отсутствием возврата взносов Рdx,, 2 Pdx+1, …, n Pdx+n-1 . Поэтому величина соответствующей пенсии по аналогии с формулой (4.12)

примет вид

Аналогичным образом, можно найти отсроченные пенсии с возвратом взносов выгодоприобретателям с годичным взносами и месячными пенсиями; месячными взносами и годичными пенсиями;

месячными взносами и месячными пенсиями по формулам

Оценим пожизненную пенсию в случае формулы (4.13). По условию пожизненной пенсии х + n + m = w, то есть m = w - x – n. В этом случае Nx+n+m+1 = 0 и для пожизненной пенсии формула (4.13) принимает вид

В завершение раздела оценим величину усреднённого значения страховой части государственной пенсии по старости. Согласно пенсионному законодательству в РФ, страховая часть пенсии по старости формируется на основании принципа солидарной ответственности и не предполагает возврат взносов выгодоприобретателям в случае смерти участника Пенсионного фонда РФ до наступления первой пенсионной выплаты. Следовательно,

величина страховой части государственной пенсии по старости Пгос на основании формулы (4.14) принимает вид

72

Оценим значения показателей, входящих в формулу (4.15). Величина Р представляет собой ежемесячный взнос участников Пенсионного фонда РФ. Эту величину можно оценить на основании средней заработной платы по Российской Федерации, которую можно принять равной 15 000 рублей. Определённая процентная часть от этой суммы определяет величину Р отчислений в ПФ РФ. Для различных категорий населения РФ процентные части различны. В среднем процентную часть можно считать равной 14 %. Тогда величину Р можно определить из равенств Р = 15 000 × 0,14 = 2 100 рублей. Величина х – это возраст участника Пенсионного фонда РФ на дату заключения пенсионного договора. Будем считать, что в среднем трудовая деятельность начинается с 20-ти лет, то есть х = 20 лет.

Оценим величину n. Будем оценивать пенсию для граждан женского пола. Тогда n = 35 лет. Для мужчин n = 40 лет. Оценим величину i.

Безрисковая процентная ставка считается равной примерно 5 %. Примем норму доходности равной 3 %. В качестве доли нагрузки примем f = 0, 04.

Тогда на основании формулы (4.15) и таблицы 2.2 получим

Разница в пенсиях объясняется тем фактом, что Пенсионный фонд для мужчин накапливается без расходования средств на 5 лет больше и поступает средств в него соответственно также больше.

Следует отметить, что полученая расчётная пенсия для мужчин соответствует государственным пенсиям по старости для городского населения в советское время. Если учесть, что покупательная способность российского рубля по сравнению с советским рублём упала примерно в 120 раз, то перерасчёт полученной пенсии составит 120

рублей в месяц.

73

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1.В чём состоит идея пенсионного страхования?

2.Какие виды пенсий вы знаете? Назовите их характеристики.

3.По каким формулам рассчитываются немедленно начинающиеся пенсии?

4.Какой вид имеют отсроченные пенсии?

5. МЕТОДИКИ РАСЧЁТА ТАРИФОВ

ВРИСКОВЫХ ВИДАХ СТРАХОВАНИЯ

Как указывалось в гл. 1, задача построения брутто-ставки сводится к исчислению нетто-ставки, которая составляется как сумма основы

нетто-ставки Т0 и рисковой надбавки Тр. Основа нетто-ставки моделируется ожидаемой убыточностью страховой суммы. Наиболее употребительные в страховой практике методики построения нетто-

ставки можно классифицировать в зависимости от поведения убыточности страховой суммы при изменении времени и от моделей страхового портфеля. Эти методики основаны на использовании показателей страховой статистики.

Страховая статистика может быть сведена к анализу следующих

базисных показателей:

n – число объектов страхования (договоров страхового портфеля данного вида страхования);

m – число пострадавших объектов в результате страховых событий; l– число страховых событий;

74

производные показатели страховой статистики.

Для целей построения и анализа тарифов используются следующие

объектам страхования;

S = Sn – средняя страховая сумма на один объект страхования;

qm – частота ущерба или статистическая вероятность наступления n

страхового случая для одного объекта страхования;

n

P Pi – сумма собранных страховых платежей по всем объектам

i 1

страхования;

ZSв / P – норма или уровень убыточности.

5.1.Классическая методика

Воснове этой методики лежит среднее значение показателя убыточности страховой суммы по однородным объектам страхования за определенный ряд лет. Как указывалось выше, нетто-ставка совпадает с убыточностью страховой суммы. Поэтому конечной целью любой методики является достоверный прогноз показателя убыточности. В

качестве прогноза убыточности в данной методике выступает средняя убыточность y , полученная за ряд лет. При этом возникает вопрос:

75

насколько точна эта оценка или насколько окажется средняя близкой к истинной убыточности? Точного ответа на этот вопрос не существует.

Однако с помощью методов теории вероятностей можно оценить вероятность отклонения признака от его среднего. Известно, что если признак y имеет нормальный закон распределения и статистический ряд его значений является достаточно устойчивым, то вероятность неравенства

признака от его среднего значения. Так, например, если t = 1, то вероятность неравенства (5.1) равна 0,84 , если t = 2, то соответствующая вероятность равна 0,98. На основании вышеизложенного можно

положить Tн y t , то естьT0 y , Tр t .

Таким образом, в данной методике рисковая надбавка пропорциональна среднему квадратическому отклонению. Величина t

выбирается страховщиком в зависимости от его отношения к риску и

устойчивости вариационного ряда убыточности страховой суммы.

Рассмотрим, например, убыточность страховой суммы по страхованию данных строений от огня (в копейках со 100 руб. страховой

суммы) за 5 лет (таблица 5.1).

Таблица 5.1 – Убыточность страховой суммы

Среднее квадратическое отклонение найдём по формуле

76

Величина Sв является случайной, поэтому ни одно разумное значение

Ω не может гарантировать выполнение неравенства (5.2). Можно лишь говорить о вероятности его выполнения. Обычно страховщик выбирает эту вероятность, равной заданному числу γ : гарантии безопасности, то

Величину γ обычно выбирают достаточно близкой к единице,

например, γ = 0,85, или γ = 0,9, или γ = 0,95 и т.д.

Чем величина γ ближе к единице, тем достовернее выполняется неравенство (5.2). При γ = 1 страховой фонд должен быть равен бесконечности. Выбор гарантии безопасности определяется характером страховщика. Чем меньше величина γ, тем меньше страховой фонд Ω и,

следовательно, меньше тарифная ставка. В этом случае данный вид страхования становится более привлекательным для страхователя, но риск невыполнения страховых обязательств страховщиком возрастает.

При увеличении гарантии безопасности γ страховой фонд Ω возрастает и, следовательно, тарифная ставка увеличивается, что приводит к уменьшению её конкурентоспособности. Но зато уменьшается риск невыполнения обязательств.

Равенство (5.3) является базой для вычисления страхового фонда.

Если известен закон, по которому распределена случайная величина Sв,

то стандартными методами теории вероятностей из (5.3) можно найти Ω.

Методика I Росстрахнадзора [10] основана на том обстоятельстве, что при не очень обременительных предложениях случайная величина Sв

имеет нормальный закон распределения. Сформулируем эти предположения:

1. Страховой портфель содержит n однотипных договоров, причём величина n известна заранее.

78

2.Вероятность наступления страхового случая не зависит от номера договора и равняется известному числу q.

3.Предполагается независимость наступления страховых случаев по отдельным договорам.

4.Число договоров n достаточно велико. Например, выполняется неравенство

nq 10 . (5.4)

5. Имеется статистика по данному виду страхования, которая будет конкретизирована ниже.

Предположение 1 сделано для простоты изложения материала.

Допускается, вообще говоря, существование m типовых рисков (j =

1,2,…,m). Нужно лишь, чтобы nj были достаточно велики, вероятность наступления страхового случая по всем договорам j-го сорта риска равнялась qj и выполнялось условие независимости наступления страховых случаев.

Предположение 3 является существенным для данной методики и означает, что нет катастрофических событий природного или

техногенного характера, приводящих к разрушению всех

застрахованных объектов или значительной их части (землетрясения,

пожары, цунами и т.д.).

Итак, пусть имеется n однотипных договоров. Пусть i – номер договора (i = 1, 2, … n), Sвi – будущая выплата по i-му договору,

происходящая в результате наступления страхового случая. Для того чтобы выразить суммарные выплаты по всему портфелю через выплаты по каждому договору, необходимо ввести так называемые индикаторные функции для каждого из договоров, указывающие на появление

страхового случаев. Эти функции вводятся соотношением

79

Случайные величины Ei являются дискретными, и их законы распределения полностью определяются таблицей 5.1 перечня значений,

которые они принимают, и вероятностями появления этих значений:

Таблица 5.1 – Закон распределения случайных величин Ei

Тогда по определению можно найти математическое ожидание и дисперсию величин Ei :

MEi = 0 × (1 – q) + 1 × q = q ,

DEi = MEi2 (ME)2 0 (1 q) 1 q q2 q(1 q).

Теперь случайную величину S

Равенство (5.5) означает, что в суммарные выплаты дают вклад

только те договора, по которым произошли страховые случаи.

Найдём математическое ожидание каждого слагаемого в правой

В равенстве (5.6) использовалось предположение, что величины Ei и

Sвi независимы. Это предположение соответствует интуитивному представлению о том, что вероятность наступления страхового случая по i-му договору не зависит от величины страховой выплаты по тому же

договору. Символ Sвi обозначает математическое ожидание или

среднюю выплату по i-му договору. Здесь индекс i отсутствует, так как риски являются однотипными, то есть = Sв .

Дисперсию величины EiSвi найти несколько сложнее. По определению дисперсии

80

договоров. Подставляя (5.9) в (5.8), а (5.8) в (5.7), получим

Элементарные преобразования равенства (5.10) приводят к

соотношению

Из равенств (5.6) и (5.11) видно, что математическое ожидание и дисперсия каждого слагаемого суммы (5.5) являются постоянными величинами и в то же время сами слагаемые независимы ввиду предложения III методики. Отсюда следует, что сумма выплат имеет закон распределения, близкий к нормальному ввиду центральной

Для нахождения дисперсии S в необходимо опять воспользоваться независимостью случайных величин S в . Только в этом случае

81