Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Хабаровский государственный университет экономики и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5510.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2022

Размер:

1.67 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Замечание 4. Свойство 5 можно сформулировать иными словами: отбрасывание конечного числа первых членов ряда или добавление в начале ряда нескольких новых членов не влияет на поведение ряда в смысле его сходимости (расходимости). Конечно, добавление или отбрасывание

членов ряда влияет на сумму ряда.
	Свойство 6. Для того чтобы ряд (6) сходился, необходимо и доста-
точно, чтобы при n			остаток (15) стремился к нулю, т.е. чтобы выпол-
нялось условие
			lim rn 0 .			(20)
			n
	Доказательство. Если ряд (6) сходится, то				lim Sn	S . Переходя к
				n
пределу в равенстве (17), получим lim rn				lim	S Sn	S lim Sn
			n	n		n
S	S 0. Необходимость условия (20) установлена.
	Теперь	пусть	выполнено условие	(20).	Тогда	согласно (17)
lim	S Sn	0 . Это значит, что величина S		Sn	бесконечно мала и, сле-
n
довательно,		lim Sn	S . Согласно определению 3 ряд (6) сходится.
	n

5Упражнения и вопросы для самопроверки

1.По данным первым членам ряда найти одну из возможных формул общего члена каждого из следующих рядов:

1.1)	1		1		1			1		;
1.1)	3	5		7			9			;
	3	5		7			9
1.3) 1		1		1			1		1	;

		2		4			8		16
		2		4			8		16
1.5)	1		3			5		7		;
1.5)	2	4		6			8			;
	2	4		6			8

1.7)	1	1	1	1	;
		2	3	4

1.2)	2			22			23			24			;
1.2)	2		1 2			1 2		3	1 2		3	4	;
			1 2			1 2		3	1 2		3	4
1.4)	1		1		1		1	1			;

			4		9		16	25
			4		9		16	25
1.6)	1				1			1			;

	2				2	3	3	4
	2				2	3	3	4
1.8)		1			1	1		.
1.8)	2!		4!			6!		.
	2!		4!			6!

2. Написать первые пять членов нижеприведённых рядов:

			n										2	3		n
2.1)			n		;						2.2)						;


	n	1 n		1								n	1	3n
	n	1 n		1								n	1	3n
2.3)			n			;					2.4)			1						;

	n	1 n2			1							n	1 n	ln n 1
2.5)			n!	;							2.6)			1 n			1	.
		1 n2

	n											n	1		n
		3. Найти частичную сумму S4 рядов:
3.1)		3				;		3.2)		n	;					3.3)				1			;

	n	1 2n			1				n 1 2n										n	1 n n		1
3.4)			1 n n 2				;	3.5)		1	;					3.6)					1 n	1		.
									n 1 2n													1
	n 1 3n2					1													n 1 n2
	n 1 3n2					1													n 1 n2

4. На основании определения суммы ряда вычислить сумму каждого из следующих рядов:

4.1)			1		;	4.2)				1			;

	n	1 n n		3			n	1 n	2		n	3
4.3)			1		;	4.4)			2n		1	;

	n	1 4n2		1			n 1 n2 n				3 2
4.5)		1	;			4.6)		1		;

	n	1 2n					n 1 3n		1
			1	n	1				3	n	1
4.7)					;	4.8)					.
4.7)	n	1	2		;	4.8)	n	1	5		.
			2						5

5. На основании определения 3 доказать расходимость следующих рядов:

5.1)		2n ;				5.2)		2n		1;
	n	1					n	1
5.3)			1 n ;			5.4)		1		1 n	;
	n	1					n	1
5.5)		2 3n 1 ;				5.6)		5	2n ;
	n	1					n	1
5.7)			1		;	5.8)				1			.


	n	1	n 1	n			n	1	n	2		n

6. С помощью формулы для нахождения суммы сходящегося геометрического ряда и на основании свойств рядов представить в виде обыкновенной дроби следующие бесконечные десятичные периодические дроби:

6.1)	0, 5 ;				6.2)	0,5 7		;			6.3)	3, 27 ;
6.4) 15,2 3 ;					6.5) 10,24 13 ;						6.6)	25,4 135 .
		7. Найти точные значения выражений:
7.1)		0, 3	;		7.2)		0,1 2	;			7.3)		24,2 5	;
7.1)	0, 5		;		7.2)	0,4 5		;			7.3)	12,1 3		;
	0, 5					0,4 5						12,1 3
7.4)		0,1 2	0,4 5	;	7.5)		2,3 4		3,2 1	.
7.4)	0,2 3		0,3 4	;	7.5)	4,2 3			2,2 1	.
	0,2 3		0,3 4			4,2 3			2,2 1

8. Проверить, выполняется ли необходимое условие сходимости, и указать, какие из рядов заведомо расходятся:

8.1)		1					;							8.2)	1			;	8.3)	ln n	;
8.1)							;							8.2)				;	8.3)		;
n 1 n n														n 1 n 2			n		n 1	n
8.4)		1			;									8.5)		1 n	n ;		8.6)	n	2	;
8.4)	1 n n				;									8.5)		1 n	n ;		8.6)	n3		;
n	1 n n													n	1				n 1	n3
8.7)			1 n ;											8.8)		n	;		8.9)	1			;
8.7)			1 n ;											8.8)			;		8.9)				;
n 1														n 1 n 1					n 1 2n		1
8.10)	1		3						5			7		;
8.10)	2	2		2		2				3		2	4	;
	2			2						3			4

8.11) 1		2				3				4			;

		3				5				7
		3				5				7
8.12)	2		4					6			8			.
8.12)	1!	2!				3!				4!				.
	1!	2!				3!				4!

9. Найти суммы следующих рядов на основании их свойств:

			2n			3n
9.1)							;
9.1)	n	1		5n			;
	n	1		5n
9.3)		1	1			1		1		1

		2	3			4		9		8
		2	3			4		9		8
9.4)	1		1			1		1	1	1

						2		3	4	9
						2		3	4	9
9.5) 1		2			3	1		1	1	1

						2		4	8	16
						2		4	8	16

9.2)	1	2n	;
	n 1	4n

1	;

27
27
1	1	;

8	27
8	27


	10.		Докажите, что ряды с общими членами un			n 2	n 1 и
					un vn сходится.
vn		n	1	n расходятся, а ряд	un vn сходится.

11.Что называется числовым рядом? Как записываются числовые

ряды?

12.Что называется частичной суммой числового ряда?

13.Что называется суммой ряда?

14.Какой ряд называется сходящимся?

15.Каким равенством связана n -я частичная сумма сходящегося ряда с суммой ряда?

16.Какой ряд называется расходящимся?

17. Что означает запись un

18.Какой ряд называется геометрическим?

19.При каком знаменателе q сходится ряд, составленный из геомет-

рической прогрессии с общим членом a qn 1 ?

20. Запишите формулу для суммы сходящегося геометрического

ряда.

21.Когда геометрический ряд расходится?

22.Какой ряд называется гармоническим? Сходится ли гармонический ряд?

23.Какой ряд называется обобщённым гармоническим рядом?

24.Назовите необходимые признаки сходимости ряда.

25.Укажите, какие из следующих утверждений являются верными:

1)если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю;

2)если общий член ряда стремится к нулю, то ряд сходится;

3)если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится;

4)если ряд расходится, то его общий член не стремится к нулю;

5)если ряд расходится, то его общий член может стремиться к нулю;

6)если ряд расходится, то его общий член может не стремиться к нулю;

7)если общий член ряда стремится к нулю, то ряд может как сходиться , так и расходиться.

26.Стремится ли к нулю общий член гармонического ряда?

27.При каких обобщённый гармонический ряд заведомо расходится?

28.Единственна ли сумма сходящегося ряда?

29.Как определяется произведение ряда на число?

30.Может ли сходиться произведение расходящегося ряда на число?

31.Как определяются сумма и разность рядов? Какие утверждения можно сформулировать для суммы и разности двух рядов?

32.Можно ли из двух расходящихся рядов составить ряд (сумму), который бы сходился?

33.В чём состоит свойство сочетательности (ассоциативности) сходящегося ряда?

34.Можно ли объединением членов расходящегося ряда добиться, чтобы новый ряд сходился?

35.Пусть в членах сходящегося ряда имеются скобки. Всегда ли можно их опустить, не нарушая сходимости ряда?

36.Что называется остатком ряда?

37.Какова связь между сходимостью ряда и сходимостью его

остатка?

38.К чему стремится остаток сходящегося ряда?

39.Что можно сказать о ряде, остаток которого стремится к нулю?

40.Как сумма остатка сходящегося ряда связана с суммой ряда и его n -й частичной суммой?

41.Может ли сходиться остаток расходящегося ряда?

42.Может ли сходиться ряд, остаток которого расходится?

43.Пусть некоторый ряд сходится; отбросим у него несколько первых членов или добавим несколько членов к первому члену. Будут ли сходиться новые ряды? Что можно сказать об их суммах?

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.20221.64 Mб15505.pdf
#
13.11.20221.65 Mб175506.pdf
#
13.11.20221.66 Mб45507.pdf
#
13.11.20221.66 Mб25508.pdf
#
13.11.20221.66 Mб125509.pdf
#
13.11.20221.67 Mб55510.pdf
#
13.11.20221.67 Mб25511.pdf
#
13.11.20221.67 Mб15512.pdf
#
13.11.20221.67 Mб35513.pdf
#
13.11.20221.68 Mб15514.pdf
#
13.11.20221.68 Mб205515.pdf