Тестовый контроль по математике учебно-методическое пособие

k2

=

3

. Уравнение прямой y + 3 =

3

(x − 2)

или

2 y + 6 = 3x − 6,

2

2

общее уравнение прямой 3x − 2 y −12

= 0.

Ответ: 3x − 2 y −12 = 0.

Возможные ошибки:

1. Ошибка в определении углового коэффициента прямой

2х+ 3у −1 = 0 :

k1 ≠ 3 / 2,

тогда k2 ≠ − 2 / 3,

y + 3 = −

2

(x − 2),

2х+ 3у+ 5 = 0.

3

2. Ошибка в признаке перпендикулярности двух прямых

k2

≠

1

, k2 ≠ −

3

y + 3 ≠ −

3

(x−

2), 3x + 2 y ≠

0.

2

k1

2

1) −4 2;

2) 0;

3) 4;

4)* 4

2.

Решение. Уравнение прямой, проходящей через две точ-

ки,

х− х1

=

у− у1

, тогда

х+ 2

=

у−1

или

х+ 2

=

у−1

.

х2 − х1

у2 − у1

3 + 2

−4 −1

5

−5

Общее уравнение

х+ у +1 = 0 . Расстояние от точки до прямой

d =

Ax0 + By0 + C

, тогда d =

2 + 5 +1

=

8

= 4 2.

A2 + B2

12 +12

2

Ответ:

4 2.

Возможные ошибки:

1. Ошибка при вычислении корня

12 +12 ≠

12 +

12 =

=1 +1+ = 2, следовательно, d ≠ 4.

2.

Ошибка при

раскрытии пропорции х+ 2 ≠ у− 1,

х− у+ 3 ≠

0, тогда d ≠

2 − 5 + 3

=

0.

12 +12

3.

Расстояние d ≥

0, значит,

d ≠ − 4 2.

1)*

x2

+

y2

=1;

2)

x2

+

y2

=1;

25

25

16

34

3)

x2

+

y2

=1;

4)

x2

+

y2

=1.

16

25

36

25

Решение.

Каноническое уравнение эллипса

x2

+

y2

=1.

2с = 6,

с = 3,

a2

b2

Расстояние

между

фокусами

a = 5,

тогда

b2

= a2 − c2

или b2 = 25 − 9 = 16. Получим

x2

+

y2

=1.

16

25

Ответ:

x2

+

y2

=1.

25

16

Возможные ошибки:

1. Ошибка

в

вычислении параметра

b:

b2 ≠

a2+ c2 ,

b2

≠

25+ 9= 34.

Выражение

x2

+

y2

=1

не является искомым

25

уравнением эллипса.

34

2. Не учтено, что фокусы эллипса лежат на оси ОХ, т.е.

b2

≠

25, a2

≠

16 .

3. Подмена понятий а ≠ 6, b ≠ 5, уравнение

x2

+

y2

=1

25

34

и с центром симметрии в точке М0 (−3;7)

имеет вид…

1)

(x + 3)2

+

( y − 7)2

=1;

2)

x2

−

y2

= 1;

4

25

4

25

3)

x2

+

y2

=1;

4)*

(x + 3)2

−

( y − 7)2

= 1.

4

4

25

25

Решение. Уравнение гиперболы с центром симметрии

в точке

М

(х , у

)

имеет вид

(x − х0 )2

−

( y − у0 )2

= 1,

тогда

а2

0

0

0

b2

(x + 3)2

−

( y − 7)2

= 1.

22

52

Ответ:

(x + 3)2

−

( y − 7)2

= 1.

4

25

Возможные ошибки:

1. Не учтены координаты центра симметрии

x2

−

y2

= 1.

22

52

2. Записано уравнение эллипса

(x + 3)2

+

( y − 7)2

=1 вместо

уравнениягиперболы.

22

52

Пример 13

Координаты фокуса параболы у2

= 8х равны…

1)* F (2;0);

2) F (4;0);

3)

F (0; 2);

4) F (0; 4).

Решение. Фокус параболы у2 = 2 pх расположен на оси ОХ,

т.е. F (x0 ;0),

где x0 =

p

. Параметр p = 4 , тогда F (2;0) равен…

2

1)

(x − 2)2

+

( y +1)2

= −1;

2)

9(x2 − 4х)

+

y2 + 2 у

=1;

9 / 4

1

−4

−1

3)*

(x − 2)2

+

( y +1)2

=1;

4)

(x − 2)2

−

( y +1)2

= 1.

4

4

9

9

Решение.

Сгруппируем уравнение (9х2 − 36х) + (4 у2 + 8у) =

ждой

переменной:

9(х2 − 4х+ 4 − 4) + 4( у2 + 2 у+1−1) = −4 ,

9(х2 − 4х+ 4) − 36 + 4( у2 + 2 у+1) − 4 = −4 ,

получим

9(х− 2)2 +

+4( у +1)2 = 36.

Разделим

уравнение

на

36,

тогда

(x − 2)2

+

( y +1)2

=1.

4

9

Ответ:

(x − 2)2

+

( y +1)2

=1.

4

9

Возможные ошибки:

1.

Ошибки

в

выделении полного

квадрата

a2 + 2ab ≠

≠ a2+ 2ab+ b2 . Из

уравнения

9(х2 − 4х) + 4( у2 + 2 у) = −4 не

следует 9(х2 − 4х+ 4) + 4( у2 + 2у+1) = −4,

9(х− 2)2 + 4( у+1)2 = −4.

Сумма квадратов неотрицательна.

2.

Ошибка

в

преобразовании.

Уравнение

9(х2 − 4х) +

+4( у2 + 2 у) = −4 делятна (−4) иполучают

9(x2 − 4х)

+

y2 + 2у

=1.

−4

−1

Пример 15

Эксцентриситет гиперболы

(x − 2)2

−

( y +1)2

= 1 равен…

16

9

1)* 5 / 4;

2) 25 / 16;

3) 4 / 5;

4) 4 / 3.

Решение. Эксцентриситет гиперболы вычисляется по фор-

муле ε =

с

, где c2

= a2 + b2 . Тогда c =

16 + 9 =

25 = 5, ε =

5

.

а

4

Ответ: 5 / 4.

Возможные ошибки:

1. Неправильно определены а ≠

16,

с ≠ 25, ε ≠

25 / 16.

2. Неправильно применена формула ε ≠

а

, ε ≠

4

.

5

с

1)

x − 2 y + 5z + 21 = 0;

2)* 3x + 2 y − 4z + 21 = 0;

3) 3x + 2 y − 4z −13 = 0;

4) x − 2 y + 5z +13 = 0.

т.е. 1(x − 3) − 2( y − 2) + 5(z + 4) ≠

0, Уравнение x − 2 y + 5z + 21 ≠

0

неявляетсяискомойплоскостью.

3(x +1) + 2( y + 2) − 4(z + 5) ≠ 0,

2.

Ошибка

в

знаках:

3x + 2 y − 4z −13 ≠ 0.

Пример 17

2x + 3y − z = 0

Косинус

угла

между

плоскостями

и

3x + y + 2z − 5 = 0 равен…

1)

7

;

2) −

1

;

3)*

1

; 4)

7

.

13

14

2

2

2

14

Решение.

Угол между

плоскостями вычисляется по

формуле

cos φ =

A1 A2 + B1B2 + C1C2

,

где

n{ А; В;С}

–

A12

+ B12 + C12

A22 + B22 + C22

координаты нормали. Вектора n1 {2;3; −1}

и

n2 {3;1;2} соот-

ветственно есть нормали данных плоскостей. Тогда

cosφ=

2*3 +3*1−1*2

6 + 3− 2

7

7

=

=

=

=

=

1

.

4 +9 +1 9 +1+

22

+32 + (−1)2 32 +12 + 22

4

14 14 14 2

Ответ:

1

.

2

Возможные ошибки:

1. Ошибка в вычислении корня:

22 + 32 −12

32 +12 + 22 = 4 + 9 −1 9 +1+ 4 = 13 14 .

Косинус угла не равен

7

.

находят сумму длин,

т.е.

22 + 32 + (−1)2 + 32 +12 + 22 =

= 4 + 9 +1 + 9 +1 + 4 = 2

14. Косинус угла не равен

7

.

14

2

1) −x +12 y − 8z − 49 = 0;

2)* −7x +17 y +18z −19 = 0;

3) −7x +17 y +18z + 83 = 0; 4) 7x +17 y + 8z +19 = 0 .

Решение. Векторы М1М2 ,

М1М2 , М1М , где М(x, y, z)

определитель

(x − 2)(−4 * 4 − (−3) *3) − ( y − 3)(−2 * 4 − 3*3) +

+(z +1)(−2 * (−3) − 3* (−4)) = 0 .

Получим

−7(x − 2) +17( y − 3) +

+18(z +1) = 0. Общее уравнение −7x +17 y +18z −19 = 0.

Ответ: −7x +17 y +18z −19 = 0.

Возможные ошибки:

1.

В

уравнении

записывают

сумму координат

x + 2

y + 3

z +1

0 + 2

−1 + 3

2 +1

= 0, после раскрытия определителя получа-

5 + 2

0 + 3

3 +1

ют неправильный результат: −x +12 y − 8z − 49 = 0.

2.

Ошибка в раскрытии определителя (x − 2)(−4 * 4 −

параллельно прямойL2

x + 2

=

y − 3

=

z + 4

, имеет вид…

1

7

−2

1)*

x − 3

=

y +1

=

z − 5

;

2)

1

=

7

=

−2

;

1

7

−2

x −

3 y +1 z − 5

3)

x + 3

=

y +1

=

z + 5

;

4)

x −1

=

y − 7

=

z + 2

.

1

7

−2

3

−1

5

Решение. Вектор s = {1;7; −2}

– направляющий прямых L2

и L1, так как прямые параллельны. Уравнение прямой L1 имеет

вид

x − 3

=

y +1

=

z − 5

.

1

7

−2

Ответ:

x − 3

=

y +1

=

z − 5

.

1

7

−2

вектора

, получают неправильный ответ

x −1

=

y − 7

=

z + 2

.

s

3

−1

5

2.

В

числителе

записывают

сумму

координат

x + 3

=

y +1

=

z + 5

.

1

7

−2

Пример 20

Косинус угла между прямыми

x − 2

=

y +1

=

z

и

x

=

−1

−3

0

1

=

y −1

=

z − 2

равен…