Введение в комбинаторный анализ учебно-методическое пособие

русском языке с букв Й, Ъ, Ы, Ь, по крайней мере, имена не начинаются.)

3.19.7 юношей и 10 девушек танцуют парами. В некотором танце участвуют все юноши. Сколько имеется вариантов участия девушек в этом танце? Сколько имеется вариантов, если учитывать лишь то, какие девушки останутся неприглашенными?

3.20.Рота состоит из 3 офицеров, 6 сержантов и 60 рядовых. Сколькими способами можно выделить из них отряд, состоящий из 1 офицера, 2 сержантов и 20 рядовых?

3.21.Решить уравнения:

а) Axx 11 2Px 1 307 Px ;

б) Axx 3 xPx 2 ; в) Ax3 2Cx4 3Ax2 .

21

4. Свойства сочетаний. Треугольник Паскаля

Сочетания Cnk обладают несколькими важными и интересными свойствами. Для доказательства их справедливости будут применяться комбинаторные методы, использующие логические рассуждения. Алгебраические методы доказательства широко известны, эти доказательства предлагается выполнить самостоятельно.

Свойство 4.1

Cn1 n , Cnn 1.

Доказательство

Число способов выбрать 1 элемент из n, очевидно, равно n. Существует только один способ выбрать n элементов из n без учета порядка.

Свойство 4.2

Cnk Cnn k .

Доказательство

Из n элементов мы выбираем k элементов без учета порядка, невыбранными остаются n k элементов. Очевидно, число способов выбрать k элементов без учета порядка совпадает с числом способов оставить n k элементов.

Следствие

Cn1 Cnn 1 n , Cn0 Cnn 1.

Свойством 4.2 удобно пользоваться для упрощения вычислений

Свойство 4.3

Cnk 11 Cnk 1 Cnk k n .

22

Доказательство

Возможно два случая. Зафиксируем n 1 -й элемент, его можно включить в число k 1 выбранных, а можно не включать. В первом случае из оставшихся элементов n мы выбираем k, а во втором случае из n элементов выбираем все k 1. Число способов в первом случае будет Cnk ,

аво втором Cnk 1 . Применяем правило суммы.

Спомощью этой формулы можно последовательно находить числа Cnk . При n 1, k 0 получим: C21 C11 C10 1 1 2.

C41 C31 C30 3 1 4 , C42 C32 C31 3 3 6 , C43 C33 C32 1 3 4 .

Пользуясь свойством 4.3, представим сочетания в виде треугольной таблицы с бесконечным числом строк, которая называется треугольником Паскаля:

C00

……………………………………………………………….

Подставим в треугольник Паскаля числовые значения сочетаний: 1

1 5 10 10 5 1

………………………………………………………………

23

Треугольник Паскаля обладает тем свойством, что каждый элемент строки, кроме крайних, равен сумме двух элементов, стоящих над ним в предыдущей строке. В начале и конце каждой строки стоит 1. Просуммировав сочетания в каждой строке, получаем 2n , результат не случаен, что будет доказано в следующем разделе.

Упражнения

4.1.Подсчитать C53 , C74 , C106 .

4.2.Подсчитать C5048 , C1000999 , C10098 .

C9 P

4.3.Вычислить 12 6 .

A472 C63

4.4.Решить уравнения:

a)Cxx 12 2Cx3 1 7 x 1 ;

б) 23Ax4 24 Ax3 1 Cxx 4 ; в) Ax5 336Cxx 25 0.

4.5.Доказать свойства 4.2, 4.3 с помощью формулы числа сочетаний.

24

5.Бином Ньютона. Полиномиальная формула. Производящие функции

Отметим, что при n 2 сочетания в треугольнике Паскаля совпада-

сумму 2n слагаемых вида d1d2 ... dn , где di равно либо a, либо b. Разобьем все слагаемые на n 1 группу B0 , B1,..., Bn , относя к Bk все те произведения, в которых число b встречается множителем k раз, а число a n k раз. Число произведений в Bk равно числу способов, которыми из n со-

множителей d1, d2 ,..., dn можно выбрать k множителей, равных b, т.е. Cnk .

Каждое слагаемое в Bk равно an k bk , следовательно,

a b n n Cnk an k bk . k 1

Эта формула называется биномом Ньютона, коэффициенты – биномиальными. Бином Ньютона был известен уже в средние века математикам Средней Азии, а в XVII веке – Блезу Паскалю. Исаак Ньютон обобщил формулу для отрицательных и дробных показателей (биномиальные ряды).

25

Задача 5.1

n

Доказать, что Cnk 2n .

k 1

Решение

Положив a b 1 в формуле бинома Ньютона, получаем нужное ра-

Решение

Воспользуемся формулой бинома Ньютона, не выписывая всех его

Формулу бинома Ньютона можно обобщить для любого конечного числа слагаемых.

Утверждение 5.2

a1 a2 ... ak n Pn n1, n2 , ... , nk a1n1 a2n2 ... aknk

n1 n2 ... nk n

Задача 5.3

Определить коэффициент k в одночлене kx3 y4 z3 многочлена

x y z 10 .

Решение

Согласно полиномиальной формуле получаем: k P10 3, 4, 3 310!4!!3! 4200 .

26

Рассмотрим последовательность чисел aQ a0 , a1, a2 , ... . Ей взаим-

но однозначно соответствует функция fa x an xn , которая называется

n 1

производящей функцией последовательности а. Для большинства комби-

наторных задач сумма конечна, но иногда представляет собой бесконечный ряд. С производящей функцией оперировать удобнее и проще, чем с последовательностью, особенно если она представлена в удобной аналитической форме. Теория производящих функций является одной из самых развитых в комбинаторном анализе, ей посвящена обширная литература. Ее методы до сих пор используются в приложениях, обычно при решении вопроса о количестве решений. Познакомиться с теорией можно в книгах [2], [4] и многих других. Рассмотрим простой пример. Производящей функцией для последовательности биномиальных коэффициентов Cnk яв-

ляется функция 1 x n . Действительно, из формулы бинома Ньютона при

a 1, b x получаем: 1 x n Cnk xk .

k 1

Упражнения

n

5.1. Доказать, что 1 k Cnk 0 .

k 1

5.4. Определить коэффициент k в следующих членах многочлена

a b c 2 a2 b2 c2 4 :

а) ka3b3c4 ; б) ka2b4c4 ; в) ka5b5 ; г) ka2b2c6 . 5.5. Доказать утверждение 5.2.

27

6.Применение комбинаторики для решения задач теории вероятностей

Элементарные понятия комбинаторики постоянно используются при решении задач теории вероятностей. Это связано с рассмотрением различных комбинаций множеств случайных событий. Во введении уже отмечалось, что первые задачи теории вероятностей, связанные с именами шевалье де Мере и Блеза Паскаля, являлись первыми задачами комбинаторики. Рассмотрим формулировки задач шевалье де Мере. Одна из задач относилась к разделу ставки. Проблема состояла в следующем: игра ведется до 6 выигранных партий, но она была прервана, когда один игрок выиграл 5 партий, а другой – 4. Как разделить ставку? Было ясно, что раздел в отношении 5:4 несправедлив. Применив методы комбинаторики, Паскаль решил задачу в общем случае; другой способ решения дал Ферма, получив тот же результат. Вторая задача относилась к стратегии выигрыша. Игральная кость бросается 4 раза. Что вероятнее: выпадение 6 очков на верхней грани хотя бы один раз или невыпадение ни разу? Практика показывала, что шансы выиграть в обоих случаях примерно равны, но Паскалю удалось определить более удачный вариант.

Рассмотрим задачи, в которых необходимо применять комбинаторные понятия.

Вероятность случайного события может быть вычислена по формуле

P A mn ,

где n – число всех элементарных равновозможных исходов, составляющих полную группу, m – число исходов, благоприятствующих событию А (т. е. приводящих к событию А).

28

Задача 6.1

Набирая номер телефона, абонент забыл последние 3 цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наугад. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение

Благоприятствующий исход здесь один – правильный набор цифр. Всех исходов будет столько, сколько можно составить комбинаций по 3 цифры, выбирая их из 10 цифр (от 0 до 9). Порядок здесь имеет значение,

Задача 6.2

Какова вероятность угадать ровно 3 номера в «Спортлото» 5 из 36?

Решение

Исход состоит в случайном выборе 5 номеров из 36. Число всех исходов – это число всех таких возможных выборов, причем порядок значения не имеет, т.е. это число сочетаний n C365 . Благоприятствующий исход состоит в угадывании 3 номеров из 5 выбранных и совместном неугадывании 2 номеров (которые принадлежат множеству из 31 невыбранного номера). Порядок значения не имеет. По правилу произведения число благоприятствующих исходов равно m C53 C312 .

По схеме «Спортлото» решается много задач с разнообразным содержанием. Формула числа сочетаний используется также в формуле Бернулли, применяемой при повторении испытаний.

В качестве упражнений рекомендуются задачи из руководства [9].

29

Упражнения

6.1.Решить задачу шевалье де Мере: что вероятнее при четырехкратном бросании игральной кости выпадение 6 очков хотя бы один раз или невыпадение ни разу?

6.2.Какова вероятность угадать все 5 номеров в «Спортлото» 5 из 36?

30