Введение в комбинаторику и теорию вероятностей

The number of ordered k-element subsets of n-element set is called the number of arrangements of n elements taken k at a time

and is denoted by Ank .

Theorem. The number of arrangements of n elements taken by k at a time is calculated by the following formula

Proof. Initial n-element set is non-ordered, therefore its every subset can be ordered in some kind of ways. The number of

all k-element subsets of the given n-element set equals Cnk . Every

such a subset can be ordered in k! ways (the number of permutations of k elements). Then

Example 8. A pupil needs to pass 4 exams during 8 days. How many ways can he do it in?

Solution. The number of ways we need equals the number of ordered 4-element subsets of 8-element set, i.e. there are A84 = 8 7 6 5 = 1680 ways.

If it is known the last exam must be passed on the 8th day, then the number of ways equals 4 A84 = 7 6 5 4 = 840.

The number of recurrent arrangements of n elements taken by k at a time is called the number of all ordered k-element subsets of n-element set. These subsets can differ from each other by their elements or by the order of their elements or by the number of repeated elements. (k can be greater than n).

31

По правилу произведения, допуская, что каждый элемент в размещении с повторением можно выбрать n способами, получаем, что число размещений с повторениями, которое обо-

~

значим Ank , равно

~k = k (где может быть и больше ).

An n k n

Пример 9. Замок в автоматической камере хранения кодируется четырехзначным числом десятичной системы исчисления. Сколькими способами можно набрать это число?

Решение. Каждое из чисел можно выбрать 10 способами. Если порядок цифр существен, а повторения возможны, то число способов – это размещение с повторением из 10 по 4, т.е.

A~104 = 104.

Во многих комбинаторных задачах используется биномиальная теорема (бином Ньютона). Сформулируем и докажем ее.

Биномиальная теорема.

Имеет место равенство

324

According to the rule of product, assuming that every element in recurrent arrangement can be chosen in n ways, we have the

number of recurrent arrangements that is denoted by Ank equals

A~nk = nk .

Example 9. The baggage-locker is encoded by 4-digit number of the decimal system. How many ways can we accumulate this number in?

Solution. Every number can be chosen in 10 ways. If here the order is important and repetitions are possible, then the number of ways will be the number of recurrent arrangements of 10 elements

The binomial theorem is very often used in solution of combinatorial problems.

Let us formulate and prove it.

Binomial theorem.

Here we have the following expression

k=0

Proof.

We will multiply (a+b) n times. As a result, we will have the

‘a’ or ‘b’. Than we will divide all summands in to n+1 groups B0, B1, B2,..., Bn. The group Bk has all products in which ‘b’ is met as a

multiplier k times and ‘a’- (n-k) times. The number of Bk equals Cnk (we can choose k summands that equal ‘b’ in the number of these ways among n products d1d2 dn ). Every element in Bk equals

an−k bk . By this way, we have obtained the formula (3.4).

335

Пример 10. Используя биномиальную теорему, получить

=a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3.

2.3.УПРАЖНЕНИЯ ПО КОМБИНАТОРИКЕ

1.Замок отпирается только в том случае, если набран определенный трехзначный номер из 5 цифр. Угадать номер удалось на последней из всех возможных попыток. Сколько попыток предшествовало удачной?

Ответ: 124.

2.Два почтальона должны разнести 10 писем по 10 адре-

сам. Сколькими способами они могут распределить работу? Ответ: 210.

3.В вазе 10 красных и 4 розовых гвоздики. Сколькими способами можно выбрать букет: а) из 1 красной и 2 розовых гвоздик? б) из трех цветков?

Ответ: а) 60; б) 364.

4.Сколькими способами можно расположить на шахматной доске две ладьи, чтобы одна не могла взять другую?

Ответ: 896.

5.Четыре стрелка должны поразить 8 мишеней (каждый по две). Сколькими способами они могут распределить мишени между собой?

Ответ: 2520.

346

Example 10. By using the binomial theorem, let it be required to get the formula for the calculation of (a+b)3.

Solution.

(a + b)3 = C30 a3 b0 + C31 a2 b1 + C32 a1 b2 + C33 a0 b3 =

= 0!3!3!a3 + 1!3!2!a2 b + 2!3!1!a b2 + 3!3!0!b3 =

=a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3.

2.3.EXERCISES ON COMBINATORIAL ANALYSIS

1.The lock opens only when a certain five-numbers code is put. The code was guessed at the last possible attempt. How many attempts had been made before the lucky one?

Answer: 124.

2.Two postmen have to deliver 10 letters to 10 addresses. In how many different ways can they carry out (or distribute) this work?

Answer: 210.

3.There are 10 red and 4 pink carnations in a vase. In how many different ways can we make a bunch of flowers: a) from 1 red and 2 pink carnations? b) from any three carnations?

Answer: a) 60, b) 364.

4.In how many different ways can we put two rooks on the chessboard so that one cannot beat another one?

Answer: 896.

5.Four marksmen have to hit 8 bull's-eye (everyone 2 times). In how many different ways can they distribute targets among themselves?

Answer: 2520.

357

6. В фортепьянном кружке 10 человек, в кружке художественного слова – 15, вокальном – 12, фото – 20. Сколькими способами можно составить бригаду из 4 чтецов, 3 пианистов, 5 певцов и 1 фотографа?

Ответ: 107!15! .

7. Из группы 15 человек выбирают 4 участника эстафеты 800·400·200·100. Сколькими способами можно расставить спортсменов по этапам?

Ответ: 32760.

8.Из колоды, содержащей 52 карты, вынимают 10 карт.

Вскольких случаях среди этих карт окажутся: а) хотя бы один туз; б) ровно один туз; в) не менее двух тузов; г) ровно два туза?

Ответ: а) C5210 − C4810 ; б) C41 C489 ;

в) C5210 − C4810 − C41 C489 ; г) C42C488 .

9. Сколькими способами можно выбрать 6 карт из колоды (52 карты), чтобы среди них были карты каждой масти?

Ответ: C41 C133 (C133 )3 + C42 (C132 )2 (C131 )2 .

10. При игре в преферанс каждому из трех игроков раздают по 10 карт, 2 карты – в прикупе (всего 32 карты). Вопрос: а) сколько различных сдач возможно в этой игре; б) какова вероятность того, что в прикупе окажется 2 туза?

11.Абитуриент должен сдать 4 экзамена и набрать 17 очков. Сколькими способами он может сдать экзамены, набрав не менее 17 очков и не получив ни одной двойки?

Ответ: 31.

12.Сколькими способами можно составить 3 пары из n шахматистов?

n!

Ответ: 48(n − 6)!.

368

6. There are 10 people in a piano studio, in a literature studio there are 15 members, in a vocal one – 15, photo one – 20. In how many different ways can we arrange a team consisting of 4 readers, 3 pianists, 5 singers and 1 photographer?

Answer: 10 15! . 7!

7.4 participants from 15 have been chosen from 15 to participate in a sport relay 800·400·200·100. In how many different ways can participants be arranged at the stages?

Answer: 32760.

8.From a standard 52 card deck, how many 10 cards will have not less then one ace? Exactly one ace? Not less then 2 aces? Exactly 2 aces?

9. From a standard 52 card deck, how many 6 cards will have all suits.

Answer: C41 C133 (C133 )3 + C42 (C132 )2 (C131 )2 .

10. In preference, a player is dealt 10 cards, 2 cards are buying in talon. (32 cards). How many different dealts are possible in this game? How many ways then there are 2 aces in talon.

11.A university entrant has to pass 4 exams and get 17 points. In how many different ways he can pass his/her exams, collecting not less then 17 points and without getting any “Fail”.

Answer: 31.

12.In how many different ways can 3 chess-couple be composed from n chess-players?

n!

Answer: 48(n − 6)!.

379

13.Группа из 41 студента успешно сдала сессию из 3 экзаменов. Возможные оценки 3, 4, 5. Доказать, что по крайней мере 5 студентов сдали сессию с одинаковыми оценками.

14.Доказать:

Cnk = Cnk−1 + Cnk−−11 .

15. Доказать:

C2nn = (Cn0 )2 + (Cn1 )2 + ... + (Cnn )2 . 16. Доказать:

k

Cnk+ m = Cni Cmi .

i= 0

17.Доказать:

19. Доказать:

Cn1 + 2Cn2 + ... + nCnn = n 2n−1 . 20. Доказать:

Cn1 − 2Cn2 + ... + (−1)n−1 n Cnn = 0 .

3840

13. The Group of 41-students successfully passed 3-exam session. Possible marks are A, B, C. Proof, that there is at least 5 students who passed their exams with equal evaluations.

14.Proof:

Cnk = Cnk−1 + Cnk−−11 .

15. Proof:

C2nn = (Cn0 )2 + (Cn1 )2 + ... + (Cnn )2 .

16. Proof:

k

Cnk+ m = Cni Cmi .

i= 0

17.Proof:

19. Proof:

Cn1 + 2Cn2 + ... + nCnn = n 2n−1 . 20. Proof:

Cn1 − 2Cn2 + ... + (−1)n−1 n Cnn = 0 .

3941