Важнейшим свойством суммы конечного числа действительных чисел является переместительное свойство, которое означает, что от перестановки слагаемых сумма не меняется. Возникает вопрос, будет ли справедливо это свойство для бесконечной суммы, т.е. для ряда.

Теорема 11. Ряд, полученный из абсолютно сходящегося ряда путём любой перестановки членов, также абсолютно сходится и имеет ту же сумму, что и исходный ряд.

Теорема утверждает, что для всякого абсолютно сходящегося ряда справедливо переместительное свойство. При этом сумма ряда не зависит от порядка его членов.

Условно сходящиеся ряды таким свойством не обладают. В учебниках имеются примеры таких условно сходящихся рядов, сумма которых при некоторой перестановке членов меняется. Более того, имеет место следующая теорема Римана.

Теорема 12. Если ряд (47) сходится условно, то посредством перестановки его членов можно получить ряд, имеющий любую заранее заданную сумму, а также расходящийся ряд.

Доказательство двух последних теорем выходит за рамки данного учебного пособия. Читатель может обратиться к дополнительной литературе.

9Упражнения и вопросы для самопроверки

1.Выяснить, какие из следующих рядов являются рядами лейбницевского типа:

64

3. Найти, сколько членов соответствующего ряда надо оставить в его частичной сумме, чтобы сума ряда была вычислена с указанной точностью :

4. Выясните, какие из данных знакопеременных рядов сходятся абсолютно, какие условно, какие расходятся:

65

5.Какой ряд называется знакопеременным?

6.Какие ряды называются знакочередующимися рядами?

7.Является ли знакочередующийся ряд знакопеременным рядом?

8.Будет ли любой знакопеременный ряд знакочередующимся?

9.Может ли быть знакопеременный ряд знакочередующимся?

11.Какие ряды называют рядами лейбницевского типа?

12.Что можно сказать о знакочередующемся ряде, общий член которого не стремится к нулю?

13.Может ли сходиться знакочередующийся ряд, модули членов которого не убывают?

14.К какому из перечисленных признаков 1) необходимый, 2) достаточный, 3) необходимый и достаточный относится признак Лейбница?

15.Что можно сказать о суммах рядов лейбницевского типа?

16.Как можно узнать знак суммы ряда лейбницевского типа?

17.Как оценивается сумма любого ряда лейбницевского типа?

18.Какому неравенству удовлетворяет сумма остатка ряда лейбницевского типа?

19.Как оценить ошибку при приближённом вычислении суммы ряда лейбницевского типа с помощью его частичной суммы?

20.Как можно узнать знак суммы остатка ряда лейбницевского типа?

21.Как установить, сколько членов нужно сохранить в частичной сумме ряда Лейбница, чтобы его сумма была вычислена с заданной точностью?

22.Сумма ряда Лейбница вычислена приближённо с помощью некоторой его частичной суммы. Как узнать, вычислена она с недостатком или

сизбытком?

23.Существуют ли сходящиеся знакочередующиеся ряды, не являющиеся рядами лейбницевского типа?

66

24.Какой знакопеременный ряд называется условно сходящимся рядом и, какой – абсолютно сходящимся?

25.В чём состоит различие между сходимостью некоторого ряда и абсолютной сходимостью?

26.Может ли расходиться ряд, составленный из модулей членов сходящегося знакопеременного ряда?

27.Как формулируется теорема об абсолютной сходимости ряда?

28.Верно ли утверждение: абсолютно сходящийся знакопеременный ряд сходится?

29.Какими методами можно исследовать знакопеременный ряд на абсолютную сходимость?

30.Как можно найти сумму сходящегося знакопеременного ряда?

31.При каких обобщенный гармонический ряд является условно сходящимся рядом и при каких – абсолютно сходящимся?

32.Изменится ли сумма условно сходящегося ряда, если в нём поменять местами конечное число членов?

33.Для каких рядов справедливо переместительное свойство?

34.Изменится ли сумма условно сходящегося ряда, если в нем поменять местами бесконечное число членов?

35.Если в абсолютно сходящемся ряде у всех членов изменить знаки на противоположные, то нарушится ли при этом абсолютная сходимость?

36.В чём состоит теорема Римана?

37.Можно ли из условно сходящегося ряда путём перестановки его членов получить расходящийся ряд?

67