Тестовый контроль по математике учебно-методическое пособие

Решение:

2

3

2

4

16

6

−1

A B =

3

1

0

0

= 2

3

1 .

4

−1

15

5

−1

6

6

16

6

−1

3

Ответ: 2

1 .

15

6

6

Пример 15

1

2

и Е – единичная матрица второго по-

Если A =

−3

1

рядка, то A2 + 2A + E равно…

4

5

2)

−1

3

3)

−2

−8

−2

8

1)

;

;

;

4)*

−12

.

3

0

2

1

−12

2

−2

Решение:

1 2 1

2

−5

4

A2 = A A =

=

−6

,

−3

1 −3

1

−5

−5

4

1

2

−3

8

A2 + 2 A =

−6

+ 2

=

,

−5

−3

1

−12 −3

A2 + 2 A + E =

−3

8

1

0

−2

8

−12

+

=

.

−3

0

1

−12

−2

−2

8

Ответ:

.

−12

−2

Пример 16

2

1

0

1

Определитель

−1

3

2

4

равен…

2

1

0

3

1

2 −1 −1

1)* 26;

2) 5;

3) –26;

4) –5.

2

1

0

1

−1 3

2

4

= 2 A23 + (−1) A43 =

2

1

0

3

1

2

−1

−1

= 2 (−1)2+3 =

2

1

1

+ (−1)(−1)4+3

2

1

1

2

1

3

−1

3

4

=

1

2

−1

1

1

3

Ответ: 26.

Пример 17

2

Ранг матрицы

−3

равен…

A =

−6

4

1) 2;

2)* 1;

3) 0;

4) 4.

Пример 18

2

4

равна…

Матрица, обратная к матрице A =

,

1

3

3

−

3

3

− 2

2

1

1

2

2

2

3)

2

1)

; 2)

;

−1

;

4)*

.

1

1

1

1

1

2

−

1

2

2

2

Решение.

Обратная матрица

A−1

определяется равен-

1

T

2

4

A−1 =

( A* )

, где

∆ =

3

=

2;

∆

1

A

A

T

A

A

A* =

11

12

,

( A* )

=

11

21

.

A21

A22

A12

A22

Вычислим алгебраические дополнения:

A11 = (−1)1+1 3 = 3;

A12 = (−1)1+2 1 = −1;

A21 = (−1)2+1 4 = −4;

A22 = (−1)2+2 2 = 2.

Тогда

3

−1

T

3 −4

A* =

−4

,

( A* )

=

.

2

−1

2

Выписываем

3

1

3

−4

−2

2

A−1 =

=

.

1

2 −1

2

−

1

2

3

−2

2

Ответ:

.

1

−

1

2

Примеры третьего уровня сложности

Пример 19

3

1

2

Ранг матрицы

4

3

A =

5 равен…

−2

−4 −6

1) 3;

2)* 2;

3) 1;

4) 0.

Решение. Приведем матрицу A к ступенчатому виду с по-

мощью элементарных преобразований:

1 2 3

(−4)

1

2

3 (2)

1

2 3

1 2

3

4 3 5

0 −5 −7

0 −5 −7

−5

.

−2 −4 −6

0

−7

−2 −4 −6

0 0 0

Так как

1

2

≠

0, то ранг матрицы A равен двум.

0

−5

Ответ: 2.

Пример 20

2x − y + z = 0,

Решением системы x + y − 2z = 4,

является…

3x + 2 y + 4z =1

1) (2, 1, –1);

2) (1, 1, –2);

3)* (1, 1, 1);

4) (2, 1, 1).

Решение. Решим систему методом Крамера

2

−1

1

∆ =

1

1 − 2

= 8+ 2+ 6− 3+ 8+ 4=

25,

3

2

4

0

−1

1

∆ x=

4

1

− 2

= 0+ 8+ 2− 1−

0+ 16=

25,

1

2

4

2

0

1

∆ y=

1

4

− 2

= 32+ 1+ 0− 12+ 4+

0=

25,

3

1

4

∆ z=

2

−1

0

= 2+ 0− 12− 0− 16+ 1= − 25,

1

1

4

3

2

1

x =

∆ x

;

y =

∆ y

;

z =

∆ z

.

∆

∆

∆

Следовательно,

x =1; y =1; z = −1.

Ответ: (1, 1, –1).

Возможны ошибки:

Если ∆ = 0,

то систему следует решать методом Гаусса.

1)* 5;

2) ±5;

3) 7;

4) 1.

a = { x; y; z}

Решение.

Длина

вектора

равна

a

= x2 + y2 + z2 . Значит,

a

=

32 + 42 + 02 =

25 = 5.

Ответ: 5.

Возможны ошибки:

1.

Так

как

длина

вектора

a

больше

или равна

нулю,

то

a

≠ − 5.

2.

Встречается

ошибка

при

вычислении

корня:

a2 + b2

≠

a2 +

b2 , поэтому

a

≠

7.

1)* прox a = 7;

прoy a = −1;

прoz a = 2;

2)

прox a =

7

;

прoy a = −

1

;

прoz a =

2

;

54

54

54

3)

прox a =

1

;

прoy a = −1;

прoz a =

1

;

7

2

4)

прox a = 49;

прoy a =1;

прoz a = 4.

Решение. Проекции вектора на оси координат равны ко-

ординатам вектора. Поэтому прox a = 7;

прoy a = −1;

прoz a = 2.

Ответ: прox a = 7;

прoy a = −1;

прoz a = 2.

Пример 3

a = {1;3; 4} по базису

Разложение вектора

ι

имеет

,

j

,

k

вид…

1)* a = i + 3 j + 4k ;

2) a = 3i + j + 4k ;

3) a = 4i + 3 j + k ;

4) a = 3 j + 4k .

Решение. В разложении вектора a

по ортонормирован-

ному базису

ι

,

, k :

j

a = xi + yj + zk

коэффициенты при

x, y, z равны коорди-

натам вектора a. Тогда a = i + 3 j + 4k .

Ответ: a = i + 3 j + 4k .

Пример 4

x = 4 , y = −12,

Даны две координаты вектора a :

длина

вектора a равна 13. Третья координата z

равна…

1)* ±3;

2) 3;

3)

297; 4) ±

297.

Решение. Подставим в формулу

a

=

x2 + y2 + z2

данные

задачи: 13 =

42 + (−12)2 + z2 . Возведем в квадрат правую и ле-

Решение. Направляющие косинусы вектора удовлетворяют

условию

cos2α+ cos2 β+ cos2 γ =1.

Следовательно,

cos2 120° +

+ cos2 β + cos2 45° = 1. Так как cos2 120° = −

1

, а cos2 45° =

2

,

2

2

2

2

2

2

то

−

1

+ cos2 β+

2

=1. Отсюда cos2 β = 1 −

−

1

−

2

=

2

2

2

2

=

1 −

1

−

2

=

1

, тогда

cosβ = ±

1

= ±

1

. Если

cosβ =

1

, то

2

4

4

4

4

2

1

=

−2 =

3

a

b .

2

−4 6

1

1

> 0, то

Коэффициент пропорциональности

. Так как

2

2

1)* 0;

3

; −2

;

2) −

1

; −8;−2

;

2

2

3) −

3

;8; 2 ;

4) {0;11; −3}.

2

a = {x; y; z}. Тогда

Решение.

Пусть

λ

–

число,

1

3

2a = {0; −6;8}; − 3a = {0;9;−12};

a = 0;

−

; 2 .

2

2