Красавин Компютерныы практикум в среде МатЛаб 2015

Шаг можно не указывать, в этом случае он будет равен единице.

Другим оператором, позволяющим создавать векторы, компоненты которых отстоят друг от друга на определенную величину, является linspace. Он употребляется в том случае, когда известен не шаг между соседними элементами, а число элементов на заданном участке. Например, команда

x = linspace(0,2*pi,100)

приведет к созданию сетки из 100 точек, равноотстоящих друг от друга на отрезке 0,2π .

Для создания специальных матриц в MatLab предусмотрено большое количество встроенных функций. Одними из наиболее часто используемых являются ones для создания матрицы из единиц, zeros для создания матриц из нулей и eye для создания матриц, у которых на главной диагонали – единицы, а остальные элементы равны нулю. Формат этих функций следующий:

A = zeros(m,n)

Здесь m – число строк матрицы; n – число столбцов. Если в аргументах указана только одна переменная m, то создается

Матрицы можно также создавать блочным способом, используя уже имеющиеся матрицы. Например, команда

A = [2*ones(2) eye(2); eye(2) [4 4; 3 3]];

создаст следующую матрицу:

2.2. Определение размеров матриц

Для определения размеров матрицы используется оператор size. Он возвращает вектор размера 1 2, в который записывается число строк и число столбцов исходной матрицы. Использование оператора size иллюстрирует следующий пример.

Пример 2.1.

A = ones(3,4); % создание единичной матрицы размера 3х4

Z = size(A); % размеры матрицы A записываются в вектор Z, при этом

Z(1)=3; Z(2)=4

[r c] = size(A); % здесь функция size вызвана с двумя выходными параметрами, поэтому число столбцов матрицы A будет записано в переменную r, а число строк – в переменную

c:r=3; c=4

ВMatLab и векторы, и даже скаляры представляются матрицами

length, который вычисляет число строк и число столбцов входной матрицы и возвращает только один параметр – наибольшее из этих значений.

22

2.3. Обращение к элементам матрицы

Обращение к отдельному элементу матрицы осуществляется путем указания номеров строки и столбца этого элемента в матрице: z(2,3). Первым аргументом является номер строки, вторым – номер столбца. Такой же оператор можно использовать для присвоения конкретному элементу матрицы нового значения (z(2,3)=50) или выводу его значения на экран

(disp(z(2,3))).

Для обращения к нескольким соседним элементам матрицы используется оператор «двоеточие». Его использование иллюстрируется в примере 2.2.

Пример 2.2.

A = Z(2,2:4) % A – вектор, состоящий из элементов матрицы Z во второй строке и столбцах со второго по четвертый

A =

0.8191 0.4998 0.5970

B = Z(1:2,3:5) % B – матрица, состоящая из элементов матрицы Z в сроках с первой по вторую и в столбцах с третьего по пятый

B =

C = Z(:,2) % C – вектор, состоящий из элементов матрицы Z во втором столбце

C =

23

0.4152

0.8191

0.6758

0.0464

0.6715

0.3165

D = Z(2:3,:) % D – матрица, состоящая из элементов матрицы Z в строках со вторую по третью; второй оператор двоеточия в данном случае означает «все столбцы»

D =

E = Z(4:end,:) % E – матрица, состоящая из элементов матрицы Z в строках с четвертую по последнюю; оператор end в данном случае указывает на последний элемент диапазона

E =

Z(:,2:4) = [] % удаление из матрицы Z столбцов со второго по четвертый

Z =

2.4. Поэлементные операции с матрицами

Помимо обычных операций матричной алгебры (сложение, вычитание и умножение матриц), в MatLab предусмотрены поэлементные операции. Поэлементные операции над матрицами предполагают, что матрицы имеют одинаковый размер. Пример 2.3 иллюстрирует использование поэлементных операций.

24

Пример 2.3.

A = 12*ones(2) % задание матрицы A

A =

B = [1 2; 3 4] % задание матрицы B

B =

C = A./B % матрица A поэлементно делится на матрицу B, т.е. каждый элемент матрицы C есть соответствующий элемент матрицы A, деленный на соответствующий элемент матрицы B

C =

D = A.*B % матрица A поэлементно умножается на матрицу B, т.е. каждый элемент матрицы D есть соответствующий элемент матрицы A, умноженный на соответствующий элемент матрицы B

D =

E = A*B % обычное перемножение матриц по правилам линейной алгебры

E =

F = A^2 % возведение матрицы A в квадрат, т.е. умножение матрицы A на саму себя

F =

288 288

288 288

25

G = A.^2 % поэлементное возведение матрицы A в квадрат; поэлементная операция таким образом заменяет циклы по всем строкам и столбцам

G =

144 144

144144

2.5.Функции для работы с матрицами и векторами

Функция sum суммирует все компоненты вектора, а функция prod перемножает их:

sum([2 4 6]) ans = 12

prod ([2 4 6]) ans = 48

Если применить эти функции к матрице, а не к вектору, то произойдет суммирование или перемножение всех элементов матрицы в каждом столбце. Для того чтобы найти сумму или произведение всех элементов матрицы, следует применить функцию дважды:

M = magic(3)

sum(sum(M))

26

ans = 45

Для нахождения минимального или максимального элементов вектора используются, соответственно, функции min и max. Аналогично, если входным элементов для этих функций является матрица, а не вектор, функции выдают результат для каждого столбца. Эти функции могут быть также использованы для определения положения максимального или минимального элемента в векторе или матрице. Для этого к функции нужно обратиться с двумя выходными аргументами:

[m,b] = max(a)

m =

9 % значение максимального элемента вектора а

b =

2 % позиция максимального элемента в векторе а

Пример 2.4 содержит один из возможных кодов для определения положения максимального элемента в матрице.

Пример 2.4.

RowCol =

21 % номер строки, которая содержит соответствующий максимальный элемент

[Big,Col] = max(BigCol)

Big =

6 % максимальный элемент во всей матрице

Col =

2 % номер столбца, содержащего максимальный элемент во всей матрице

Row = RowCol(Col) % определение строки, содержащей максимальный элемент

Row =

1

Элементы вектора или матрицы могут быть отсортированы при помощи функции sort:

отсортированного вектора b в исходном неотсортированном векторе a

В случае если входной элемент – матрица, функция sort выполняет сортировку в каждом столбце.

2.6. Фильтрация и логическое индексирование

Часто возникает задача выбора из элементов матрицы или вектора таких элементов, которые удовлетворяют определенному условию. Следующие примеры иллюстрируют возможные решения этой задачи.

28

Пример 2.5.

B = [1 5; 7 9] % задание матрицы

Пример 2.6. Рассмотрим функцию find:

A = [6 3 8 2 1]; % задание вектора

loc = find(A>5) % нахождение позиций всех элементов вектора A, которые больше 5

loc =

1 3 % элементы под номерами 1 и 3 в векторе A больше 5

29

Задания

2.1. Создать матрицу

2.2. Создать трехдиагональную матрицу, используя функцию diag:

2.3.При помощи функции rand создайте квадратную матрицу размера 6 6 из случайных чисел и найдите сумму всех элементов, находящихся в строках с 4 по 6 и в столбцах с 4 по 6.

2.4.Даны два вектора

2 46 810 ;

1 47 10 13 .

Найти