Введение в комбинаторный анализ учебно-методическое пособие
..pdfФедеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский государственный технический университет»
Е. Е. Гонина
ВВЕДЕНИЕ В КОМБИНАТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебно-методического пособия
Издательство Пермского государственного технического университета
2009
УДК 519.10 Г65
Рецензенты:
канд. физ.-мат. наук, доцент Л. Б. Грайфер (Пермский государственный технический университет);
канд. физ.-мат. наук, доцент Ю. Н. Зверева (Пермский государственный педагогический университет)
Гонина, Е. Е.
Г65 Введение в комбинаторный анализ: учеб.-метод. пособие / Е. Е. Гонина. Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2009. – 46 с.
ISBN 978-5-398-00276-8
Приведены основные положения, определения и теоремы комбинаторного анализа, классические и современные задачи. Рассмотрены примеры решения задач и предложены задачи для самостоятельного решения.
Предназначено для студентов технических специальностей втузов.
УДК 519.10
ISBN 978-5-398-00276-8 © ГОУ ВПО «Пермский государственный технический университет», 2009
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Введение ............................................................................................................ |
4 |
|
1. |
Основные правила комбинаторики........................................................... |
6 |
2. |
Комбинаторные соединения.................................................................... |
10 |
3. |
Примеры решения задач на соединения................................................. |
15 |
4. |
Свойства сочетаний. Треугольник Паскаля ........................................... |
22 |
5. |
Бином Ньютона. Полиномиальная формула. Производящие |
|
|
функции...................................................................................................... |
25 |
6. |
Применение комбинаторики для решения задач теории |
|
|
вероятностей.............................................................................................. |
28 |
7. |
Латинские квадраты ................................................................................. |
31 |
8. |
Конечные проективные плоскости. Применение латинских |
|
|
квадратов для планирования эксперимента............................................ |
36 |
Ответы и указания........................................................................................... |
41 |
|
Список рекомендуемой литературы.............................................................. |
45 |
|
3
Введение
Комбинаторным анализом называется раздел математики, изучающий расположение элементов и отбор подмножеств некоторого множества в соответствии со специальными правилами. Обычно исследуются конечные множества, а в общем случае – дискретные. К основным видам комбинаторных задач относятся: задача пересчета (подсчет числа возможных решений), задача перечисления (выделение всех элементов множества, удовлетворяющих определенным условиям), проблема теоретиче-
ской возможности существования решения, разработка алгоритмов оты-
скания нужного решения, а также задача оптимизации. Разделы комбинаторного анализа, связанные с задачами пересчета и перечисления, назы-
ваются просто комбинаторикой.
Комбинаторный анализ широко применяется в наше время в связи с потребностями кибернетики и электронно-вычислительной техники, для решения многих задач теории кодирования, теории управляющих систем и др. Классическим является применение комбинаторики в теории вероятностей, даже первые теоретические обоснования этих наук возникли одновременно. Первые перечислительные задачи были известны уже в Древней Греции, Индии, Китае и успешно решались средневековыми арабскими математиками. В ХVII веке задачи комбинаторного характера рассматривались Блезом Паскалем и Пьером Ферма. Первым толчком к этому послужило обращение игрока в кости шевалье де Мере к Б. Паскалю с просьбой разработать стратегию выигрыша. Паскаль блестяще справился с задачами, предложенными де Мере, и привлек к ним внимание П. Ферма. Первые попытки построения общей теории комбинаторики принадлежат Г. Лейбницу и Я. Бернулли. Леонард Эйлер в ХVIII веке развивал комбинаторные методы, решая большое число различных задач. В
4
наше время база комбинаторики хорошо разработана, а комбинаторный анализ является быстро развивающейся современной теорией.
В пособии рассматриваются как классические вопросы комбинаторного анализа (соединения, бином Ньютона, применение комбинаторики в теории вероятностей), так и некоторые комбинаторные конструкции (латинские квадраты, конечные проективные плоскости, блок-схемы). Описываются решения исторических задач и достижения ХХ века. Каждый раздел содержит несколько подробно разобранных задач. После каждого раздела приводятся упражнения, некоторые из них теоретические или предназначены для решения на ЭВМ. Ко всем задачам даны ответы или указания для решения.
Данное пособие предназначено как для студентов, изучающих комбинаторный анализ в рамках курса «Дискретная математика» (специальность «Математическое моделирование»; специальности ЭТФ), так и для тех, кому комбинаторика необходима лишь для решения задач по теории вероятностей (для них предназначены разделы 3 и 6).
5
1. Основные правила комбинаторики
Правило произведения (умножения)
Если объект x может быть выбран m способами, а объект y n способами, то выбор упорядоченной пары x, y может быть осуществлен mn способами.
Правило суммы (сложения)
Если объект x может быть выбран m способами, а объект y n способами, то выбор либо x, либо y может быть осуществлен m n способами.
Оба правила справедливы для любого конечного числа объектов.
Утверждение 1.1
Если объект x1 может быть выбран n1 способами, отличный от него объект x2 n2 способами, объект xi ni способами (i 1, 2, ... ,m , xi x j
при i j ), то выбор только одного из этих объектов может быть осуществлен n1 n2 ... nm способами.
Утверждение 1.2
Если объект x1 может быть выбран n1 способами, после чего объект x2 n2 способами и для любого i, где 2 i m 1, после выбора объектов x1,x2 , ... , xi объект xi 1 может быть выбран ni 1 способами, то выбор упорядоченной последовательности из m объектов x1, x2 , ... , xm может быть осуществлен n1n2 ... nm способами.
Доказательство
Рассмотрим сначала последовательность из двух объектов, х и у. Пусть a1,a2 , ... ,am – множество элементов, из которых выбирается объект х, и есть n способов выбора элемента y . Xi – множество всех парx, y при x ai . Все пары Xi различны, одна пара может быть выбрана
6
столькими способами, сколько имеется различных элементов у, т.е. n. Для множества всех пар Xi i 1, 2, ... , m по правилу суммы имеем mn способов. Для последовательности из m объектов утверждение доказывается методом математической индукции.
Для практического решения необходимо понять, что число способов перемножается, когда выбор происходит совместно (не обязательно одновременно); число способов складывается, когда выбор производится по отдельности.
Задача 1.1
Брошены две игральные кости: белая с синими точками и черная с красными точками. Сколько вариантов выпадения очков на верхних гранях имеется при однократном бросании?
Решение
Каждое число очков на первой кости комбинируется с одним из 6 значений на второй кости. Так как на первой кости также 6 значений, то по правилу произведения эти числа перемножаются, всего получается 6 6 36 вариантов.
Задача 1.2
Сколькими способами из 28 костей домино можно выбрать две кости так, чтобы их можно было приложить друг к другу (т.е. чтобы какое-то число очков встречалось на обеих костях)?
Решение
Сначала выберем одну кость. Существует два случая: кость является дублем (т. е. костью вида 00, 11, 22, 33, 44, 55, 66) и кость имеет различные числа очков (например, 05, 13 и т.д.). Все 7 дублей перечислены, а костей второго типа 28 7 21. Первый и второй случай не могут происходить совместно, поэтому число способов для них надо складывать. В первом случае вторую кость можно выбрать 6 способами, а во втором –
7
12. Выбор первой и второй кости происходит совместно, поэтому число способов нужно перемножать. По правилу произведения в первом случае получаем 7 6 42, во втором – 21 12 252. По правилу суммы общее число выборов 42 252 294.
Упражнения
1.1.Бросают игральную кость с шестью гранями и запускают волчок, имеющий восемь граней. Сколькими различными способами они могут упасть?
1.2.На ферме имеется 20 овец и 24 свиньи. Сколькими способами можно выбрать одну овцу и одну свинью? Если такой выбор уже сделан, сколькими способами можно сделать его еще раз?
1.3.Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске белый и черный квадраты, не лежащие на одной и той же горизонтали и вертикали?
1.4.В букинистическом магазине лежат 6 экземпляров романа И. С. Тургенева «Рудин», 3 экземпляра его же романа «Дворянское гнездо» и 4 экземпляра романа «Отцы и дети». Кроме того, есть 5 томов, содержащих романы «Рудин» и «Дворянское гнездо», и 7 томов, содержащих романы «Дворянское гнездо» и «Отцы и дети». Сколькими способами можно сделать покупку, содержащую по одному экземпляру каждого из этих романов?
1.5.Выполнить упр. 1.4, если, кроме того, в магазине есть 3 тома, в которые входят «Рудин» и «Отцы и дети».
1.6.До Комплекса технического университета студент может добраться с двумя пересадками: первый участок маршрута он может проехать на троллейбусе или трамваях трех различных маршрутов, второй участок – на трамвае другого маршрута или автобу-
сах трех различных маршрутов, третий участок – на автобусе
8
маршрута № 41. Сколькими способами студент может приехать на Комплекс ПГТУ, если различать и виды транспорта, и номера маршрутов?
1.7.Доказать утверждение 1.2 для последовательности из m объектов.
9
2. Комбинаторные соединения
Выборкой объемом k из n элементов называется набор k элементов из множества X x1, x2 , ..., xn . Иначе она называется n, k -выборкой.
Например, выборками объемом 3 из множества 0,1, 2, 3, ... ,9 являются наборы чисел 1, 2, 3 и 3, 4, 4. Как видно из примеров, в выборках могут допускаться повторения элементов.
Выборка называется упорядоченной, если порядок следования элементов в ней задан. Две упорядоченные выборки, имеющие одинаковые элементы, но отличающиеся их порядком, считаются различными. Если порядок следования элементов в выборке не является существенным, то такая выборка называется неупорядоченной.
Упорядоченная n, k -выборка без повторений элементов называется
размещением.
Если в упорядоченной n, k -выборке элементы могут повторяться,
то она называется размещением с повторениями.
Например, число 123 является размещением из трех элементов, взятых из множества 10 цифр, т.е. (10, 3)-выборкой, число 344 – размещением с повторениями. Число всех размещений без повторений из n элемен-
тов по k обозначается Ank , а с повторениями Akn .
Упорядоченная n, n -выборка без повторений элементов называется перестановкой, существуют также перестановки с повторениями элементов.
Например, число 12354 является перестановкой множества цифр1, 2, 3, 4, 5 . Примером перестановки с повторениями является число 1123 (из множества 1, 2, 3 ). Число всех перестановок без повторений из n элементов обозначается Pn .
10