25.Для каких рядов можно применять признак Маклорена – Коши?

26.Какого типа интегралы используются в интегральном признаке?

27.Укажите те , при которых обобщённый гармонический ряд сходится, и те , при которых он расходится.

8 Знакопеременные ряды

Определение 6. Числовой ряд, содержащий бесконечное количество как положительных, так и отрицательных членов, расположенных в совершенно произвольном порядке, называется знакопеременным.

Частным случаем знакопеременных рядов являются знакочередующиеся ряды, к изучению которых сначала и приступим.

Определение 7. Знакочередующимся называется ряд, любые два соседних члена которого являются числами противоположных знаков.

Последнее определение означает, что любой знакочередующийся ряд может быть записан в одном из следующих видов:

где все un 0 .

Для таких рядов Лейбницем был установлен очень простой достаточный признак их сходимости. Сформулируем и докажем его для ряда (40).

Теорема 9 (признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда (40) монотонно убывают по абсолютной величине ( un 1 un для всех n ) и стремятся к нулю ( un 0 при n ), то ряд сходится.

51

Доказательство. Согласно определению 3 нужно доказать, что

ках этой суммы положительны. Следовательно, сама эта сумма положительна S2m 0 . С возрастанием номера m эта сумма увеличится, т.к. добавится ещё одно положительное слагаемое. Теперь эту сумму запишем так:

S2m u1 u2 u3 u4 u5 u2m 2 u2m 1 u2m .

В этой записи все выражения в скобках положительны и u2m 0 . Таким

частичных сумм ряда возрастает и ограничена сверху. По признаку существования предела монотонной последовательности она имеет конечный предел, который обозначим S :

52

Ряд (41) получается из ряда (40) умножением его на 1 . Тогда при

также сходится.

Знакочередующиеся ряды (40) и (41) при выполнении двух условий

лейбницевского типа. Как только что было установлено, любой ряд лейбницевского типа сходится.

ляется рядом лейбницевского типа и, следовательно, сходится. Знакочере-

Замечание 15. Ни одно из условий признака Лейбница нельзя отбро-

сить. Если lim un 0 , то общие члены рядов (40) и (41) не будут стре-

n

миться к нулю. Будет нарушено необходимое условие сходимости числового ряда (см. пункт 3); такой ряд будет расходиться. Нельзя отбросить и условие монотонности ( un 1 un для всех n ). Действительно, рассмотрим знакочередующийся ряд

было установлено, что последовательность S2m чётных частичных сумм,

возрастая, приближается к сумме S этого ряда. Последовательность S2m 1 нечётных частичных сумм, убывая, будет сходиться к S . Действительно,

S1 u1, S3 u1 u2 u3 , S5 u1 u2 u3 u4 u5 , … и так как каж-

53

Неравенства (42) означают следующее: если ряд (40) есть ряд лейбницевского типа, то чётные частичные суммы S2m являются приближениями к сумме S ряда с недостатком, а нечётные суммы S2m 1 – с избытком. Это свойство проиллюстрировано ниже на рисунке для первого ряда из примера 31.

На рисунке изображены только шесть первых частичных сумм этого ряда;

ные – возрастая. Доказательство этого факта рекомендуем провести читателю, а геометрическую иллюстрацию сделать для второго ряда из примера 31 (см. замечание 16).

Замечание 19. Если ряд (41) лейбницевского типа, то его сумма от-

где u1 – модуль первого члена соответствующего ряда (см. определение 7). Неравенство (45) следует из неравенств (43) и (44).

54

Всё сказанное можно выразить иначе: сумма любого ряда лейбницевского типа имеет тот же знак, что и первый член ряда, а по абсолютной величине меньше его модуля.

Это свойство таких рядов позволяет достаточно просто вычислять приближённо их суммы с помощью приближения частичными суммами (напомним, что сумма ряда есть предел частичной суммы). Значение S будет найдено таким образом тем точнее, чем больше номер частичной суммы Sn . При этом с помощью неравенства (45) можно дать и оценку точности (погрешности) такого приближённого вычисления. Поясним сказанное более подробно.

В силу равенства (17) абсолютная величина получаемой при этом погрешности S Sn равна rn , где rn – сумма остатка ряда после n -го члена. Остаток же ряда лейбницевского типа имеет один из следующих видов:

un 1 un 2 ,

т.е. является знакочередующимся рядом Лейбница вида (40) или (41). Знак первого члена остатка зависит от того, будет номер n чётным или нечётным. В случае ряда (40) при чётном n знак остатка будет положительным, а при нечётном – отрицательным (для ряда (41) – наоборот). Так как к остатку применимо замечание 20, то для суммы остатка имеет место неравенство

Последнее неравенство позволяет оценить ошибку приближённого равенства S Sn .

Сказанное можно сформулировать так: ошибка, совершаемая при замене суммы S ряда Лейбница некоторой его частичной суммой Sn , имеет тот же знак, что и первый отброшенный член, а по абсолютной величине меньше его модуля (знак поправки вычисления совпадает со знаком этого члена).

Замечания 16 и 18 позволяют выяснить, будет ли при этом сумма вычислена с избытком или с недостатком.

55

Пример 32. Рассмотрим первый из примера 31 сходящийся знакочередующийся ряд лейбницевского типа. Его n -я частичная сумма

малой погрешности при отбрасывании остатка ряда номер n должен быть большим). Возьмём теперь конкретные чётные и нечётные номера n .

56

Часто задают точность , с которой нужно приближённо вычислить сумму ряда лейбницевского типа. Тогда нужно найти, сколько должно быть членов ряда в его частичной сумме Sn . В силу (46) это число нахо-

вить в частичной сумме, чтобы сумма ряда была вычислена с точностью до 0,01. Очевидно, что этот ряд сходится, т.к. является рядом лейбницевского

вычисления суммы ряда с точностью до 0,01 достаточно ограничиться суммой первых четырёх его членов, т.е. вычислить S4 . Решение примера завершено. Отметим ещё следующее: погрешность при этом будет поло-

57

Не следует думать, что сходятся только знакочередующиеся ряды лейбницевского типа. Примером сходящегося знакочередующегося ряда, не являющегося рядом Лейбница, является ряд

(его сходимость будет установлена в дальнейшем, см. пример 36).

До сих пор изучался частный случай знакопеременного ряда – знакочередующийся ряд. Перейдём теперь к изучению произвольных знакопеременных рядов.

Пусть

есть произвольный знакопеременный ряд (см. определение 6). В отличие от рассмотренных знакочередующихся рядов символом un снова обозначается n -й член ряда, а не его абсолютная величина. Одновременно с рядом (47) рассмотрим положительный ряд

составленный из модулей членов ряда (47).

Теорема 10 (теорема Коши). Из сходимости ряда (48) следует сходимость ряда (47).

Доказательство. Рассмотрим в отдельности положительные члены ряда (47) и абсолютные величины его отрицательных членов, при этом для них введём обозначения bk и cm . Перенумеруем bk и cm в том порядке, в котором они встречаются в ряде (47). Теперь составим два положительных

58

Через Sn и Sn обозначим, соответственно, частичные суммы рядов (47) и

(48). Через Bk и Cm обозначим те частичные суммы рядов (49) и (50), ин-

(50) сходятся (отметим, что S

Перейдём теперь к пределу в равенстве (51). Только что было установлено существование конечных пределов величин, стоящих справа. Сле-

Эта теорема даёт возможность судить о сходимости некоторых знакопеременных рядов. В этих случаях вопрос о сходимости знакопеременного ряда сведётся к исследованию соответствующего положительного ряда. Для положительных рядов имеется ряд признаков их сходимости, изу-

где x – любое число. Наряду с этим рядом рассмотрим следующий ряд из

59

ся и исходный ряд.

При доказательстве теоремы 10 было установлено полезное утверждение (53): при условии сходимости ряда (48) сумма знакопеременного ряда (47) равна разности между суммой ряда (49), составленного из одних положительных членов данного ряда, и суммой ряда (50), составленного из абсолютных величин отрицательных членов ряда (47).

Пример 36. Исследуем упоминавшийся ранее ряд

который не является рядом Лейбница. Из модулей его членов составим положительный ряд

который можно рассматривать как сумму двух следующих рядов:

Это утверждение основано на переместительном свойстве сходящихся рядов (читателю рекомендуем обратиться к дополнительной литературе, т.к. в данном пособии это свойство положительных рядов не изучалось). Свойство означает, что в положительных сходящихся рядах можно менять местами члены и это не влияет ни на сходимость ряда, ни на величину его суммы. Последние два ряда являются геометрическими (см. пункт 2). Оба ряда сходятся, а их суммы вычисляются по формуле (11). Для первого ряда:

для второго ряда:

60

Тогда на основании свойства 3 ряд (55) сходится (при этом его сумма рав-

на 2 19 ). Согласно теореме 10 будет сходиться и ряд (54). Из равенства (53)

находится его сумма:

знаку Лейбница сходится (см. пример 31), в то время как ряд из модулей

ранее, расходится (см. пункт 2 и пример 28).

Таким образом, признак Коши есть достаточный признак сходимости знакопеременного ряда, но не необходимый. Это значит, что существуют такие знакопеременные ряды, которые сходятся, а ряды, составленные из модулей их членов, расходятся. Только что и был приведён пример такого ряда. В связи с этим для знакопеременных рядов вводятся понятия условной и абсолютной сходимости.

Определение 8. Если сходится не только данный знакопеременный ряд (47), но и ряд (48) из модулей членов исходного ряда, то ряд (47) называется абсолютно сходящимся. Если же сам ряд (47) сходится, а ряд (48) расходится, то знакопеременный ряд (47) называется условно или неабсо-

лютно сходящимся рядом.

Замечание 21. С помощью понятия абсолютной сходимости теорему 10 (признак Коши) можно сформулировать следующим образом: всякий абсолютно сходящийся знакопеременный ряд есть ряд сходящийся.

Абсолютно сходящимися рядами являются знакопеременные ряды из примеров 35 и 36.

61

ный из модулей членов исходного ряда (56), представляет собой обобщен-

щий ряд (48) строго положителен ( un 0 для всех n ). Для таких знакопе-

ременных рядов справедлив аналог предельного признака Даламбера. Именно: пусть существует конечный предел

дится, а это и значит, что ряд (47) сходится абсолютно.

Пусть теперь D 1. Тогда ряд (48) расходится, но из его расходимости нельзя сделать никакого вывода о поведении исходного ряда (47). Однако его расходимость в этом случае можно доказать непосредственно без

62

ших n абсолютные величины членов ряда (47) будут возрастать и, следовательно, члены ряда не будут стремиться к нулю. Ряд расходится в связи с тем, что не выполнено необходимое условие его сходимости.

Пример 38. Исследуем знакочередующийся ряд

Так как непосредственная проверка условий теоремы Лейбница является