Введение в комбинаторику и теорию вероятностей
..pdf
Expectation and variance:
M (X ) = |
a + b |
, |
D(X ) = |
(b − a)3 |
. |
|
12 |
||||
2 |
|
|
|
||
Exponential distribution
Exponential term a probability distribution of a continuous aleatory variable X, representing a latency period between two series realizations of event in the Poisson plan and which is featured by a denseness:
fX |
0, |
x < 0, |
|
(x) = |
x ≥ 0. |
(3.31) |
|
|
λ exp(−λx), |
|
The exponential distribution is determined in one parameter λ. This distribution frequently meets in problems of a reliability theory (λ – time between refusals of devices, λ – rate of failure).
Cumulative distribution function:
fX |
0, |
x < 0 |
|
(x) = |
x ≥ 0. |
(3.32) |
|
|
λ exp(−λx), |
|
|
|
813 |
|
|
Математическое ожидание и дисперсия:
M (X ) = |
1 |
, |
D(X ) = |
1 |
. |
λ |
|
||||
|
|
|
λ2 |
||
Нормальное распределение (распределение Гаусса)
Нормальным называется распределение случайной величины, которое полностью определяется двумя параметрами m и σ и описывается плотностью:
|
|
|
1 |
|
|
(x − m |
2 |
) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
f X |
(x) = |
|
|
− |
|
2 |
|
|
|
(3.33) |
||
2π |
exp |
2σ |
|
|
|
. |
||||||
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Введем обозначение
Ф(x) = |
2 |
x exp(−t2 )dt. |
(3.34) |
|
|||
|
2π 0 |
|
|
|
|
824 |
|
Expectation and variance:
M (X ) = |
1 |
, |
D(X ) = |
1 |
. |
λ |
|
||||
|
|
|
λ2 |
||
Normal distribution
Under normal distribution of an aleatory variable is termed distribution, which is determined in two parameters * and * and is featured by a denseness:
|
|
|
1 |
|
|
(x − m |
2 |
) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
f X |
(x) = |
|
2π |
exp |
− |
2σ |
2 |
|
|
|
. |
(3.33) |
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Let's enter a label
Ф(x) = |
2 |
x exp(−t2 )dt. |
(3.34) |
|
2π |
||||
|
0 |
|
||
|
|
|
||
|
835 |
|
|
Функция Ф(x) называется функцией Лапласа (интегра-
лом вероятностей).
Теперь 3-е свойство функции распределения (3.26) для случайной величины Х, подчиненной нормальному закону (т.е. вероятность ее попадания на отрезок [a,b]), можно определить через значения функции Лапласа:
P(a ≤ X ≤ b) = |
1 |
|
b − m |
− |
|||
2 |
Ф |
|
|
|
|||
|
2 |
||||||
|
|
σ |
|
|
|||
a − m |
|
||||
Ф |
|
|
. |
(3.35) |
|
σ |
2 |
||||
|
|
|
|||
Отметим, что таблицы значений функции Лапласа Ф(x)
приведены во всех учебных пособиях по теории вероятностей. Математическое ожидание и дисперсия при нормальном
распределении:
M (X ) = m. D(X ) = σ2.
3.5.УПРАЖНЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1.Какова вероятность того, что вторая карта, произвольно вытянутая из колоды (36 карт), побьет первую?
Ответ: 354 .
2. В мешочке содержится 10 одинаковых кубиков с номерами от 1 до 10. Наудачу извлекаются по одному три кубика. Найти вероятность того, что последовательно появятся кубики с номерами 1, 2, 3, если кубики извлекаются: а) без возвращения; б) с возвращением.
Ответ: а) 7201 ; б) 10001 .
3. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для 1-го – 0,7, для 2-го – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет только один из стрелков.
Ответ: 0,38.
846
Function Ф(x) is called the function of the Laplace (integral
of probabilities).
Now it is possible to determine a probability of a normal aleatory variable on a segment [a, b] according to 3-d property of a cumulative distribution function (formula (3.26)) it is possible to find the values of function of the Laplace:
|
1 |
|
b − m |
a − m |
||||||
P(a ≤ X ≤ b) = |
2 |
Ф |
|
|
|
− Ф |
|
|
. |
|
|
2 |
|
2 |
|||||||
|
|
σ |
|
σ |
|
|||||
Let's mark, that the table of values of a function Laplaces Ф(x) are given in all manuals on probability theory.
Expectation and variance at a normal distribution:
(3.35)
of the
M (X ) = m. D(X ) = σ2.
3.5.EXERCISES ON PROBABILITY THEORY
1.What probability that the second card arbitrary prolated from a pack (36 cards), will beat first?
The answer: 354 .
2. In a saccule is contained 10 identical cubes with the numbers from 1 up to 10. It is extracted three cubes one by one. Find the probability that sequentially will appear cubes with the numbers 1, 2, 3, if cubes are extracted: а) without returning; б) with returning.
The answer: a) 7201 ; b) 10001 .
3. Two hunters are shooting on the target. A probability to hit the target at one shoot for the 1-st – 0.7, for the 2-nd – 0.8. Find the probability that at one volley only one hunters will hit the target.
The answer: 0.38.
857
4. В одном городе вероятностьгрозы в любой деньв течение августа 0,25, а вероятность града– 0,1. Вероятность града во время грозы 0,3. а) являются ли независимыми события град и гроза? б) какова вероятностьградав тот день, когданет грозы?
Ответ: а) события зависимы; б) 301 .
5.Партия из 100 деталей подвергается выборочному контролю. Условием непригодности всей партии является наличие хотя бы одной бракованной детали среди пяти проверяемых. Какова вероятность для данной партии быть не принятой, если она содержит 5 % неисправных деталей?
Ответ: 0,77.
6.Появление события А равновозможно в любой момент времени Т. Вероятность того, что событие А за этот момент времени произойдет, равна р. За время t < T данное событие не произошло. Определить вероятность того, что событие А произойдет за оставшийся промежуток времени.
|
|
− |
t |
|
|
|
p 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: |
|
|
T |
. |
|
1− p |
t |
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|
||
T
7. Для выявления заболеваний легких обследовалось 10 000 человек в возрасте свыше 60 лет. Оказалось, что 4000 человек из этой группы являются постоянными курильщиками. У 1800 курильщиков обнаружили серьезные изменения в легких. Среди некурящих – у 1500 человек. Являются ли курение и нарушения в легких независимыми событиями?
Ответ: Эти события зависимы.
8.Имеются две партии изделий по 10 и 12 штук, причем
вкаждой партии одно изделие бракованное. Изделие, взятое наудачу из первой партии, переложено во вторую, после этого наудачу выбирается изделие из второй партии. Определить вероятность того, что при этом из 2-й партии будет извлечен брак.
86
4. In one city the probability of a thunderstorm per any day within August – 0.25, and probability of hailstones – 0.1. the probability of hailstones during a thunderstorm – 0.3. a) whether are independent the events hailstones and thunderstorm? b) what is the probability of hailstones at the day, when there is no a thunderstorm?
301 .
5.The batch of 100 details is subjected to random inspection. A requirement of unsuitability of all batch is the presence of one reject detail among five being checked out. What probability for the batch to be not adopted, if it contains of 5 % of faulty details?
The answer: 0.77.
6.The occurrence of event A is equally possible at any moment of time Т. Probability that the event A at this moment of time will happen is peer p. In time t < Т the the event has not taken place. Spot the probability that the event A will happen for the stayed time interval.
|
|
− |
t |
|
|
|
p 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
The answer: |
|
|
T |
. |
|
1− p |
t |
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|
||
T
7.For detection of light diseases 10000 men in the age of more than 60 years were surveyed. It has appeared, that 4000 men from this group are smokers. In 1800 smokers lights there have been found out severe changes.1500 men had the same among the nonsmoker. Are smoking and infringements in light independent events?
The answer: these events are dependent.
8.There are two batches of articles on 10 and 12 pieces, and in each batch one article is defective. Some article from the first batch is taken and is shifted to the second, after that some article from the second batch is picked. Spot the probability that from the 2-nd batch the reject will be extracted.
879
Ответ: 13213 .
9. Предположим, что в некоторой большой популяции мужчин и женщин поровну. В этой популяции 5 % мужчин и 2,5 % женщин страдают дальтонизмом. Случайным образом выбирают одного дальтоника. Какова вероятность того, что этот человек мужчина?
Ответ: 2029 .
10. Редкое заболевание встречается у 0,1 % населения и с трудом поддается диагностике. Один грубый тест на это заболевание дает положительный результат (есть заболевание) в 75 % случаев, если это заболевание у пациента есть, и в 25 % случаев, когда этого заболевания нет. Допустим тест дает положительный результат для случайно выбранного человека. Тогда тест проводят вторично и получают отрицательный результат. В предположении, что результаты тестов независимы, определить вероятность наличия заболевания.
Ответ: 0,001.
11. Трое охотников одновременно стреляют по вепрю. Вепрь убит одной пулей. Определить вероятность того, что вепрь убит каждым из охотников, если вероятность попадания соответственно 1 – 0,2, 2 – 0,4, 3 – 0,6.
Ответ: 1 → 293 ; 2 → 298 ; 3 → 1829 .
12. Вероятность попадания в мишень каждого из двух стрелков равна 0,3. Стрелки стреляют по очереди, причем каждый делает подвавыстрела. Попавшийвмишень первымполучаетприз. Найти вероятностьтого, чтопризстрелкиполучат.
Ответ: 1− (0 / 7)4 .
13. В коробке 5 одинаковых шаров, причем 3 из них окрашены. Наудачу извлекаются 2 шара. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных а) один окрашенный; б) два окрашенных; в) хотя бы один окрашенный.
8890
The answer: 13213 .
9. Let's suspect, that in some major population the amount of men and women are equal. In this population 5 % of men and 2.5 % of the women suffer by a daltonism. Let's pick some achromate from this population. What is the probability that this achromate is the man?
2029 .
10.The infrequent disease meets in 0.1 % of the population and arduously yields to diagnostic. One rough test for this disease gives a positive result (there is a disease) in 75 % of cases, if the patient really have this disease, and in 25 % of cases, when this disease is not present. Let us suspect that the test gives a positive result for the incidentally selected man. Then the test will spend for the second time and it gives us the negative result. In the guess, that the results of the tests are independent, spot the probability of presence of disease.
The answer: 0.001.
11.Three hunters shoot at the animal at the same time together. The animal is killed by one bullet. Spot the probability that the animal is killed by each of hunters, if a hit probability accordingly 1 – 0,2, 2 – 0,4, 3 – 0,6.
The answer: 1 → |
3 |
, 2 → |
8 |
, 3 → |
18 . |
|
29 |
29 |
|||||
|
|
|
29 |
12. 0.3. The shooters shoot by turns, and everyone makes two shoots. Hitted in the target first wins a prize. Find the probability that the shooters will receive a prize.
The answer: 1− (0 / 7)4 .
13. there are 5 identical balls in a box, and 3 of them are coloured. 2 balls are extracted. Find the probability that among two extracted balls a) one is coloured; b) two are coloured; c) even one is coloured.
8991
Ответ: а) 0,6; б) 0,3; в) 0,9.
14. На стеллаже в библиотеке в случайном порядке расставлено 15 учебников, 5 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 3. Найти вероятность того, что хотя бы один из них окажется в переплете.
Ответ: 6791.
15.Один раз бросают две игральные кости. Случайная величина S – сумма выпавших очков. Определить математическое ожидание и дисперсию S.
16.В урне 6 белых и 4 черных шара. Из урны вынимается шар 5 раз подряд, причем каждый раз он возвращается в урну. Случайная величина S – число извлеченных белых шаров. Определить математическое ожидание и дисперсию S.
Ответ: M (S) = 3; D(S) = 1,2.
17.Случайная величина Х задана функцией распреде-
ления
|
0, |
|
|
x < 1, |
||
|
|
|
− 1 |
|
||
|
x |
|
||||
FX |
(x) = |
|
|
|
|
, x [1, 3], |
|
2 |
|
||||
|
|
|
x > 1. |
|||
|
1, |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить вероятности попадания случайной величины Х в интервалы (1,5; 2,5) и (2,5; 3,5).
Ответ: 0,5; 0,25.
18. Стрелок делает по мишени 3 выстрела. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле 0,3. Построить закон распределения числа попаданий. (Воспользоваться формулой Бернулли.)
Ответ:
Х |
0 |
1 |
2 |
3 |
р |
0,343 |
0,441 |
0,189 |
0,027 |
902