Введение в комбинаторику и теорию вероятностей

Example 2. In the Caution Town duels seldom have tragical ending. Every participant comes at a random moment of time from 5 to 6 hours in the morning and waits for 5 minutes. What is the probability that the duel will happen?

Solution

Let X – is the time when first participants come, Y – is the time when second participant comes ( 0 ≤ X ,Y ≤ T ). Then Ω :[0,T ] [0,T ] ;

A : X − Y ≤ t, where T – 1 hour, t – 5 minutes

Using the rule (3.10), we shall result

Definition of Conditional Probability

Let us call a conditional probability p(A/B) probability that A occurred, given the fact that B occurred.

Therefore

Let us prove the rule (4.11) using the classical definition of probability.

513

Пусть из n единственно возможных, несовместимых и равновероятных событий A1, A2 ,..., An событию A благоприятствует m событий, событию B – k событий, событию A B – r событий (понятно, что r ≤ k, r ≤ m ). Так как событие B произошло, то оно не является невозможным, а значит, p(B) ≠ 0. Если событие B произошло, то это означает, что наступило одно из событий Aj , благоприятствующих B. При этом событию A

благоприятствует r и только r событий Aj , благоприятствующих A B . Таким образом,

Отметим, что формула (3.15) позволяет вычислять вероятности одновременного появления конечного числа событий.

Пример 3. В партии из 10 изделий 4 дефектных. Найти вероятность того, что при случайном извлечении трех изделий

а) все изделия годные; б) все изделия дефектные.

524

Assume, event A is favored m events, for event B – k events and for event A B - r events (its clear, that r ≤ k, r ≤ m ), from n

incompatible and equally likely simple events A1, A2 ,..., An , which

make up complete group of events. As the event b has occurred, so it cannot be impossible, therefore, p(B) ≠ 0 . If event B has oc-

curred, it is mean, that coming one of the events Ai, which favor B. In this case r and only r events Ai favor of event A, which favor to AB. Therefore

From (3.11) follow the intersection probabilities theorem:

The intersection probabilities theorem for finite quantity events k < ∞ .

= p(A1 ) p( A2 / A1 ) p( A3 / A1 A2 ) ... p( Ak / A1 A2 ... Ak −1 ).(3.15)

Note, the rule (3.15) permit to calculate probabilities of simultaneity appearance finite quantity of events.

Example 3. There are 4 faulty products in a batch of 10. What is the probability, that with random extraction of 3 products

а)All products are suitable, b) All products are unsuitable.

53

Решить задачу двумя способами (по формуле (3.15) и используя классическое определение вероятности).

Решение. Пусть Ai – годное изделие, Bi – дефектное. Первый способ:

a) p(A1 A2 A3 ) = p(A1 ) p(A1 / A2 ) p(A3 / A1 A2 ) = = 106 95 84 = 16 .

б) p(B1 B2 B3 ) = p(B1 ) p(B1 / B2 ) p(B3 / B1 B2 ) = = 104 93 82 = 301 .

Второй способ:

6!

p(A B) = p(A) p(B). Приэтом p(A/ B) = p(A) и p(B / A) = p(B).

События A1, A2 ,..., Ak называются независимыми в совокуп-

Отметим, что из независимости в совокупности следует попарная независимость, однако обратное утверждение – неверно. Покажем это на примере (контрпример С.Н. Бернштейна).

546

Solve this problem in two ways (with help of the rule (3.15) and using the classical definition of probability).

Solution

Let Ai – is suitable product, Bi – is unsuitable product.

Imethod

a)p(A1 A2 A3 ) = p(A1 ) p(A1 / A2 ) p(A3 / A1 A2 ) =

=106 95 84 = 16 .

b)p(B1 B2 B3 ) = p(B1 ) p(B1 / B2 ) p(B3 / B1 B2 ) =

=104 93 82 = 301 .

II method

p(A B) = p(A) p(B). By this p(A / B) = p(A) and p(B / A) = p(B) are right.

Events A1, A2 ,..., Ak is called independent in population, if the following A1, A2 ,..., As , 1< s ≤ k expression is right for any of them finite subset

Note, from independent in population follow pairwise independence, though converse proposition – incorrect. Show it on example. (S.N. Bernshtein counterexample).

557

Пусть грани тетраэдра выкрашены следующим образом: 1 – в красный цвет, 2 – зеленый, 3 – синий, 4 – во все три цвета. Событие А – выпал красный цвет, В – синий, С – красный.

Найдем p(A), p(B), p(C), p(AB), p(BC), p(AC), p(ABC) и

проверим попарную независимость и независимость в совокупности.

p(A) = p(B) = p(C) = 24 = 12 ; p(AB) = p(BC) = p(AC) = 14 ;

p(ABC) = 14 ;

14 ≠ 12 12 12 p(ABC) ≠ p(A) p(B) p(C) то есть неза-

висимостив совокупности нет.

Теорема умножения вероятностей для независимых событий имеет вид

Так же как и в комбинаторике, в теории вероятностей существуют задачи, которые приходится решать наиболее часто. Такими задачами являются задачи вычисления полной вероятности события и вычисления апостериорных вероятностей событий при условии, что априорные вероятности известны.

568

Assume, faces of tetrahedron are painted by the following way: 1 – in red color, 2 – green, 3 – blue, 4 – in all three colors. Event A – red color is fallen, B – blue, C – red.

Find p(A), p(B), p(C), p(AB), p(BC), p(AC), p(ABC) and check pairwise independence and independent in population.

p(A) = p(B) = p(C) = 24 = 12 ; p(AB) = p(BC) = p(AC) = 14 ;

p(ABC) = 14 ;

14 ≠ 12 12 12 p(ABC) ≠ p(A) p(B) p(C) that is inde-

pendent in population is absent.

The intersection probabilities theorem for independent events is given by:

Idem as in combinatorial analyses, in theory of probabilities, there are problems, which should solve more often. Such problems are problems of calculating complete probability of event and calculating of aposterioritive probabilities under the hypotheses that apriorical probabilities are known.

579

Пусть событие А происходит с одним из несовместных событий: H1 , H2 , ..., Hk , образующих полную группу событий и

ные вероятности появления события А при наступлении каждой

ление (3.20) носит название формулы Байеса.

Пример 4. Комплектующие изделия поступают с двух заводов, причем 1-й поставляет 40 % изделий, а 2-й – 60 %. Если прибор собран из изделий 1-го завода, то вероятность безотказной работы 0,9, а если из 2-го, то 0,7. Найти вероятности:

а) взятый случайно прибор проработал гарантийный срок;

5860

Let event A occurs with the exclusive events: H1 , H2 , ..., Hk , making the complete group of events which is called hypothesis. Assume apriorical probabilities of hypothesis p(Hi ), i = 1, ..., k and p(A / Hi ), i = 1, ..., k conditional probabilities appearing event A are

known by coming every of hypothesis. Let us demand to find out: 1. p(A) ,

where p(A) can be calculated by the rule (3.19). Representation (3.20) is called Bayes` Formula.

Example 4. Products are received from two factories, the first supplies 40 products, 2nd – 60. If a machine is assembled from samples of the 1st factory, the probability of good functioning is 0.9, but if from those of the 2nd – 0,7. Find the probabilities

a) The randomly selected sample functioned beyond the warranty period;

5961

б) прибор собран из изделий первого завода, если он проработал гарантийный срок.

Решение. Событие А – прибор проработал гарантийный срок. Гипотеза H1 – прибор собран из изделий 1-го завода,

H2 – 2-го.

Тогда p(H1) = 0,4; p(H2 ) = 0,6; p(A/ H1) = 0 / 9; p(A/ H2 ) = 0 / 7.

Определить p(A), p(H1 / A) по формуле (3.19):

p(A) = 0,4 0,9 + 0,6 0,7 = 0,78;

по формуле (3.20):

p(H1 / A) = 0,4 0,9 ≈ 0,46. 0,78

Полностью охарактеризовать случайную величину можно законом распределения.

Законом распределения случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формул) и графически.

Необходимо различать случайные величины, принимающие лишь отдельные, изолированные возможные значения (дискретные случайные величины), и случайные величины, возможные значения которых сплошь заполняют некоторый промежуток (непрерывныеслучайные величины).

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величиныможетбытьконечным или счетным.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, что число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

602