Введение в комбинаторику и теорию вероятностей
..pdfМинистерствообразования инауки РоссийскойФедерации
Федеральноегосударственноебюджетное образовательное учреждение высшегопрофессионального образования «Пермский национальный исследовательский политехническийуниверситет»
М.Б. Гитман, Т.В. Останина, Е.Г. Цылова
ВВЕДЕНИЕ В КОМБИНАТОРИКУ И ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Издательство Пермского национальногоисследовательского
политехническогоуниверситета
2015
УДК519.1+519.2](075.8) Г51
Рецензенты:
д-ртехн. наук, профессорН.А. Труфанов (Пермский национальный исследовательский политехническийуниверситет);
д-ртехн. наук С.А. Федосеев (ЗАО«ГеликонПро»)
Гитман, М.Б.
Г51 Введение в комбинаторику и теорию вероятностей : учеб. пособие / М.Б. Гитман, Т.В. Останина, Е.Г. Цылова. – Пермь : Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2015. – 109 с.
ISBN 978-5-398-01488-4
Рассматриваются такие разделы математики, как введение в комбинаторныйанализитеориювероятностей.
Излагаются основные положения комбинаторики и теории вероятностей, приведены задачи и упражнения с примерами решений, позволяющеестудентамосвоитьметодырешениявесьманепростыхзадач.
Предназначенодлястудентоввысшихисреднихучебныхзаведений, обучающихся по естественно-научным и инженерным направлениям подготовки.
ISBN 978-5-398-01488-4 |
© ПНИПУ, 2015 |
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
1. |
ДЕТЕРМИНИРОВАННОЕ ОПИСАНИЕ |
|
ИОПИСАНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ |
............... 4 |
|
2. |
КОМБИНАТОРИКА......................................................................... |
10 |
|
2.1. Некоторые сведения изкомбинаторики. |
|
|
Основное правилокомбинаторики................................................. |
10 |
|
2.2. Соединенияв комбинаторике |
|
|
(сочетания, перестановки, размещения)......................................... |
16 |
|
2.3. Упражненияпокомбинаторике................................................ |
34 |
3. |
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ............................................................ |
40 |
|
3.1. Понятие вероятности.................................................................. |
40 |
|
3.2. Числовые характеристикислучайнойвеличины................... |
62 |
|
3.3. Функцияраспределенияслучайнойвеличины. |
|
|
Плотность распределениянепрерывной |
|
|
случайнойвеличины.......................................................................... |
70 |
|
3.4. Простейшиераспределенияслучайныхвеличин.................. |
76 |
|
3.5. Упражненияпотеориивероятностей...................................... |
84 |
4. |
ЗАДАЧИ.............................................................................................. |
94 |
СПИСОКЛИТЕРАТУРЫ.................................................................. |
108 |
|
34
«…истиннойлогикойдля этогомира являетсявычислениевероятностей, занимающеесянахождениемвеличин вероятностей, которыеучитывает илидолжен учитыватьлюбой здравомыслящийчеловек».
Дж. Кларк Максвелл
Выборправильногорешения приходитс опытом, аопыт приходит
снеправильнымирешениями.
1.ДЕТЕРМИНИРОВАННОЕ ОПИСАНИЕ
ИОПИСАНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Закономерности объективного мира можно условно раз-
делить на две группы: динамические и стохастические (статистические).
К динамическим закономерностям относят те, которые можно однозначно описать. Например, материальная точка падает с некоторой высоты. Однозначно можно определить ее скорость при соприкосновении с Землей, время полета и т.д.
Статистические закономерности описывают случайные события (такие, которые при заданном комплексе условий могут протекать по-разному). Например, застраховали машину. При этом однозначно сказать нельзя, будет она угнана или нет.
Часто грань между случайным событием и не случайным очень зыбкая. Одна из концепций случайности (которая преобладала до ХХ столетия) состояла в том, что если все предусмотреть, то никакой случайности не будет. Однако в настоящее время принято придерживаться другой концепции.
46
1. THE DETERMINISTIC DESCRIPTION
AND THE DESCRIPTION UNDER CONDITION
OF INDETERMINATE FORM
We can conventionally divide objective world regularities in the two groups: dynamic and stochastic (statistic) ones.
The regularities which can be described in a unique manner are called dynamic. For instance, a material point is falling down from some height. In this case it is possible to define uniquely its speed, when it has come into contact with the Earth, the time of its flying, and so on.
The statistic regularities describe random events (that can go in different ways under the same conditions). For example, in the case of throwing a die we have no chance to say exactly, what digit it will be.
The verge between random and non-random events is known to be ambiguous. There used to be one of the prevailing conceptions according to which if nothing was left to chance, there would be no randomness, but now we have another conception.
57
Вернемся к примеру с падением материальной точки. При полете последней необходимо учитывать температуру окружающей среды, скорость ветра и другие факторы, которые имеют неоднозначный характер. Поэтому в чистом виде динамических процессов, наверное, нет, т.е. в достаточно содержательных процессах динамическая закономерность всегда носит стохастический характер.
С математической точки зрения динамические закономерности описываются на основе аксиом традиционной математики с использованием вполне определенных величин, а стохастическая должна описываться по-разному в зависимости от ее природы. Если попытаться учесть природу этих закономерностей как явлений, находящихся в условиях неопределенности, то нужно иметь в виду, что сама неопределенность может быть стохастической, статистической, интервальной, а также описываемой с позиций нечетких множеств. Рассмотрим физический смысл этих описаний неопределенности.
Стохастическое описание. Это описание используется, когда неопределенные параметры имеют вероятностный (случайный) характер. Причем в этом случае необходимо, чтобы был задан закон распределения этой случайной величины (или какиелибо ее характеристики)*. Стохастическим описанием занимается теория вероятностей и теория случайных процессов.
Статистическое описание является, по существу, част-
ным случаем стохастического описания. Эту форму описания применяют, когда заданы только выборочные оценки каких-то характеристик случайной величины или наборы значений некоторых случайных параметров. Статистическим описанием занимается математическая статистика.
____________________
* Эти понятия будут введены при дальнейшем рассмотрении.
68
Have a look at the example wish falling the material point. In fact, when we solve this problem, we should take into account the temperature of our environment, the speed of wind and other factors that have ambiguitive characteristics and can influence each other. That is why, in reality, there are probably not any dynamic processes.
According to the mathematical point of view the dynamic regularities are described on the basis of different axioms of traditional mathematics by use of rather specific values. The stochastic regularity, however, should be described in different ways depending on its nature. If we try to take into account the nature of these regularities, it will be necessary to say that an indeterminate form itself can be stochastic, statistic, interval and also being described in terms of the fuzzy sets theory. Let us try to consider the physical meaning of these indeterminate forms.
The stochastic description. It is used, when the indeterminate parameters are of random probabilistic character. It being known that in this case the law of distribution of this random value (or its some characteristics) must be defined. The stochastic description is used in the theory of probability and the theory of random processes.
The statistic description. It is possible to say this description is a particular case of the stochastic one. It can be useful when only the selective estimates of some characteristics of a random value or a set of the meanings of some random parameters are given. The statistic description is considered in terms of mathematical statistics.
79
Интервальное описание. Это описание можно использовать, когда неопределенные параметры заданы только диапазонами возможных значений (верхней и нижней границей), причем параметр может принимать любое значение внутри интервала и ему нельзя приписать никакой вероятностной меры. Интервальным описанием занимается интервальная математика.
Описание с позиций нечетких множеств. В этом случае неопределенный параметр задается некоторым множеством возможных его значений, характеризующихся той или иной степенью принадлежности (с помощью так называемой функции принадлежности) соответствующему значению. Функция принадлежности может принимать значения от «1» (полная принадлежность) до «0» (полная непринадлежность). Интерпретацией функции принадлежности является субъективная мера того, насколько полно элемент (параметр) соответствует понятию, смысл которого описывается нечетким множеством. Этим описанием занимается теория нечетких множеств.
Многообразие форм описания неопределенности приводит к различным особенностям постановки и решения соответствующих задач.
108
The interval description. It can be used when the indeterminate parameters are represented only by ranges of the possible values (by upper and lower values). It being known that every parameter can take on any value inside this range and any probabilistic measure cannot be ascribed to this parameter. This description is studied in interval mathematics.
The description of fuzzy sets. In this case the indeterminate parameter is given by a set of its possible values defined by this or that degree of belonging to the corresponding value (with the help of the so called function of belonging). This function can take on a value from “1” (complete belonging) to “0” (complete non-belonging). The interpretation of this function is a subjective measure of the fact how completely the element (the parameter) corresponds to a concept. Wish sense is described by fuzzy sets. The description of this kind is used in the theory of fuzzy sets.
The existence of many ways of describing indeterminate forms results in many peculiarities of the formulation and solution of corresponding problems.
119
2.КОМБИНАТОРИКА
2.1.НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КОМБИНАТОРИКИ. ОСНОВНОЕ ПРАВИЛО КОМБИНАТОРИКИ
Человеку часто приходится иметь дело с задачами, в которых нужно подсчитать число всех возможных способов расположения некоторых предметов или число всех возможных способов осуществления некоторого действия. Герой русских былин и сказок, богатырь или другой добрый молодец, доехав до распутья, читал на камне: «Впередпоедешь– головусложишь, направопоедешь– коня потеряешь, налево поедешь– меча лишишься». Дальше уже говорилось о том, как он выходил из того положения, в которое попал врезультате выбора. Но выбирать разные пути или варианты приходится и современному человеку. Эти пути иварианты складываются в самые разнообразные комбинации. Ицелый раздел математики, называемый комбинаторикой, занят поиском ответов на вопрос, скольковсегоестькомбинацийвтомилидругомслучае.
С комбинаторными вычислениями приходится иметь дело представителям многих специальностей: ученому-химику – при рассмотрении различных возможных типов связи атомов в молекулах, биологу – при изучении различных возможных последовательностей чередования аминокислот в белковых соединениях, конструктору – при проектировании различных машин и механизмов, диспетчеру – при составлении графика движения и т.п.
При оценке средних суммарных результатов в массе мы вынуждены оценивать, сколько различных комбинаций элементов, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Становится понятным, что в качестве основного технического аппарата теории вероятностей выступает комбинаторный анализ – наука о количестве комбинаций элементов, удовлетворяющих определенным условиям.
102