5408
.pdf
года страховщик получит сумму 
рублей и выплатит сумму dx n 2 ·1 рублей.
В конце последнего года страхования страховщик только выплатит сумму, равную dx n 1 ×1 рублей.
Эта схема платежей и поступлений изображена на рисунке 2.4.
n Ax(г)lx |
( г ) |
1 |
n Ax(г)lx n 1 |
|
n Ax lx |
|
. . .
0 |
. . . |
|
|
|
n |
t |
|
1 |
n-1 |
||
dx |
|
dx+n-2 |
dx+n-1 |
Рисунок 2.4 – Поток наличности при страховании на случай смерти с годичными взносами
Найдём текущую стоимость А 0
того потока наличности:
A 0 |
A( г )l |
x |
A( г )l |
x 1 |
d |
x |
V ... |
A( г )l |
x n 1 |
d |
x n 2 |
V n 1 |
|
n x |
n x |
|
|
n x |
|
|
d x n 1V n .
42
Приравнивая к нулю текущую стоимость этого потока и уединяя неизвестную нетто-ставку в левой части, получим равенство
n Ax( г ) lx lx 1V ... |
lx n |
1V n |
1 |
|
d xV |
... d x n |
1V n , |
||||
из которого следует выражение для n Ax( г ) вида |
|
||||||||||
( г ) |
|
d V |
... |
|
d |
x |
V n |
|
|
||
|
|
x |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
||
n Ax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(2.21) |
|
l |
x |
... |
l |
x |
n |
V n |
1 |
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
Выразим теперь нетто-ставку через коммутационные числа. Для этого умножим числитель и знаменатель правой части выражения (2.21)
на величину |
V x |
и воспользуемся выражениями (2.4) и (2.6) для |
||||||
коммутационных чисел Dx, Cx : |
|
|
|
|||||
( г ) |
|
Cx |
... |
Cx |
n |
1 |
. |
(2.22) |
n Ax |
|
|
|
|
|
|
||
|
Dx |
... |
Dx |
n |
1 |
|||
|
|
|
|
|||||
Числитель выражения (2.22) был уже найден по формуле (2.15), а
знаменатель – по формуле (2.19).
Таким образом, годичная нетто-ставка на дожитие с 1 рубля
страховой суммы принимает вид:
( г ) M x |
M x n |
. |
(2.23) |
|
A |
|
|
||
|
|
|||
n x |
N x |
N x n |
|
|
|
|
|
||
Пример 2.5. Найти годичную брутто-премию на случай смерти от возраста x = 51 год на срок 20 лет при норме доходности i = 0,03 и доле нагрузки, равной 20%, с 10 000 000 рублей страховой суммы.
Решение. Согласно формуле (2.23) и таблице 2.2 находим нетто-
ставку с 1 рубля страховой суммы:
|
A |
( г ) M |
51 |
M 71 |
9469 5287 |
|
0,016. |
||
20 |
|
|
|
|
|
|
|
||
51 |
N 51 |
N 71 |
|
31806260670 |
|
||||
|
|
|
|
||||||
Нетто-премия с 10 млн руб. имеет вид Тн=0,016 ·10 000 000 =
=160 000.
Брутто-премия Тб = |
160000 |
200 000. |
|||
|
1 |
0,2 |
|
||
|
|
|
|||
43
2.5.3. Годичные нетто-ставки по смешанному
виду страхования жизни
Под смешанным страхованием здесь, как и всюду в настоящем пособии, понимается вид страхования, объединяющий страхование на дожитие и на случай смерти. Поэтому под страховым случаем понимается факт либо дожития от возраста x до возраста x+n , либо смерти в течение срока n лет. В соответствии с этим нетто-ставка nTx( г )
по смешанному страхованию представляет собой сумму годичных нетто-ставок на дожитие и на случай смерти:
|
( г ) |
|
|
( г ) |
( г ) Dx M x |
M x n |
. |
(2.24) |
|
T |
|
n |
E |
x |
A |
|
|
||
|
|
|
|||||||
n x |
|
n x |
N x |
N x n |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 2.6. Найти годичную брутто-премию по смешанному страхованию от возраста x = 25 лет на срок 35 лет с 1 млн руб. страховой суммы при норме доходности i = 0,03 и доле нагрузки 20%.
Решение. По формуле (2.24) и таблице 2.2 находим
T |
( г ) D25 M |
25 M 60 |
44301 11942 7962 |
0,05. |
|||
|
|
|
|
|
|||
35 |
25 |
N 25 |
N60 |
1111018 173051 |
|
||
|
|
|
|
||||
Нетто-премия с 1 млн руб. равна
Тн=0,05 ·1 000 000 = 50 000.
Брутто-премия равна Тб = |
|
50000 |
62500. |
||
|
|
|
|
||
1 |
0,2 |
|
|||
|
|
|
|||
В некоторых учебниках вывод годичных нетто-ставок приводился с помощью введения так называемых коэффициентов рассрочки. Однако их экономический смысл недостаточно ясен и недостаточно ясна правомерность их использования при выводе годичных нетто-ставок.
Кроме того, применение коэффициентов рассрочки не позволяет проводить расчёты, учитывающие изменения нормы доходности.
Используемый в пособии подход единообразным способом даёт вывод как годичных, так и единовременных нетто-ставок, причём без введения новых понятий типа коэффициентов рассрочки. Применение к
44
расчётам теории процентных ставок, в частности потоков наличности и силы процента, позволяет учитывать изменение нормы доходности и,
следовательно, инфляцию.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1.Объясните, при годичных или единовременных взносах общий взнос будет больше.
2.Какой вид взносов (годичный или единовременный) выгоднее для основной массы страхователей?
3.Какой вид имеют формулы для нетто-ставок при годичных взносах?
4.В чём преимущества подхода к расчёту тарифных ставок страхования жизни, основанного на представлении процесса страхования потоком наличности?
2.6. Месячные нетто-ставки страхования жизни
Многие страховые организации предусматривают ежемесячную уплату взносов. При этом накопление страхового фонда происходит по различным законам в течение года и между годами. Накопление за год исчисляется по простым процентам, а накопление от года к году по сложным (если не использовать принцип непрерывного накопления капитала, практикующийся в промышленно развитых странах Запада).
При этом страховщики в своих расчётах предполагают, что годичный взнос полностью формируется лишь к концу страхового года, не явно полагая, что взносы вносятся систематически в конце каждого года. При этом накопление от месячных взносов в течение года идёт в пользу страховщиков, не понижая тарифные ставки страхователей. Нетто-
ставки, полученные таким способом, носят название годичных
45
нетто-ставок постнумерандо в отличие от годичных нетто-ставок
пренумерандо, вносимых в начале каждого страхового года. Тогда месячная нетто-ставка находится делением годичной нетто-ставки постнумерандо на число 12.
Несмотря на то, что при ежемесячных взносах учитывается их капитализация в течение одного года в пользу страховщиков, такая форма страхования выгодна и для страхователей. Она примерно в 12 раз уменьшает величину регулярных платежей, соответствует регулярным доходам подавляющего числа населения (ежемесячная заработная
плата), упрощает безналичный перевод денежных средств и т.д.
Найдём месячную нетто-ставку на дожитие n E(x м ) от возраста x лет на срок n лет. Для этого вычислим вначале годичную нетто-ставку
постнумерандо n E(x г ,nocm ) . На рисунке 2.5 изображён поток наличности, соответствующий таким платежам.
n Ex( г ,nocm)lx 1 |
n Ex(г,пост)lx 2 |
|
E( г ,пост )l |
|
|
|
n |
x |
x n |
…
0
1 |
2 |
n |
t |
lx+n
Рисунок 2.5 – Поток наличности при страховании на дожитие с годичными взносами постнумерандо
Текущая стоимость этого потока находится по формуле А (0) = nEx(г,пост)×
×lx+nV + …+nEx(г, пост)lx+nVn – lx+nVn.
Из равенства А(0) = 0 находим, что
46
n Ex( г ,пост ) |
|
|
|
|
l |
x |
|
V n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
V n |
|||
|
l |
x |
V |
|
|
... |
l |
x |
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
n |
||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( г ,пост ) |
|
|
|
|
Dx |
n |
|
|
. |
||
n Ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
N x |
1 |
N x n |
1 |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
Тогда ежемесячная нетто-ставка на дожитие находится по формуле
( м) |
Dx n |
. |
(2.25) |
||
n Ex |
|
|
|||
12 Nx 1 |
Nx n 1 |
||||
|
|
|
|||
Вычислим ежемесячную |
нетто-ставку на случай смерти |
n Ax( м ) . |
|||
Поток наличности для годичной нетто-ставки на случай смерти постнумерандо n Ax( г ,пост) изображён на рисунке 2.6.
n Ax( г ,пост )lx 1 |
. . . |
n Ax( г ,пост )lx n |
n Ax( г ,пост )lx 2 |
0 |
1 |
2 |
n |
t |
|
dx |
dx+1 |
|
dx+n-1 |
|
|
Рисунок 2.6 – Поток наличности при страховании на случай смерти с годичными взносами постнумерандо
Приравнивая текущую стоимость этого потока к нулю, получим уравнение
0 
n Ax( г ,пост)lx 1 dx V ... 
n Ax( г ,пост)lx n dx n 1 V n ,
47
из которого находим, что
( г ,пост ) |
d V |
... d |
x n |
V n |
|
|
||
|
x |
|
1 |
|
|
|||
n Ax |
|
|
|
|
|
|
. |
(2.26) |
l |
|
V ... |
l |
x |
V n |
|||
|
|
x 1 |
|
n |
|
|
||
Используя в формуле (2.26) коммутационные числа, получим, что
( г ,пост ) M x |
M x n |
. |
|||
n Ax |
|
|
|
||
N x 1 |
N |
x n 1 |
|||
|
|
||||
|
|
|
|
||
Ежемесячные нетто-ставки на случай смерти находятся по формуле
( м ) |
M x |
M x |
n |
. |
|
(2.27) |
n Ax |
|
|
|
|
||
12 Nx 1 |
Nx |
n 1 |
|
|||
|
|
|
|
|||
Ежемесячная |
нетто-ставка |
по |
смешанному |
страхованию |
||
определяется равенством
T |
( м,см ) Dx n M x |
M x n |
. |
(2.28) |
|
|
|
|
|||
n x |
12 Nx 1 |
Nx n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 2.7. Найти ежемесячную брутто-премию по смешанному страхованию для возраста x = 45 лет на срок 10 лет с 10 млн рублей страховой суммы при доле нагрузки 25% и норме доходности i = 0,03.
Решение. Найдём месячную нетто-ставку на дожитие по формуле
(2.25):
|
E ( м) |
D55 |
16 074 |
0,007 |
|
10 |
|
|
|
||
45 |
12 N46 N56 |
12 422532 231106 |
|
||
|
|
|
|||
Аналогично месячная нетто-ставка на случай смерти находится по формуле (2.27)
|
A |
( м) |
M 45 |
M55 |
10197 |
8 872 |
0,000 6. |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
||
45 |
12 N46 |
N56 |
12 42 2532 |
231106 |
|
|||
|
|
|
|
|||||
Нетто-премия по смешанному страхованию согласно формуле (2.28)
принимает вид:
10T45( м,см) |
10 Е45( м) |
10 А45( м) 0,007 6. |
||||
Брутто-ставка с |
1 рубля страховой суммы: |
|||||
Тб = |
0,007 6 |
0,01, |
с 10 млн. рублей страховой суммы Т = 0,01 × |
|||
|
||||||
1 |
0,25 |
|
|
|
||
× 10 000 000 = 100 000 рублей.
48
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1.Чем основное различие при расчетах нетто-ставок страхования жизни с годичной и единовременной формами уплаты взносов?
2.В чём преимущества ежемесячной формы уплаты взносов по сравнению с годичной и единовременной формами уплаты взносов для страховщиков и страхователей?
3.Какой вид имеет нетто-ставка по смешанному страхованию при ежемесячной форме взносов?
2.7. Страхование детей
Страхование детей, в отличие от страхования взрослых, имеет льготный характер. Нетто-премия рассчитывается по смешанному виду страхования со следующим объёмом страховых услуг:
1. Выплата страховой суммы в размере S1 рублей при дожитии до 18 лет
(или иного возраста при 10-летнем или большем сроке страхования).
2.Выплаты пособия на случай смерти застрахованного в период действия договора в размере S2 рублей.
3.Возврат в случае смерти застрахованного брутто-ставки или её части,
уплаченной страхователем до момента смерти.
4. Выплата страховой суммы в связи со стойким расстройством здоровья застрахованного, вызванным несчастным случаем.
Таким образом, брутто-ставка состоит из пяти частей, четыре из которых формируют страховой фонд реализации финансовых обязательств страховщика, а пятая часть – нагрузка – компенсирует расходы на ведение операций и формирует прибыль.
В настоящем разделе, как и выше, включать в брутто-ставку страховые выплаты по несчастному случаю не будем, так как фонд по этим выплатам формируется исходя из иных принципов.
49
2.7.1. Единовременная брутто-премия по
смешанному страхованию детей
При нахождении брутто-премии можно воспользоваться методикой,
предложенной и используемой в предыдущих разделах. Однако здесь можно воспользоваться и другим приёмом, основанным на составлении уравнения для брутто-премии, как это делалось при выводе связи между
брутто- и нетто-ставками в разделе 1. 3. 1.
При выводе этого уравнения необходимо найти составляющие
брутто-ставки.
1. Нетто-премия на дожитие определяется умножением обычной нетто-
ставки с 1 рубля страховой суммы на величину S1, т.е. T |
E( e )S |
1 |
. |
1 n |
x |
|
2. Единовременная нетто-премия на случай смерти определяется суммой
пособия S и брутто-премии |
T (е,б ) , которая выплачивается страховщику |
2 |
n x |
при заключении договора страхования, т.е. T2 n Ax( e ) S2 nTx( e,б ) . |
|
3. В брутто-премию также включается нагрузка f Т ( е,б ) , где f – доля |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
п х |
|
нагрузки. Таким образом, получается следующее уравнение: |
|
||||||||
nTx( e,б ) |
n Ex( e )S1 n Ax( e ) S2 nTx( e,б ) |
f nTx( e,б ) . |
|
|
|
||||
Перенося |
неизвестную |
величину |
п Т x( е,б ) |
в |
левую часть последнего |
||||
равенства, |
получим |
п Т х( е,б ) 1 п Ах( е ) |
f |
п Ех( е )S1 п Ах( е )S2 |
или |
||||
окончательно |
|
|
|
|
|
|
|||
T ( e,б ) |
|
n Ex( e )S1 n Ax( e )S2 . |
|
|
|
|
|||
n x |
|
|
1 n Ax( e ) f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2.8. Найти единовременную брутто-премию по смешанному страхованию детей возраста х = 10 лет на срок п = 7 лет при страховой сумме 1 000 000 рублей, страховом пособии 700 000 рублей, доле нагрузки 10% и норме доходности i = 0,03.
50
Решение. Найдём вначале |
n |
E( e ) |
и |
A( e ) : |
E(e) |
D17 |
|
56 802 |
0,81, |
|||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
n x |
7 10 |
D10 |
70 235 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
A(e) |
M10 M17 |
12 866 12 |
536 |
|
0,005. Тогда, согласно последним |
||||||||
7 |
|
|
|
|
|
|||||||||
10 |
D10 |
70 235 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
формулам,
T (e,б ) |
0,81 1000 000 |
0,05 |
700 000 |
908936 |
рублей. |
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
7 |
10 |
1 |
0,005 |
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Льготный характер страхования детей состоит в том, что в случае смерти застрахованного страхователь получает от страховой организации страховое пособие 700 000 рублей и брутто-премию
908936 рублей, то есть 1 608 936 рублей.
2.7.2.Годичная и месячная брутто-премии по страхованию детей
Здесь использование приёма для вычисления тарифной ставки,
предложенного в предыдущем пункте, не даёт результата. Это объясняется тем обстоятельством, что подлежащая возврату в случае смерти застрахованного часть брутто-ставки является переменной величиной и зависит от времени наступления этого страхового случая.
Годичные брутто- и нетто-премии обозначим через nTx( г ,б ) и п Т (х г ,н ) .
Итак, пусть х – возраст застрахованного на момент заключения договора, п – срок договора, S1 – страховая сумма при дожитии, S2 –
величина пособия на случай смерти. В начальный момент времени
страховщик получает сумму nTx( г ,н )lx . В конце первого года должна быть выплачена сумма, равная произведению числа умерших за год dx на
сумму S2 nTx( г ,б ) , и получена |
сумма п Т х( г ,н )lx |
1 . В конце второго |
||||||||||
(начале третьего) года |
страховщик |
получает сумму п Т х( г ,н )lx 2 и |
||||||||||
выплачивает |
сумму |
d |
x |
1 |
S |
2 |
2 T ( г ,б ) |
, так |
как, |
согласно |
правилам |
|
|
|
|
|
n |
x |
|
|
|
|
|||
страхования, |
нужно |
выплатить |
пособие S2 |
и |
возвратить |
двойную |
||||||
51