Тестовый контроль по математике учебно-методическое пособие

1. Если ∆ =

A

B

=

AC− B2≠ 0 – кривая центральная;

B

C

а) ∆ =

AC− B2>

0

– кривая эллиптического типа;

б) ∆ =

AC− B2<

0 – кривая гиперболического типа.

2. Если

∆ =

AC−

B2= 0 – кривая нецентральная, парабо-

Название

Уравнениеи чертеж

Примечания

Эллипс – гео-

x2

y2

2a – большая ось

метрическое

+

= 1

2b – малая ось

a2

b2

место точек,

Фокусы: F1 (с, 0), F2 (–с, 0)

сумма расстоя-

Вершины: (± a, 0), (0, ± b)

нийоткоторых

Центр в т.О (0,0)

додвухточек,

Эксцентриситет:

называемых

ε =

c

< 1,

b2 = a2 − c2

фокусами, по-

a

стоянна ирав-

a

на 2а, где 2а

Директрисы: x = ± ε

больше, чем

расстояние ме-

MF1 + MF2 = 2a > 2c

жду фокусами

или

2b – большая ось

(a > c)

2a – малаяось

Фокусы: F1 (с, 0), F2 (–с, 0)

Вершины: (± a, 0), (0, ± b)

Центрвт.О(0,0)

Эксцентриситет:

ε =

c

< 1,

a2 = b2 − c2

b

Директрисы: y = ±

b

ε

Окружность

x2 + y2 = R2

Окружность – частный

случайэллипсапри

a = b = R

Эксцентриситет окруж-

ности ε = 0, так как c = 0.

Центрвт.О(0,0)

Фокусы соединены

в одной точке –

в центре О (0,0)

Гипербола–

x2

y2

2a – действительная ось

геометрическое

−

=

1

2b – мнимая ось

a2

b2

местоточек,

Фокусы: F1 (–с, 0), F2 (с, 0)

длякоторых

Вершины: (± a, 0)

разность рас-

Центр в т.О (0,0)

стояний по аб-

Эксцентриситет:

солютнойвели-

ε = c > 1

чинедодвух

a

точек, называе-

Директрисы:

мыхфокусами,

a

постоянна, рав-

2

2

2

x = ± ε , b

= c

− a

на2а, меньше,

чемрасстояние

MF1 − MF2

= 2a < 2c

Асимптоты: y = ±

b

x –

междуфокуса-

a

ми(a < c)

диагонали прямоугольни-

касосторонами2a и2b,

симметричными относи-

тельно началакоординат

О(0,0)

Сопряженная

x2

y2

2b – действительная ось

гипербола

−

= 1

2a – мнимая ось

a2

b2

Фокусы: F1 (0, –c), F2 (0, с)

Вершины: (0, ± b)

Центр в т.О (0,0)

Эксцентриситет:

ε =

c

> 1

b

Директрисы:

y = ±

b

ε

Асимптоты:

y = ±

b

x

a

Пример 1

Уравнение прямой,

проходящей

через точки М1 (2;5)

и М2 (−3;6) имеет вид…

1)*

х− 2

=

у− 5

;

2)

х+ 2

=

у − 3

;

−5

1

7

3

3)

х+ 2

=

у + 5

;

4)

х+ 2

=

у − 3

.

−1

11

5

6

Решение. Уравнение прямой, проходящей через две точки

М1 (х1; у1 )

и

М2 (х2 ; у2 ),

имеет

вид

х− х1

=

у− у1

,

тогда

х2 − х1

у2 − у1

х− 2

=

у− 5

или

х− 2

=

у− 5

.

−3 − 2

6 − 5

−5

1

Ответ:

х− 2

=

у− 5

.

−5

1

Возможны ошибки:

1. Складывают

координаты

х+ 2

=

у+ 5

и получают

−3 + 2 6 + 5

х+ 2

=

у + 5

.

−1

11

2. Складывают

координаты

одной

точки

х+ 2

=

у − 3

,

2 + 5

−3 + 6

получают

х+ 2

=

у− 3

.

7

3

1) –5;

2) k = −11;

3) k =

7

;

4)* k = −

1

.

3

5

Решение. Угловой коэффициент прямой, заданной двумя

точками, вычисляется по формуле k =

y2 − y1

. Значит, k =

6 − 5

x2 − x1

−3 − 2

или k = −

1

.

5

Ответ: k = −

1

.

5

Возможны ошибки:

1. Делятсуммыкоординатточек: k ≠

x1 + y1

, k ≠

2 + 5

=

7

.

x2 + y2

−3 + 6

3

2. Складывают соответствующие координаты:

k ≠

у1 + y2

,

x1 + х2

k ≠

5 + 6

=

11

= − 11.

2 − 3

−1

х2 − х1

3. Неправильно используют

формулу

k ≠

,

у2 − у1

−3 − 2

−5

k ≠

6 − 5 =

1

= − 5.

Пример 3

Прямая

2х− 3у− 6 = 0

имеет

угловой

коэффициент

k,

равный…

1) k = −

3

;

2)* k =

2

;

3) k = −

2

;

4) –3.

2

3

3

1)

a = 2 , b = −4;

2)* a = 2 , b = −4 / 3;

3)

a = 2 , b = −3;

4) a = −1 / 2 , b = 3 / 4.

Решение.

Приведём

общее уравнение прямой

Ax + By + C = 0

к уравнению прямой в отрезках

x

+

y

=1, где a

a b

член. Получим

x

−

3y

= 1,

x

+

y

=1, тогда a = 2 , b = −4 / 3.

4

2

2

−4 / 3

Ответ: a = 2,

b = −4 / 3.

получают −

x

+

3y

+1 = 0, a = −1 / 2, b = 3 / 4.

2

4

1) −

4

х+

3

у+ 2 = 0;

5

5

2)

4

х−

3

у−

10

= 0;

7

7

7

3)*

4

х−

3

у− 2 = 0;

5

5

4)

4

+

4

х−

3

+

3

у−

1

+

1

= 0.

2

3

2

3

2

3

Решение. Для приведения общего уравнения прямой

Ax + By + C = 0

к нормальному виду

x cos α+ y sin α− p = 0 не-

множитель µ = ±

1

, где знак перед радикалом противо-

A2

+ B2

прямой. Знак свободного члена С = −10 0,

тогда перед ради-

калом берём

знак «плюс». Имеем µ =

1

=

1

=

1

,

+ (−3)2

42

25

5

тогда

4

х−

3

у− 2 = 0.

5

5

5

5

5

2. Ошибка в вычислении корня с отрицательным числом

µ ≠

1

=

1

=

1

.

16 −

9

7

42 − 32

3. Ошибка привычислении корня µ ≠

1

≠

1

≠

a2 + b2

+

a2

b2

≠

1

+

1

, µ ≠

1

+

1

,

4

+

4

х−

3

+

3

у−

1

+

1

= 0.

a2

b2

2 3

2

3

2

3

2

3

Пример 6

Расстояние от точки

M 0 (−3; 4)

до прямой

2x + 5 y − 7 = 0

равно…

1)*

7

;

2) −

7

;

3) 1;

4) 0.

29

29

Решение.

Расстояние от точки M 0 (x0 ; y0 ) до прямой

Ax + By + C = 0

находится по формуле

d =

Ax0 + By0 + C

. Вы-

A2 + B2