Введение в комбинаторику и теорию вероятностей

13. The student of gr. MM-10 Valdemar Pupkin and his friend have taken a good position near the door of building "V" PNRPU. They’ve started to throw snowballs at all coming out girls-students. When the door opened again, two snowballs flew together directly a the head of Lucretii Ippolitovich. What is the probability that the target was struck, if Waldemar usually gets 8 shots out of 10, and his friend only 7?

14.Cutting off buttons from clothes is a favorite occupation of two-year-old girl Katya. While mom was cooking porridge, Katya managed to cut off all 5 white buttons from her father's pajamas and 3 black buttons from her mother's evening dress. Kate swallowed one button, and she slipped the rest into a deep gap between the floor and skirting. While she was doing this job, mom caught her. With great difficulty, mom managed to dig 2 buttons out of the gap. What is the probability that the dress can recovered, if mom has one more spare button?

15.While mom was baking a cake, two-year-old girl Katya managed to cut off 7 white buttons from a new daddy’s shirt and 3 red buttons from mother's dressing gown. Kate swallowed one button, and she stuck the res in the gap between the bookcase and the wall. Mom caught Katya doing this and managed (with the help of the scissors) to winkle out one white button from a bookcase. The others were impossible to pull out. What is the probability that the swallowed button is from her father's shirt?

16.Adelaide Utkina, a pretty student, managed to learn only 10 of 20 questions for her credit, but she hopes in case of failure to persuade professor Arkady Aristarkhovich to ask her a second question. According to a long-term observations professor can be softened in two cases of three, and this ratio does not change with years. What are Adelaide’s chances to pass the test?

17.Adelaide Utkina, a pretty student, knows only 15 questions of 30 for her credit. She believes that if she goes second, her chances to pull the winning ticket will increase. Is she right? Prove. (Hint: after some student answers his question, his ques-

tion becomes unavailable for other students: they can have only one of the rest.)

1013

18.Студент гр. ММ-10 Вальдемар Пупкин ставит три ящика пива против двух, что, выучив 12 билетов из 30, он сдаст зачет по крайней мере со второго раза. Стоит ли его приятелю заключать пари? (Указание: найти отношение вероятностей благоприятного и неблагоприятного для Вальдемара событий.)

19.В понедельник, после двух выходных, токарь Григорий вытачивает левовинтовые шурупы вместо требуемых правовинтовых с вероятностью 0,5. Во вторник этот показатель снижается до среднецехового– 0,2. В остальные дни недели Григорий ударно трудится, и брак среди изготавливаемых им шурупов составляет 10 %. При проверке недельной партии шурупов, выточенных Григорием, случайно выбранный шуруп оказался дефектным. Какова вероятностьтого, что шурупизготовленв понедельник?

20.Студентка гр. ММ-10 Аделаида Уткина, возвращаясь из института домой, останавливается на перекрестке. Ей нужно перейти 2 улицы. В зависимости от того, как горит светофор, Аделаида либо сначала переходит через Средний проспект, оказывается перед лотком с мороженым, после чего пересекает 3-ю линию, либо переходит линию, утыкается в ларек со жвачками, а затем уже переходит через Средний. Найти вероятность того, что в течение недели Аделаида два раза лакомилась моро-

женым. (Примечание: в учебной неделе – 6 дней.)

21.Симпатичная студентка Аделаида Уткина со своим приятелем Вальдемаром Пупкиным катаются на лыжах. Аделаида – первоклассная лыжница. Ей ничего не стоит съехать с длинной крутой горы, на которой нужно к тому же сделать пять поворотов. Что касается Вальдемара, то его шансы упасть или не упасть на каждом повороте равны. Какова вероятность того, что Вальдемар съедет с горы, упав не больше двух раз?

22.Фасовщица Клава развешивает пряники в пакеты – по 1 кг в пакет. Пакеты Клава складывает в коробки – по 20 штук

вкоробку. Каждый из 10 пакетов Клава недовешивает. Контролер ОТК Иван Кузьмич подозревает Клаву в нечестности. Из 10 произвольных коробок он берет по одному пакету на проверку. Какова вероятность того, что у Ивана Кузьмича в руках окажется 3 недовешенных пакета?

1024

18. The student of gr. MM-10 Valdemar Pupkin stakes three boxes of beer (and his opponent stakes two) on the following: he will have his credit at least at the second attempt, having learned only 12 questions of 30. Is this stake worth for his opponent?

(Hint: Find the ratio of probabilities of favorable and unfavorable events for Valdemar.)

19.On Monday, after the weekend, turner Gregory grinds lefthanded screws instead of the required right-handed with a probability 0.5. On Tuesday this index falls to the average in the workshop -

0.2.The rest of the week Gregory works hard and the rate of spoilage 10%. While the weekly check of screws, carved by Gregory, one randomly selected screw proved to be defective. What is the probability that this screw was made on Monday?

20.When the student of gr. MM-10 Adelaida Utkina is coming back home from the Institute, she stops at the crossing. She has to go across 2 streets. Depending on the colour of the traffic lights Adelaide has two opportunities: the first one – to pass through Middle Avenue, face a tray with ice cream, and then cross the Third line, the second – to pass the Line, and face a stall with chewing gum and then pass through the Middle Avenue. Find the probability that Adelaide was enjoying an ice cream twice within a week. (Note: There

are 6 days during the week when she goes to the Institute).

21.Adelaide Utkina, a pretty student, with her friend Waldemar Pupkin are skiing. Adelaide is a first-class skier. It goes for nothing for her to move down a long steep hill (on which it is also necessary to make five turns). As for Waldemar, his chances of falling or not falling at every turn are equal. What is the probability that Valdemar will move down from the mountain, falling not more than two times?

22.The packer Klava is wracking gingerbreads to packets – 1 kg per packet. Klava incases these packets into boxes – 20 packets per box. Klava gives short weight at one of every 10 packets. The TCD’s controller Ivan Kuzmich suspects Klava of dishonesty. He takes one packet from each of 10 boxes to check. What is the probability that 3 incomplete packets will be in the hands of Ivan Kuzmich?

1035

23.Самый правдивый человек на свете барон Мюнхаузен иногда все же любит несколько приукрасить действительность

ив одном случае из пяти грешит против истины. Какова вероятность того, что из четырех рассказанных им историй – про чудесную штопку коня, разрубленного пополам, про путешествие на ядре в неприятельский город, про оленя, подстреленного вишневой косточкой и про жареных куропаток на шомполе, – хотя бы две абсолютно правдивые?

24.Чингачгук и его бледнолицый брат, засев в башне с круговым обстрелом, отражают нападение пяти французских солдат. У каждого из героев в карабине по 5 пуль, и пока они могут стрелять, подступиться к ним невозможно. У французов большое количество патронов. Кроме того, у них достаточно удобная позиция за скалами, и вероятность попасть в любого из них равна 1/2. Каковавероятностьтого, чтофранцузыбудутполностью разбиты?

25.Том Сойер ставит свою дохлую крысу на веревочке

против сломанного будильника своего приятеля. При подбрасывании 6 монет выпадет 3 орла. Том считает, что шансы получить или не получить загаданный результат равны. Прав ли он?

26.Игрок Смит бросает 6 игральных костей и выигрывает, если выпадет хотя бы одна единица. Игрок Джонс бросает 12 игральных костей и выигрывает, если выпадет хотя бы две единицы. У кого больше шансов выиграть?

27.Студент гр. ММ-10 Вальдемар Пупкин в письме из 20 предложений умудрился сделать 20 ошибок. Такое соотношение между числом ошибок и количеством предложений весьма характерно для Вальдемара и не зависит от объема работы. Сколько в диктанте Вальдемара предложений, в которых содер-

жится по две ошибки? (Указание: сосчитать вероятность двух ошибок в произвольном предложении, если предположить, что число ошибок в предложении подчиняется закону Пуассона.)

28.Какова вероятность того, что, угощая Чичикова, Плюшкин принес ему незаплесневелый калач, если известно, что на

хранящихся в кладовке Плюшкина хлебобулочных изделиях в среднем по 4 подозрительных сине-зеленых пятна.

1046

23.The most honest man in the world Baron Munchausen sometimes still likes to color the truth and in one case out of five entrenches upon the truth. What is the probability that at least two of four of his stories – “About wonderful darn of a horse”, “Chopped to a half”, “About a trip on a cannon ball to the enemy city”, “About a deer, shot down with a cherry stone” and “About roasted quail on a skewer” – will be completely truthful.

24.Chingachgook and his paleface brother, ensconced in the tower with a circular firing are repelling an attack of five French soldiers. Each of the heroes has 5 bullets in the carabiner, and as long as they can shoot, it is impossible to approach. The French have a large amount of ammunition. Moreover, their position in the rocks is comfortable enough, and the probability of picking off in any of them is 1/2. What is the probability that the French will be completely splintered?

25.Tom Sawyer stakes his dead rat on a string against a broken alarm clock of his fellow that in tossing 6 coins 3 heads will fall. Tom believes that the chances of getting or not getting results are equal. Is he right?

26.Gambler Smith throws 6 dices and wins, if at least one ane rolls. Gambler Jones throws 12 dices and wins if at least two anes fall. Who has more chances to win?

27.The student of gr. MM-10 Valdemar Pupkin managed to make 20 errors in a letter of 20 sentences. This ratio between the number of errors and the number of sentences is quite common for Valdemar and does not depend on the amount of work. How many sentences are there in Valdemar’s dictation, which contain two er-

rors? (Note: calculate the probability of two errors in any sentence on the assumption that the number of errors in the sentence satisfies

the Poisson law.)

28. What is the probability that Plyushkin, while treating Chichikov, brought him not a mouldy bread, if it is known that bakery products stored in Plyushkin’s pantry have 4 suspicious bluegreen stains on average.

1057

29.Симпатичная студентка Аделаида Уткина помогает профессору Аркадию Аристарховичу проводить важный научный эксперимент над крысами. Найти вероятность того, что хотя бы 10 крыс из 50 переживут Аделаидин эксперимент, если считается, что выживаемость несчастных зверьков равна 0,5.

30.В передовой научной лаборатории удалось скрестить картофель с ананасом. К сожалению, саженцы столь перспективного растения плохо приживаются – из 10 начинает плодоносить только одно. Студенты-биологи из ПГУ помогают выдающимся ученым в их выдающихся исследованиях. Ими высажено 400 удивительных растений. Найти вероятность того, что не меньше 100 из них будут в скором времени давать урожай.

31.При устройстве на работу выпускник гр. ММ-10 Вальдемар Пупкин выяснил, что в фирме, куда он хочет устроиться, работает 100 человек. При этом зарплата руководителей (4 чел.) – составляет 1000 у.е., квалифицированных сотрудников (16 чел.) – 500 у.е., дипломированных специалистов, недавно закончивших вузы (65 чел.) – 250 у.е., обслуживающего персонала (10 чел.) – 150 у.е., охраны (5 чел.) – 200 у.е. Найти математическое ожидание, моду, медиану, дисперсию и среднеквадратическое отклонение зарплаты на этой фирме. Какая из вышеперечисленных характеристик зарплаты должна интересовать Вальдемара (т.е. соответствовать его будущей зарплате) и почему? Что физически (в общем случае и в данном конкретном примере) определяет каждая из остальных вышеперечисленных характеристик?

1068

29.Adelaide Utkina, a pretty student, helps professor Arkady Aristarkhovich to conduct an important scientific experiment on rats. Find the probability that at least 10 of 50 rats will survive in Adelaida’s experiment, if it is considered that the survivance of the poor animals is 0.5.

30.In an advanced scientific laboratory they managed to cross a potato with a pineapple. Unfortunately, such a perspective plant’s seedlings take root poorly – only 1 from 10 begins to bear fruit. Biology students from PSU help the outstanding scientists in their outstanding studies. They have planted 400 amazing plants. Find the probability that at least 100 of them will soon give crop.

31.A graduate of gr.MM-10 Valdemar Pupkin is applying for a job. He has found out that 100 people work in the firm, where he wants to find employment. The salary of managers (4 pers.) is 1000 USD, qualified employees (16 pers.) earn 500 USD, graduates, who recently completed higher education (65 pers.) – 250 USD, service staff (10 people) – 150 USD, security (5 pers.) – 200 USD. Find the expectation, the mode, the median, the variance and the standard deviation of the salaries in this firm. Which of these characteristics should interest Valdemar (i.e. correspond to his future salary) and why? What does each of the other parameters listed above characterize physically (in general case and in this specific example)?

1079