Введение в комбинаторный анализ учебно-методическое пособие

7. Латинские квадраты

Латинским квадратом порядка n называется таблица, все n строк и n столбцов которой представляют собой перестановки без повторений одних и тех же элементов a1, a2 , ... , an . Примеры латинских квадратов 2, 3 и 4-го порядков приведены на рис. 1.

Рис. 1 Название свое они получили из-за того, что раньше элементы квад-

ратов обозначались латинскими буквами (как в последнем квадрате на рис. 1). В настоящее время чаще берут перестановки элементов

1, 2, 3, ... , n или 0, 1, 2, 3, ... , n 1 .

Латинский квадрат называется нормализованным, если элементы его первой строки расположены в заранее фиксированном порядке (обычно в порядке возрастания), нормализовать квадрат можно и по первому столбцу. Латинский квадрат, нормализованный по строке и по столбцу, называ-

ется дважды нормализованным.

Примерами дважды нормализованных латинских квадратов являются первый и третий на рис. 1. Нормализовать квадраты можно, меняя местами строки и столбцы. Эти преобразования не изменяют свойства квадрата быть латинским. Латинские квадраты называются изоморфными (или эквивалентными), если они получены друг из друга с помощью перестановки строк и столбцов и перенумерации элементов. Латинский квадрат на рис. 2 изоморфен латинскому квадрату порядка 3 на рис. 1. Латинские квадраты порядка 4 на рис. 3 изоморфны друг другу, так как второй получен из первого заменой 1 на 2, 2 на 1, 3 на 4, 4 на 3.

31

Л. Эйлер в 1782 году высказал предположение, что не существует двух ортогональных латинских квадратов порядка 6, но доказать этого не смог (из-за большого числа переборов). Лишь в начале ХХ века французский математик Г. Тарри доказал предположение Эйлера. А обобщающая гипотеза Эйлера о несуществовании греко-латинских квадратов любого порядка n 4k 2 (n = 10, 14,…) оказалась неверна. Лишь появление быстродействующих ЭВМ позволило в 60-х годах ХХ века построить греколатинские квадраты порядков 50, 22, 10 и других (американские математики Р. К. Боуз, С. С. Шрикхенд, Э. Т. Паркер и пермский ученый А. И. Лямзин). Оказалось, что гипотеза Эйлера верна лишь для порядка 6.

Для многих порядков существуют множества из более чем двух попарно ортогональных латинских квадратов.

Утверждение 7.1

Число попарно ортогональных латинских квадратов порядка n не превосходит n 1.

Доказательство

Пусть имеется r попарно ортогональных латинских квадратов. Нормализуем их по первой строке (это преобразование не влияет на ортогональность). Рассмотрим первые элементы a21 второй строки, все они должны быть различны. Действительно, если в каких-либо двух квадратах a21 i , то при наложении квадратов в первой клетке второй строки и в одной из клеток первой строки образуются одинаковые пары i, i , что противоречит определению ортогональности. В квадрате порядка n в столбце всего n различных элементов, а элемент a11 уже использован, значит, элемент a21 не может совпадать с ним. Итак, число r таких квадратов не превосходит n 1.

33

Множество взаимно ортогональных латинских квадратов порядка n называется полным, если число таких квадратов равно n 1. Например, полное множество квадратов порядка 2 состоит из одного квадрата, порядка 3 – из двух квадратов и т. д. до порядка 6. Полное множество четырех попарно ортогональных латинских квадратов порядка 5 показано на рис. 5. Квадрат порядка 6 не имеет даже ортогональной пары, тем более полного множества. Полные множества квадратов порядков 7, 8, 9 существуют. А вот для порядка 10 доказано, что нет множества даже трех попарно ортогональных латинских квадратов, а значит, нет и полного множества.

Рис. 5

Утверждение 7.2

Если n pk , где p – простое, а k – натуральное числа, то для n 3 существует полное множество из n 1 ортогональных латинских квадра-

тов [4].

Отметим, что латинские квадраты являются частным случаем другого комбинаторного понятия – латинских прямоугольников [4]. Рассматриваются также латинские кубы [8].

Упражнения

7.1.Расставить буквы в квадратах порядка 5 так, чтобы ни в одной строке, ни в одном столбце, а также по диагоналям не было одинаковых букв.

34

7.2.Из 16 карт (тузов, королей, дам и валетов всех 4 мастей) сложить квадрат так, чтобы в каждой строке и каждом столбце находились карты 4 разных мастей и 4 разных значений.

7.3.Решить задачу 7.2 так, чтобы то же условие выполнялось не только для строк и столбцов, но и обеих диагоналей.

7.4.Решить задачу 7.2 так, чтобы цвета (черный и красный) чередовались в шахматном порядке.

7.5.Найти все 4 различные дважды нормализованные латинские квадраты порядка 4. Доказать, что 3 из них изоморфны.

7.6.Найти 3 попарно ортогональных латинских квадрата порядка 4, нормализованных по первой строке, но не обязательно по первому столбцу.

7.7.Составить программы для ЭВМ для нахождения:

а) числа дважды нормализованных латинских квадратов порядка

n;

б) числа всех латинских квадратов порядка n. Подсчитать эти числа для небольших n.

35

8.Конечные проективные плоскости. Применение латинских квадратов для планирования эксперимента

Построение полного множества латинских квадратов тесно связано с такими комбинаторными объектами, как конечные проективные плоскости.

Конечной проективной плоскостью называется система, состоящая из конечного числа точек и прямых, связанных отношением инцидентности (при котором точки лежат на прямых, а прямые проходят через точки), которая удовлетворяет следующим аксиомам:

1.Через каждые две точки проходит единственная прямая.

2.Каждые две прямые пересекаются в единственной точке.

3.Существуют 4 точки, никакие 3 из которых не лежат на одной

прямой.

Число точек на каждой прямой и число прямых, проходящих через одну точку, одинаковы. Это число обозначают n 1, тогда n называется порядком проективной плоскости. Общее число точек и прямых проективной плоскости также одинаково и равно n2 n 1.

Простейшим примером конечной проективной плоскости является плоскость порядка 2, называемая конфигурацией Фано. Она содержит 7 точек и 7 прямых, одна из прямых (рис. 6) выглядит как три точки, лежащие на окружности. Точки обозначены буквами Р, прямые – буквами a (с индексами).

Проективная плоскость порядка 3 состоит из 13 точек и 13 прямых. Конечные проективные плоскости могут задаваться таблицами и матрицами, а также геометрически. По рис. 6 легко составить табл. 2, показывающую, какие точки лежат на каждой из 7 прямых.

36

Пусть имеется множество из v элементов (например, данных эксперимента): m1, m2 , ... , mv . Это множество распределено по b блокам – подмножествам M1, M 2 , ... , Mb , пересечение которых не обязательно пусто. Число элементов в блоке M j называется объемом блока и обозначается через k j . Элементы могут появляться в нескольких блоках. Пусть ri

число блоков, содержащих mi , i 1, 2, ... , v . Введем число повторений

(неупорядоченных пар) элементов d p p 1, 2, ... ,Cv2 . Тогда говорят, что множество блоков M1, M 2 , ... , Mb образует блок-схему с параметрами v, b, ri , k j , d p .

Кроме конечных проективных плоскостей примерами блок-схем являются и латинские квадраты, и так называемые тройки Штейнера [4].

Латинские квадраты могут быть использованы при решении разнообразных практических вопросов. Начало этому направлению положил английский ученый Р. Фишер, который в начале тридцатых годов ХХ века показал, как использовать латинские квадраты в сельском хозяйстве. Предположим, что надо выяснить, как влияют на рост пшеницы 7 различных удобрений, исключив всякую неоднозначность, связанную с изменением состава почвы. Для этого экспериментальное поле пшеницы делят на клетки, чтобы получился квадрат 7 × 7, и вносят удобрения по схеме любого латинского квадрата порядка 7, выбранного случайным образом. Несложная обработка результатов позволяет исключить случайные отклонения, связанные с изменением плодородия почвы. При решении этой задачи следует отметить, что здесь учитываются три переменные: номера строк и столбцов и вид удобрения. Добавим четвертую переменную – сорт пшеницы, предполагая, что имеется 7 сортов. Для того чтобы поставить эксперимент, надо использовать уже эйлеров квадрат порядка 7, два эле-

38

мента в каждой клетке квадрата соответствуют виду удобрения и сорту пшеницы.

Естественно, клетка квадрата не обязательно должна быть участком земли. Это может быть животное, растение, место укола, промежуток времени, группа наблюдателей. Эйлеров квадрат является схемой эксперимента в медицине, биологии, социологии и т.д. Если переменных больше 4, то используют несколько ортогональных латинских квадратов (правда, их не более n 1 для порядка n).

Если отвлечься от формы латинского квадрата, специфики его строк и столбцов, то его можно определить следующим образом: латинский квадрат порядка n можно понимать как n2 упорядоченных троек из n элементов, таких, что на каждых двух тройках каждая пара элементов встречается один и только один раз. Аналогично можно определить эйлеров квадрат. Это множество из n2 упорядоченных последовательностей длиной 4 из n элементов, такое, что на каждых двух четверках каждая пара элементов встречается один и только один раз. Для множества из k взаимно ортогональных латинских квадратов аналогичное определение (с помощью упорядоченных последовательностей) также возможно.

Упражнения

8.1.Найти в литературе и записать несколько эйлеровых квадратов порядка 10.

8.2.Найти в литературе сведения о конечной проективной плоскости порядка 3. Сделать чертеж, выписать таблицу инцидентности.

8.3.Дама собирается пригласить семерых друзей на несколько званых обедов, каждый раз приглашая троих гостей. Ей хочется, чтобы каждые двое друзей встретились у нее, но только один раз. Как распределить приглашения по дням? Сколько дней будут про-

39

должаться обеды? Изобразить дни прямыми, а гостей точками. Какая геометрическая схема получится и почему?

8.4.Выяснить, существуют ли полные множества латинских квадратов порядков 13, 14, 21, 22, 23, используя утверждение 7.2 и теорему Брука Райзера [4].

8.5.Дать определение множества из k взаимно ортогональных латинских квадратов с помощью упорядоченных последовательностей.

8.6.Записать параметры блок-схемы для проективной плоскости порядка n.

40