Тестовый контроль по математике учебно-методическое пособие

7.

Если

A =

1

3

и Е – единичная матрица второго

−2

−1

порядка, то А2 + 3А + 5Е равно…

1) 9

3 ;

2)

−3

−9

;

3)

3

9 ;

4) 9

3 .

−6

3

6

3

−6

−3

6

3

1

2

3

8.

Ранг матрицы A =

4

5

8

равен…

−2

−4

−6

1)

3;

2) 1;

3) 0;

4) 2.

9. Матрица, обратнаяк матрице A =

1

2 , имеет вид…

−2

4

1 1

2

1

1

4

1

4

−2

1

4

1)

; 2) −

; 3)

; 4)

.

8

8 −2

4

2

−2

8

2

1

2

2

10. Дан

вектор

AB = {1; 7; 2}.

Начало

вектора –

в

точке

А (2; 5; –3). Координаты конца вектора равны…

1)

{3;12; −1};

2) {2;10; −1};

3)

{−3; −12;1};

4) {−1;12; 3}.

11. Направляющие косинусы вектора

a = 20i + 30 j − 60k

равны…

1)

21/70, –3/70, 6/70;

2) 2/3, 1/3, 2/3;

3)

2/7, 3/7, –6/7;

4) –3/4, 1/4, 1/2.

1)

AB = −4i + 2 j + 3k ;

2) AB = 4i + 5 j − 3k ;

3)

AB = 4i + 2 j − 3k ;

4) AB = 4i − 5 j + 3k .

1) 2;

2) –7;

3) –6;

4) 1.

22. Координаты точки, лежащей на оси OZ и равноуда-

ленной от точек M1 (2; 4; 1) и M 2 (−3; 2; 5) , равны…

−

3

1

17

1)

0; 0;

;

2) 0; 0;

;

3) (0;

0; 3);

4) 0; 0;

.

4

8

8

23. Угол между векторами

f и

равен

= 2,

s

30°,

f

s

= 5. Работа силы

f

на перемещении s

равна…

1)

3 5 ;

2) 5

3 ;

3) {1; 2; 2} ;

4) 10 3 .

1)

7;

2)

7

;

3)

3

;

4) –

7

.

6

4

6

25. Вектор a

перпендикулярен вектору b,

a

= 2,

b

= 3.

Скалярное произведение векторов (5a + 3b )(2a − b ) равно…

1)

13;

2) 18;

3) 14;

4) 17.

26.

Угол

между

векторами

a = i + 2 j + 3k

и

b = 6i + 4 j − 2k

равен…

1)

arcsin

2

;

2) arccos

2

;

3) arctg 2;

4)

π

.

7

7

3

1) 24 ;

2) 24;

3) 96;

4) 96.

1

2

3

4

28. Определитель

−1

0

2

1

равен…

2

3

1

−1

4

0

2

1

1)

100;

2) 105;

3) –105;

4) 90.

x − 2 y + z = −2,

29. Решением системы

2x − y + 3z = 3, является…

3x + y − 2z = 3

1)

(1; 2; –1);

2) (–1; 2; 1);

3) (–1; –2; –1);

4) (1; 2; 1).

30. Векторы a , b

и c имеют равные длины, и углы меж-

ду векторами попарно равны:

a = i + j ,

b = j + k .

Координаты

вектора c равны…

1

2) {1; 0;1};

1)

; 0; 3 ;

3

3)

−

1

;

4

; −

1

, {1; 0;1};

4)

1

;

2

;

1

.

3

3 3

3

3

3

Ответы к тесту по разделам

«Линейная алгебра» и «Векторная алгебра»

Номер задачи

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Номер верного ответа

2

3

4

1

2

1

3

3

3

1

3

2

4

2

1

Номер задачи

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

Номер верного ответа

3

3

1

4

2

2

4

2

2

1

2

1

2

4

3

Таблица 1

Прямая линия на плоскости

№

Название

Уравнение

Примечания

уравнения

прямойлинии

1

Уравнениепрямой

y = kx + b

φ– уголмежду прямойl

сугловымкоэффи-

иположительнымнаправ-

циентом

лениемосиOx

k = tgφ – угловойкоэффи-

циент

b – ординататочкипересе-

ченияпрямойсосью Oy

2

Уравнениепрямой

y – y0 = k(x – x0)

k = tg, φ=

(l, Ox),

сугловымкоэффи-

M0 (x0, y0)

l

циентом, проходя-

щейчерез точку

M0 (x0, y0)

3

Уравнениепрямой,

x − x1

=

y − y1

M1 (x1, y1) l

проходящейчерез

M2 (x2, y2)

l

x2 − x1

x2 − y1

дветочки

4

Каноническое

x − x0

=

y − y0

M0 (x0, y0)

l

уравнениепрямой

m

n

S = {m, n}

l

– направляющийвектор

S

Продолжение табл. 1

№

Название

Уравнение

Примечания

уравнения

прямойлинии

5

Параметрические

x = x0 + mt

M0 (x0, y0) l

уравнения прямой

= {m, n} l

S

y = y0 + nt

t

(–∞ , ∞ )

t – параметр

6

Общее уравнение

Ax + By + C = 0

= { A, B} l

n

прямой

n – нормальный вектор

Частные случаи

x = a

B = 0

l

Oy, a = −

C

A

y = b

A = 0

l

Ox, b = −

C

B

y = kx

O (0,0) l,

С = 0

k = −

A

B

7

Уравнение

x + y = 1

a – абсцисса точки пере-

в отрезках

сечения прямойсосьюOx

a b

b – ордината точки пере-

сечения с осью Oy

№

Название

Уравнение

Примечания

уравнения

прямойлинии

8

Нормальное

x cos α+ y cos β– p = 0

p = OP – расстояние от

уравнение

cos2 α + cos2 β = 1

O (0,0) до прямой l,

прямой

p ≥ 0

OP

l,

α =

(OP, Ox),

β =

(OP, Oy)

№ Уравнениепрямых

l1

l2

l1 l2

Θ =

(l1 , l2 )

1 l : y kx b

k = k

k k = −1

tgΘ =

k

k

1

= 1 + 1

1

2

1

2

2 − 1

l2 : y = kx2 + b2

1+ k1 k2

2

х

− х1

y − y1

s2

s1

s2

_

_

s1

l1

:

=

s1

s2

m1

n1

m1

=

n1

(s1 s2 ) = 0

cos θ =

=

х− х2

y − y2

m2

n2

m1m2 + n1n2 = 0

_

_

l1

:

=

s1

s2

m2

n2

= {mi , ni } li

=

m1m2 + n1n2

si

m12 + n12

m22 + n22

i = 1, 2

3 l1 : A1 х+ B1 y + C1 = 0

2

n1

2

_

_

n1

n

n

n1

n2

l2 : A2 х+ B2 y + C2 = 0

A1

=

B1

(n1 n2 ) = 0

cos θ =

=

_

_

ni = { Ai , Bi } li

A2

B2

A1 A2 + B1B2 = 0

n1

n2

i = 1, 2

=

A1 A2 + B1B2

A12

+ B12

A22 + B22

4 Расстояние отточки

M0 (x0, y0)

l до прямойl

Таблица 3

Плоскость в пространстве

№

Названиеурав-

Уравнениенаплоскости

Примечания

нения

Р

1

Общееуравне-

Ax + By + Cz + D = 0

= { A, B, C} P

n

ние плоскости

Частные случаи:

0 P

Ax + By + Cz = 0

= { A, B, C} P

n

P Oz

Ax + By + D = 0

= { A, B, 0} P

n

P Ox

By + Cz + D = 0

= {0, B, C} P

n

P Oy

Ax + Cz + D = 0

= { A, 0, C} P

n

Ox P

By + Cz = 0

= {0, B, C} P

n

Oy P

Ax + Cz = 0

= { A, 0, C} P

n

Oz P

Ax + By = 0

= { A, B, 0} P

n

2

Уравнение плос-

P : A(x − x0 ) + B( y − y0 ) +

M (x, y, z) P

кости, проходя-

+C(z − z0 ) = 0

M 0 (x0 , y0 , z0 ) P

щей через точку

направление задает нор-

M0, в заданном

маль

= { A, B, C} P

направлении

n

3

Нормальное

P : x cos α+ y cos β+

α, β , γ – углы, образо-

уравнение

+z cos γ – p = 0

ванные нормалью

плоскости

cos

2

α+ cos

2

β+ cos

2

γ = 0

к плоскости Р с осями

координат

p ≥ 0

α = (

, Ox),

n

β =

(

, Oy),