой

B =

b21

b22 ...

b2n ,

матрицы, отличного от нуля.

... ... ...

...

Минор к-го порядка матрицы В –

bm2 ...

bm1

bmn

определитель, составленный из любых

B = (bij )m×

n

к-строк и к-столбцов матрицы В.

Для вычисления r(B) матрица В

приводится с помощью элементарных

преобразований к ступенчатому виду,

тогда r(B)

будет равен числу ненуле-

вых строк полученной матрицы.

Минор, порядок которого определя-

етранг матрицы, называется базисным.

4. Системы линейных

уравнений

1) Система двух линей-

Правило Крамера

ных уравнений с двумя

∆

x

∆

y

a11

a12

неизвестными

x =

;

y =

;

где

∆ =

,

∆

∆

a21

a22

a

x + a

y = b ,

b1

a12

a11

b1

11

12

1

(1)

∆ x=

, ∆ y=

.

a21 x + a22 y = b2 .

b2

a22

a21

b2

Если ∆ ≠

0 , то система (1) имеет един-

ственное решение;

если ∆ = 0 и ∆ x или

∆ y≠ 0 , то система (1) решений не име-

ет; если ∆ = ∆

=x ∆ =y

0 , то

y =

b1 − a11 x

,

a12

Примеры первого уровня сложности

Пример 1

Матрицей размерности 3 на 1 является…

2

1

1) (0 1

3) (1 2

3 4);

4)

3); 2)* 1

;

.

3

3

Решение. Матрица размерности 3 на 1 имеет 3 строки

и 1 столбец.

2

Ответ:

1 .

3

Пример 2

Единичной матрицей является…

1) (1 1);

1

1

0

4)

0

0

2) ;

3)*

;

.

1

0

1

1

1

Решение. Единичной

матрицей

называется

квадратная

1

0

Ответ:

.

0

1

Пример 3

2

1

Матрица,

0

−5

,

транспонированная к матрице А=

4

3

2

0

0

−5

2

0 3

1

2

1)

−5

1

;

2)

2

1

;

4)

−5

0

3)*

;

.

1

−5 4

3

4

3

0

4

3

2

0

3

Ответ:

−5

.

1

4

Пример 4

Если

А=

1

2

0

1

то А + B равно…

и B =

−3

,

3

4

2

1) 10;

1

3

3)

−1

3

0

5

2)*

;

;

4)

.

0

6

0

6

5

1

Решение. Элементы матрицы А + B получаются сложени-

ем соответствующих элементов матриц A и B…

1

3

Ответ:

.

0

6

Возможны ошибки:

Матрица – таблица чисел, ее нельзя вычислить.

Пример 5

Если

А=

1

2

3

то 3A равно…

,

4

0

− 2

3

6

9

;

1

2

3

1)*

2)

;

12 0

−6

12

0 −6

3

6

9

3

6

9

3)

;

4)

.

4

0 −2

12

0 6

1

2

3

3

6

9

3

=

.

4 0

−2

12

0 −6

3

6

9

Ответ:

.

12

0

−6

Пример 6

Определитель

1

2

равен…

3

−4

1) 10;

2) 2;

3) –2;

4)* –10.

Решение:

1

2

=1 (−4) − 3 2 = −10.

3

−4

Ответ: –10.

Пример 7

Определитель

1

2

равен нулю при λ, равном…

λ

6

1) –3;

2) 1;

3)* 3;

4) 2.

Решение:

1

2

= 6

− 2λ.

λ

6

6 − 2λ = 0.

λ = 3.

Ответ: 3.

Пример 8

Определитель

1

2

−3

равен…

0

2

1

−1

3

4

1)* –3;

2) 8;

3) 0;

4) –5.

Решение:

1

2

−3

=1 2 4 + 0 + 2 1 (−1) − (−3) 2 (−1) − 0− 3 1 1= −3.

0 2

1

−1

3

4

Ответ: –3.

Пример 9

3

1

2

Алгебраическое дополнение A12

матрицы А=

4

0

3

−1

6

2

равно…

1) 11;

2) 12;

3)* –11;

4) –12.

Решение:

А12 = (−1)1+2

4

3

= −(8 + 3) = −11.

−1

2

Ответ: –11.

Пример 10

2х− у = 0,

Решением системы

является…

х+ 4 у = 9

1) (–1; 2);

2) (–1; –2);

3) (0; 2);

4)* (1; 2).

Решение:

2х− у = 0,

Решим систему

методом Крамера:

+ 4 у

= 9

х

∆ =

2 −1

= 8+ 1= 9; ∆ ≠ 0,

1

4

∆ =

0

−1

=

9;

∆

2

0

18,

9

1

=

х

4

y

9

х =

∆

х

;

y =

∆ y

.

∆

∆

Систему

2х− у = 3,

нельзя решить по правилу Крамера,

6х− kу = 7

если…

1) k = 0;

2)* k = 3;

3) k = 4;

4) k = 2.

Решение.

Если определитель системы

2

−1

равен ну-

6

−k

лю, то систему нельзя решить по правилу Крамера.

2

−1

= −2k + 6,

6

−k

−2k + 6 = 0,

k = 3.

Ответ: k = 3.

Пример 12

2х+ kу = 5,

не имеет решений при k,

равном…

Система

4х+ 4 у = 6

1) 2;

2) 1;

3)* 2;

4) –1.

∆ =

2

k

= 8− 4k,

4

4

8 − 4k = 0,

k = 2,

∆ x=

5

2

= 20− 12= 8≠ 0.

6

4

Пример 13

2

1

0

1

и B =

−2

, то 2A – B равно…

Если A = 3

0

3

4

4

−1

5

4

1

−4

1

2

2

4 1

8

2)

8

3)

;

4)

1)*

−3 ;

3 ;

8

−3

8 3 .

−4

4

−7

7

4

7

4 7

Решение:

2

1

0

1

4

1

2 A − B = 2

3

0

− −2

3

=

8

−3 .

4

−1

4

5

4

−7

4

1

Ответ:

−3

8

.

4

−7

Пример 14

2

3

Произведение

матрицы

A =

на

матрицу

1

0

5

−1

2

3

1

равно…

B =

4

0

−1

4

5

16

6

−1

1)

;

2)*

3

1

3

2

2

;

15

3

0

6

6

16

1

3

2

0

4)

3)

;

1

4 5 .

2

4

1

6

6