Тестовый контроль по математике учебно-методическое пособие

Справочные материалы по теме «Использование производных для исследования функции и построения ее графика»

1. Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции

Возрастание и убывание функции y = f (x) характеризуется знаком ее производной y′ = f ′(x) : если в некотором интервале y′ > 0, то функция на этом интервале возрастает, а если y′ < 0, то функция убывает.

Значение функции y = f (x) в точке x0 называется макси-

мумом (минимумом), если оно является наибольшим (наименьшим) по сравнению с ее значениями во всех точках, лежащих в некоторой окрестности точки x0 .

Необходимое условие экстремума. Функция имеет экс-

тремум (максимум или минимум) только в тех точках, которые лежат внутри области определения функции и где ее производная y′ = 0 или не существует. Такие точки называются крити-

ческими.

Достаточное условие экстремума. Если при переходе ар-

гумента x через точку x0

1)производная y′ меняет знак с плюса на минус, то x0 – точка максимума;

2)y′ меняетзнаксминусанаплюс, то x0 – точкаминимума;

3)y′ не меняет знака, то в точке x0 экстремума нет.

2.Направлениевыпуклости кривой иточкиперегиба

Если в некотором интервале график функции расположен ниже любой своей касательной, то он называется выпуклым; а если он расположен выше любой своей касательной, то он называется вогнутым.

101

Точка x0 , в которой график функции меняет направление выпуклости, называется точкой перегиба.

Направление выпуклости графика функции y = f (x) характеризуется знаком ее второй производной y′′ = f ′′(x) : если в некотором интервале y′′ > 0, то график функции на этом интервале вогнутый, а если y′′ < 0, то график выпуклый.

Необходимое условие точки перегиба. Точка x0 является точкой перегиба в тех случаях, когда она лежит внутри области определения функции и в ней вторая производная y′′ = 0 или

не существует.

Достаточное условие точки перегиба. Если при переходе аргумента x через точку x0 вторая производная y′′ меняет знак, то x0 – точка перегиба.

3. Асимптоты графика функции

Асимптотой кривой y = f (x) называется такая прямая,

к которой неограниченно приближается точка кривой при неограниченном удалении ее от начала координат.

1) Если выполнено одно из условий

102

Примеры тестовых заданий с решениями по теме «Использование производных для исследования функции и построения ее графика»

Примеры первого уровня сложности

Пример 1

Достаточным условием убывания функции y = f (x) на

критической точки x0 , тогда точка x0 является точкой минимума функции y = f (x), если…

1)* f ′(x) < 0 при x < x0 и f ′(x) > 0 при x > x0 ;

2)f ′(x) = 0 в точке x0 ;

3)f ′(x) < 0 в точке x0 ;

4)f ′′(x) = 0 в точке x0 .

Ответ: f ′(x) < 0 при x < x0 и f ′(x) > 0 при x > x0 .

Пример 3

Нарисункеизображенграфикпроизводнойфункцииy = f (x):

103

Количество точек минимума функции на интервале (a; b) равно…

1) 0; 2) 1; 3)* 2; 4) 3.

Решение. Необходимо на графике найти такие точки, в которых y′ = 0, слева отних y′ < 0, асправа y′ > 0. Таких точекдве.

Ответ: 2.

Возможные ошибки:

1.Не изучены теоремы о необходимых и достаточных условиях существования экстремумов функции.

2.Неумение применить указанные выше теоремы к их графической иллюстрации.

Пример 4

Функция y = 2x3 + 3x2 −12x − 5 возрастает на интервале

Возможные ошибки:

1.Неизученатеоремао возрастании функциина интервале.

2.Неумение использовать метод интервалов для решения

неравенства y′ > 0.

Пример 5

Функция y = −2x3 − 9x2 + 24x +11 убывает на интервале

104

Решение. Найдем первую производную функции

доминтервалов решим неравенство y′ < 0, т.е. −6x2 −18x + 24 < 0,

Возможные ошибки:

1.Не изучена теорема об убывании функции на интервале.

2.Неумение воспользоваться методом интервалов для ре-

шения неравенства y′ < 0.

Пример 6

Наименьшее значение функции y = (2x +1)2 на отрезке

[−2,0] равно…

найдем значения функции в критической точке и на концах от-

меньшее значение функции равно 0.

Ответ: 0.

Возможные ошибки:

Не усвоена схема нахождения наименьшего значения функции, непрерывной наотрезке.

105

Решение. Вторая производная функции y′′ = 24x + 24. Приравняем ее к нулю, найдем критическую точку x = −1. Простыми вычислениями убедимся, что слева и справа от нее направления выпуклости разные, т.е. y′′ слева и справа от нее имеет разные знаки. Следовательно, x = −1 – абсцисса точки перегиба, ордината же равна 11.

Ответ: (−1, 11).

Возможные ошибки:

Неверное использование схемы исследования функции на точки перегиба, заключающейся в последовательном использовании необходимого и достаточного условий существования точек перегиба.

Возможные ошибки:

1.Незнание условия выпуклости графика функции.

2.Неверное решение неравенства y′′ < 0.

106

Решение. Для нахождения вертикальной асимптоты графика функции определяем, что эта элементарная функция не

определена в точке x = 2. Вычисляем: lim x2 + 3x +11 = ∞ , это x→ 2 (x − 2)3

означает, что прямая x = 2 является вертикальной асимптотой графика функции.

Ответ: x = 2.

Возможные ошибки:

1.Незнание, что вертикальная асимптота x = x0 проходит через точку x0 , где функция не определена (разрывна).

2.Незнание, вычислением какого предела надо воспользо-

ваться.

3.Неверное вычисление предела.

Это означает, что прямая y = 2 является горизонтальной асим-

птотой графика функции.

Ответ: y = 2.

Возможные ошибки:

1.Неверное использование формулы для нахождения горизонтальных асимптот.

2.Неверное вычисление предела.

107

Примеры второго уровня сложности

Пример 11

Функция y = 9x − 3x возрастает на интервале…

критические точки не попадают внутрь отрезка [−3;−2].

2. Вычисляем значения функции на концах отрезка: y(−3) = −12, y(−2) = 25.

3. Очевидно, чтонаименьшее значение функции равно–12.

Ответ: –12.

Возможные ошибки:

1.Неверное использование схемы нахождения наименьшего значения.

2.Ошибки в вычислениях.

108

Пример 13

Графикфункции y =12ln x + 2x3 вогнутый наинтервале…

Заметим, что решение этого неравенства находится в области определения функции x > 0.

Ответ: (1, +∞ ).

Возможные ошибки:

1.Неверно найдена вторая производная.

2.Невернозаписано условие вогнутостиграфика функции.

3.Ошибки при решении неравенства методом интервалов.

Очевидно, что в ноль она не обращается ни при каких x, а не существует в точке x = −1. Но в этой точке не существует и сама функция. Следовательно, точек перегиба нет.

Ответ: точек перегиба нет.

Возможные ошибки:

1.Неумение найти и упростить вторую производную.

2.Не учтена область определения функции.

109

Примеры третьего уровня сложности

Следовательно, уравнение наклонной асимптоты y = 1 x. 2

Ответ: y = 1 x. 2

Возможные ошибки:

Незнание или неумение использовать формулы для нахождения наклонных асимптот графика функции.

Тест к разделу «Дифференцирование функции одной переменной»

Время прохождения – 60 мин.

Задания 1-го уровня сложности (легкого) – 1–12. Задания 2-го уровня сложности (среднего) – 13–18. Задания 3-го уровня сложности (сложного) – 19–20.

1. Угловой коэффициент касательной, проведенной к гра-

110