Предположим противное, т.е. что гармонический ряд сходится. Тогда

Получили противоречие. Следовательно, предположение о сходимости гармонического ряда неверно, т.е. гармонический ряд расходится.

Ряд вида

где – любое вещественное число, называется обобщённым гармониче-

3 Необходимый признак сходимости ряда

Выясним, есть ли что-нибудь общее у сходящихся рядов, заданных своим общим членом. Оказывается, что общий член сходящегося ряда с возрастанием номера n стремится к нулю.

Теорема 1. Если ряд (6) сходится, то

14

что и требовалось доказать.

Обратная теорема к теореме 1, вообще говоря, неверна. Условие (14) есть лишь необходимое условие сходимости ряда, но не является достаточным. Из того, что выполняется (14), не следует, что ряд сходится. При выполнении условия (14) ряд может как сходиться, так и расходиться.

У сходящихся рядов, рассмотренных ранее, необходимое условие их сходимости было выполнено.

С другой стороны, если условие (14) не выполнено ( lim un 0 или

n

этот предел не существует), то ряд расходится.

К расходящимся рядам относятся, например, ряды со следующими

15

из которого следует, что Sn увеличивается до бесконечности вместе с увеличением номера n . Согласно определению 3 данный ряд расходится, хотя необходимое условие сходимости выполнено.

4 Основные свойства сходящихся рядов

Понятие суммы ряда (бесконечного числа слагаемых) существенно отличается от понятия суммы конечного числа слагаемых, так как основано ещё и на предельном переходе. Сумма ряда (число S ) не есть сумма всех его членов, а есть предел его частичных сумм. Однако некоторые свойства конечных сумм переносятся и на бесконечные суммы (ряды), но чаще всего лишь при выполнении определённых условий. В некоторых же случаях известные свойства конечных сумм нарушаются. В связи с этим рассмотрим в данном пункте некоторые свойства рядов.

16

Свойство 1. Сходящийся ряд не может иметь две различные суммы (сумма S сходящегося ряда единственна).

Это следует из того, что последовательность Sn частичных сумм сходящегося ряда имеет пределом единственное число S (теорема о единственности предела сходящейся последовательности).

Свойство 1 напоминает нам свойство конечной суммы: сумма конечного числа слагаемых единственна.

ное число, также сходится и его сумма равна c S .

вынесения постоянного общего множителя c за скобку, как в конечных суммах.

17

почленного сложения (вычитания) соответствующих членов исходных ря-

Пользуясь теоремами о пределах (предельным переходом в равенствах и пределом суммы), получаем

S1 S2 соответственно.

Свойство 3 означает, что сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать так же, как это делается с конечными суммами.

Легко доказать, что сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов является расходящимся рядом. Заметим, что с почленным сложением расходящихся рядов надо соблюдать осторожность. Сумма (разность) двух расходящихся рядов может быть как сходящимся, так и расходящим-

мирования членов исходных рядов, также расходится.

18

ного ряда. Из теории пределов известно, что всякая подпоследовательность сходящей последовательности имеет тот же предел, что и сама последовательность. Следовательно, свойство доказано.

Полной аналогии с обычными конечными суммами ряды не имеют. Опускать скобки (если они есть) в членах сходящихся рядов, не нарушая сходимости ряда, нельзя. Так, например, ряд

(1 1) (1 1) (1 1) ,

сумма которого равна нулю, обращается после опускания скобок в расходящийся ряд

1 1 1 1

(см. пример 7, а также пункт 3). С другой стороны, после группировки членов расходящегося ряда может получиться сходящийся ряд. Например, группируя члены расходящегося ряда

по два, получим ряд

(1 1) (1 1) (1 1)

из нулей, который сходится.

Рассмотрим ещё несколько свойств сходящихся рядов.

Определение 4. Ряд, который получается из ряда (6) путём отбрасывания у него некоторого числа первых по порядку членов, называется остатком этого ряда. Остаток

uk un 1 un 2 un k (15) k n 1

называется n-м остатком или остатком ряда (6) после n-го члена.

Свойство 5. Если сходится ряд (6), то сходится любой из его остатков; обратно, из сходимости любого остатка (15) вытекает сходимость исходного ряда.

Доказательство. 1. Пусть ряд (6) сходится и имеет сумму S . Докажем, что остаток (15) при любом n сходится. Частичную сумму первых n m членов рядов (6) можно записать в виде

20

ряд (15) сходится. Кроме того, после перехода в формуле (16) к пределу

рованном номере n остаётся постоянной. Следовательно, существует предел величины Sn m при m ; ряд (6) сходится. При этом для его суммы верно равенство

получающееся из (18) путём предельного перехода. Заметим, что последнее равенство равносильно полученному ранее равенству (17). Свойство доказано.

Замечание 2. Равенство (19) означает, что сумма всякого сходящегося ряда может быть получена сложением какой-либо частичной суммы этого ряда и суммы соответствующего остатка.

Замечание 3. Из равенства (18) следует, что если ряд расходится, то расходится его остаток и, наоборот, если расходится остаток, то расходится и ряд.

21