Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Хабаровский государственный университет экономики и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5510.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2022

Размер:

1.67 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 92 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

сти частичных сумм) удаётся установить, сходится данный ряд или расходится. Другой задачей является нахождение точной суммы ряда, если он сходится. Отыскание точной суммы сходящегося ряда является трудной задачей, которая решается только в отдельных (частных) случаях (см. пример 5). Однако сумму сходящегося ряда всегда можно найти приближённо, увеличивая число слагаемых в частичной сумме (7).

2 Арифметический, геометрический и гармонический ряды

Рассмотрим ряд

a (n 1)d ,

(9)

n 1

членами которого являются члены арифметической прогрессии. Его можно назвать числовым арифметическим рядом. Из (1) следует, что

lim Sn	. Следовательно, ряд (9) расходится.
n
Геометрический ряд – это ряд вида
a	aq aq2	aqn 1	aqn 1 a 0, q 0 ,	(10)
		n	1

составленный из членов геометрической прогрессии. Сумма первых n членов геометрической прогрессии при q 1 находится по формуле (2). Предел этой суммы преобразуем к виду

		a 1	qn		a		qn
lim Sn	lim					a lim		.
lim Sn	lim					a lim		.
n	n	1	q	1 q		n	1 q

Возможны следующие случаи в зависимости от величины q :

Если

1, то qn

0 при n

. Поэтому S

lim Sn

1 q

ряд (10)

сходится.

1, то qn

при n

. Поэтому S

lim Sn

Если

и ряд

(10) расходится.

	3) Пусть		q		1.Тогда					при			q 1						ряд		(10)		примет			вид
a a	a		. Для него Sn								n	a и			S			lim Sn				, т.е. ряд (10) рас-
																	n
ходится. При q				1	ряд		(10)			примет				вид				a		a	a	a	.	Для		него
Sn	0 при чётном n и Sn							a при нечётном n . Следовательно,																lim Sn не
																								n
существует; ряд (10) расходится.

	Можно сделать вывод, что геометрический ряд сходится при																								q	1 и

расходится при		q		1.
	Пример 8. Найти сумму ряда
			2	3	1 2	3		1	2		3	1				2			3	1		.
			2		1 2		3		2		32					2				3n		.
							3				32									3n
Ряд относится к виду (10), где a												23 и q					1		. Т.к. q			1, то сумма ряда
Ряд относится к виду (10), где a												23 и q							. Т.к. q			1, то сумма ряда
																3
					S		a				23			8				24		12.
					S				1 1					2						12.
					1		q		1 1					2	3				2
												3			3

В связи с введением суммы ряда всякое действительное число x , представленное в виде бесконечной десятичной дроби

x a0 ,a1a2 an ,

можно понимать как сумму ряда

a0		a1		a2		an	,
	10		102		10n

частичными суммами которого являются десятичные приближения

Sn 1	a		a1		a2		an
		10		102		10n

этого числа x по недостатку.

Сказанное позволит представлять в виде обыкновенных дробей бесконечные десятичные периодические дроби. При этом будет применена формула

S	a		q	1	(11)


		q
1

нахождения суммы S геометрического ряда. Поясним это на примере.

			Пример 9. Представить в виде обыкновенной дроби следующие бес-
конечные десятичные периодические дроби:1)																														0, 7 ; 2) 0,0 35 ; 3) 0,2 35 ;
4) 4, 25 .
			Число 0, 7						0,777						можно записать в виде геометрического ряда
											7		7						7										7

											10		100						1000									10n
с первым членом a											7	и		q				1			. По формуле (11) его сумма равна числу
с первым членом a									10			и		q			10				. По формуле (11) его сумма равна числу
									10								10
	0,7			7		. Следовательно,							0, 7									7	.
1		0,1		9		. Следовательно,							0, 7						9				.
1		0,1		9															9
			Число 0,0 35						0,0353535													запишется в виде геометрического ряда
													35						35							35

													103						105							107
с первым членом a											35		и знаменателем q																		1			. В силу формулы (11)
с первым членом a											103		и знаменателем q																	102				. В силу формулы (11)
											103																			102
получим
												S							35										35			.
												S	10					3	1					1					990			.
																		3											990

																								102
																								102
Таким образом, 0,0 35												35				.
Таким образом, 0,0 35																.
											990
			Число 0,2 35						0,23535										записывается в виде ряда
													2						35							35			,

													10						103						105
													10						103						105
отбросив							первый			член							которого										получим								геометрический ряд
	a		35		, q			1	с суммой								35				. Тогда 0,2 35												2			35		233	.
	a	103			, q		102		с суммой								990				. Тогда 0,2 35									10					990		990		.
		103					102										990													10					990		990
			Число 4, 25						4,252525											записывается в виде ряда
											4, 25							4	25							25				,

																			102							104
																			102							104


в скобках которого стоит геометрический ряд с a						25		и q		1	. Тогда
в скобках которого стоит геометрический ряд с a					102			и q	102		. Тогда
					102				102
4, 25	4	0,25	4	25	421		.
4, 25	4		4				.
	1	0,01		99	99

Предоставляем читателю сформулировать самостоятельно правило обращения бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь.

Исследуем теперь на сходимость ряд

(12)

n 1 n

упоминавшийся уже в примере 2 и названный гармоническим.

Так как его n -я частичная сумма (3)

представима в виде (4) (при

этом lim

0 ), то lim Sn

lim

ln n c

и, следовательно,

n n

этот ряд расходится. Ввиду того, что доказательство равенства (4) трудное, приведём более простое доказательство расходимости ряда (12).

Сначала получим некоторое вспомогательное неравенство. Так как

S2n	1		1	1			1		1				1			,

			2	3				n	n	1					2n
			2	3				n	n	1					2n
		Sn		1	1			1		1			,

					2			3			n
					2			3			n
то разность S2n Sn имеет вид
		S2n		Sn			1						1	.
		S2n		Sn		n	1							.
						n	1					2n

Заменив в этом равенстве, содержащем n слагаемых, каждое слагаемое

наименьшим, равным

, получим вспомогательное неравенство

S2n

или

S2n

<<< < Предыдущая 12 / 92 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.20221.64 Mб15505.pdf
#
13.11.20221.65 Mб175506.pdf
#
13.11.20221.66 Mб45507.pdf
#
13.11.20221.66 Mб25508.pdf
#
13.11.20221.66 Mб125509.pdf
#
13.11.20221.67 Mб55510.pdf
#
13.11.20221.67 Mб25511.pdf
#
13.11.20221.67 Mб15512.pdf
#
13.11.20221.67 Mб35513.pdf
#
13.11.20221.68 Mб15514.pdf
#
13.11.20221.68 Mб205515.pdf