6 Положительные ряды

Определение 5. Числовой ряд, все члены которого неотрицательны,

Такие ряды точнее было бы называть рядами с неотрицательными членами. В данном параграфе будем заниматься установлением сходимости или расходимости подобных рядов. Их изучение облегчит и изучение рядов любого знака. В частности, ряды с неположительными членами ( un 0 ) путём умножения на 1 переходят в ряды с неотрицательными членами и, следовательно, можно будет сделать выводы и об их сходимости.

Сейчас будет приведён критерий (необходимый и достаточный при-

знак) сходимости положительных рядов. Он основан на определении 3 и

свойствах сходящихся последовательностей.

Теорема 2. Для того чтобы положительный ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы его частичные суммы Sn были ограничены сверху.

Доказательство. 1. Необходимость признака. Если ряд сходится, то

существует конечный предел S lim Sn (см. определение 3). Всякая же

n

сходящаяся последовательность Sn ограничена (это есть теорема из теории пределов последовательностей). Необходимость установлена. Заметим, что ограниченность снизу частичных сумм Sn очевидна; в силу (21)

имеем, что Sn 0 .

2. Достаточность признака. Дано, что частичные суммы положитель-

т.е. последовательность Sn частичных сумм положительного ряда есть неубывающая последовательность. В теории монотонных последовательностей имеется утверждение: всякая неубывающая ограниченная сверху по-

28

следовательность сходится, т.е. существует конечный предел последовательности Sn . Согласно определению 3 ряд является сходящимся. Достаточность установлена.

Замечание 5. Так как всякая сходящаяся последовательность ограничена, то у всякого сходящегося ряда (6) последовательность Sn его частичных сумм (в силу определения 3) будет ограниченной. Это условие, также являющееся необходимым условием сходимости любого ряда, не является достаточным (оно достаточно только для положительных рядов).

Замечание 6 и теорема 2 приводят к выводу: положительный ряд всегда имеет сумму; эта сумма будет конечной, если частичные суммы ряда ограничены сверху, и бесконечной S в противном случае.

Приведённый критерий мало удобен при исследовании на сходимость конкретных положительных рядов, так как трудно устанавливать ограниченность сверху последовательности частичных сумм. Однако он будет применён в дальнейших теоретических рассуждениях. На его основе будут выведены некоторые достаточные условия (признаки) сходимости. К ним, прежде всего, относятся так называемые признаки сравнения.

29

Тогда из сходимости ряда (23) следует сходимость ряда (22) (то есть, если сходится ряд с большими членами, то сходится и ряд с меньшими членами); из расходимости ряда (22) следует расходимость ряда (23) (то есть, если расходится ряд с меньшими членами, то ряд с большими членами также расходится).

Доказательство. Обозначим частичные суммы рядов (22) и (23), со-

ответственно, через Sn(1) и Sn(2) . Из определения 2 n -й частичной суммы ряда и неравенства (24) следует неравенство

Sn(1) Sn(2) .

Пусть ряд (23) сходится; тогда по теореме 2 его частичные суммы ограни-

чены сверху: Sn(2) M (необходимое условие). В силу предыдущего нера-

венства получим, что и Sn(1) M , откуда снова по теореме 2 (достаточное условие) следует сходимость ряда (22).

Вторая часть утверждения этой теоремы есть следствие первой. В самом деле, если бы ряд (23) сходился, то согласно первому утверждению сходился бы и ряд (22), что противоречит предположению о его расходи-

мости. Это же утверждение вытекает и из неравенства Sn(1) Sn(2) (более детальное рассуждение предоставляем читателю).

Замечание 7. Так как отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость (см. свойство 5 и замечание 4), то утверждение теоремы 3 остаётся верным при условии, что неравенство (24) выполнено не для всех номеров n , а лишь начиная с некоторого номера N .

При решении конкретных примеров с помощью теоремы 3 надо проводить сравнение с рядами, о сходимости (расходимости) которых уже известно. Например, можно сравнивать исследуемый ряд с гармоническим рядом (12) или с каким-нибудь положительным геометрическим рядом

(10).

1

Пример 14. Исследуем на сходимость ряд n 1 2 3n .

30

пункте 3 на основании определения 3). Сравним его с гармоническим рядом (12), расходимость которого установлена в пункте 2. Так как при всех

го ряда) и гармонический ряд расходится, то по теореме 3 расходится и данный ряд.

Пример 16. Исследуем ещё раз обобщённый гармонический ряд (13) при 1 с помощью данного признака сравнения (при таких этот ряд уже изучен в пункте 3).

Поскольку при 1 для любого номера n справедливо неравенство

1 1 n n

и так как гармонический ряд расходится, то теорема 3 позволяет утверждать расходимость ряда (13) для всех 1.

31

вым членом, равным единице, и поэтому сходится. Данный ряд есть част-

Иногда более удобно применять другой признак, который можно назвать предельным признаком сравнения.

Теорема 4. Пусть ряд (22) – положительный, а ряд (23) строго поло-

сколь угодно малым. Неравенства (26) позволяют применять теорему 3 (первый признак сравнения). Именно, будем сравнивать положительные ряды с членами K vn , un , K vn .

32

гармонический, расходится.

К рассмотренным признакам сравнения близки часто используемые признаки Даламбера и Коши в непредельной и предельной формах. Они основаны на сравнении рассматриваемого положительного ряда со сходящимся геометрическим рядом

34

Неравенство (28) равносильно неравенству un 1 un , т.е. члены строго положительного ряда не убывают, а потому не могут стремиться к нулю (нарушено необходимое условие сходимости (14)). Ряд расходится.

но, как доказано ранее, гармонический ряд (12) расходится (см. пункт 2). Обычно чаще применяется другая (предельная) форма этого

признака.

Теорема 6 (предельный признак Даламбера). Пусть в случае стро-

го положительного ряда существует предел

Тогда

1)при D 1 ряд сходится;

2)при D 1 ряд расходится;

3)при D 1 ряд может как сходиться , так и расходиться (признак ответа не даёт).

Доказательство. Условие (29) по определению предела последовательности означает следующее: для любого 0 найдётся такой номер N , что для всех n N будут выполнены неравенства

теореме (см. (27)). Действительно, в этом случае в силу произвольности

шее чем 1 D ). Следовательно, по теореме 5 ряд сходится.

35

расходится.

Покажем, что при D 1 ряд может как сходиться, так и расходиться. Приведём по этому случаю примеры. Так, для гармонического ряда

Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ря-

да содержит выражения видов an , n! 12 3 n .

36

Тогда ряд сходится. Если же для всех n или, по крайней мере, с некоторого номера справедливо неравенство

un qn , а (31) – неравенству un 1. Сравнение надо проводить со сходя-

(теорема 3). Если эти неравенства выполняются только начиная с некоторого номера, то надо воспользоваться замечанием 7. В случае (31), равносильном неравенству un 1, расходимость ряда (22) следует и из того, что нарушено необходимое условие сходимости (14). Теорема доказана.

расходится.

При решении примеров, как и в случае признака Даламбера, обычно применяют другую (предельную) форму признака.

37

Теорема 8 (предельный, или радикальный признак Коши). Пусть для положительного ряда (22) существует предел

Тогда

1)при K 1 ряд сходится;

2)при K 1 ряд расходится;

3)при K 1 возможны как сходимость, так и расходимость ряда. Доказательство. На основании определения предела последователь-

ности условие (32) означает следующее: для любого 0 найдётся такой номер N , что для всех n N будут выполнены неравенства

K nun K .

Далее доказательство такое же, как и в случае доказательства теоремы 6 – предельного признака Даламбера. При K 1 или K 1 выводы следуют из теоремы 7. То, что в случае K 1 признак не даёт возможности судить о поведении ряда, можно проверить на тех же двух примерах (гармонического ряда и обобщённого гармонического ряда с 2 ), указанных при изучении предельного признака Даламбера. Для этого надо установить, что

Вычислим только первый из этих пределов, так как второй получится из первого на основании равенства

38

то данный ряд расходится.

Сделаем несколько замечаний по поводу признаков Даламбера и

сходимости ряда (проверьте это на примерах 24 и 26). Но иногда проще

можно установить, что для всех n выполняется неравенство nn n!. Тогда

39

намного быстрее можно получить с помощью предельного признака Даламбера. Действительно