Красавин Компютерныы практикум в среде МатЛаб 2015

вероятность перехода), тогда марковскую цепь можно определить

,,…, будет равна

реализации такой последовательности будет

….

Существует инвариантное распределение состояний системы , которое не зависит от начальных условий и достичь

которого позволяет марковская цепь.

Например, для канонического ансамбля таким инвариантным распределением является распределение Гиббса:

~,

где – гамильтониан системы.

Для того чтобы марковская цепь могла достичь инвариантного распределения, на вероятности переходов следует наложить ряд условий.

Во-первых, определим само понятие инвариантного или стационарного распределения вероятностей следующими условиями:

201

0; 1; .

Последнее условие означает, что абсолютная вероятность каждого состояния складывается из всех возможных переходов системы в

Марковская цепь называется неприводимой, если каждое ее состояние может быть получено из каждого другого состояния (возможно, через ряд других состояний и переходов). Таким образом, в неприводимой марковской цепи не может быть «ловушек» – состояний или групп состояний, достигнув которых, система уже не выходит из них.

Состояние, входящее в марковскую цепь, называется периодическим, если, достигнув этого состояния, система возвращается в него через определенное число шагов (период). Если таких состояний нет, марковская цепь называется апериодической, и тогда состояния также называются

апериодическими.

∑есть вероятность того, что, стартуя из

Марковская цепь, состоящая из апериодических и устойчивых с конечным временем возврата состояний, называется эргодической, или связной, и сами состояния, составляющие ее, также называются

эргодическими.

202

Неприводимая апериодическая марковская цепь имеет инвариантное распределение тогда и только тогда, когда она является эргодической. Другими словами, для достижения инвариантного распределения марковский процесс должен быть сконструирован так, чтобы за некоторое конечное число шагов из любого состояния можно было бы достичь любого другого состояния . При этом число таких шагов не должно быть сравнимо с длиной всей марковской цепи. В этом и заключается практическое руководство для реализации эргодической схемы.

18.2. Принцип детального равновесия

Основная задача статистической механики состоит в расчете наблюдаемых термодинамических величин из статистического усреднения:

Здесь интегрирование производится по всему фазовому пространству Ω, ρ – функция распределения (в частном случае – распределение Гиббса).

Среднее в общем случае представляет собой многомерный интеграл по фазовому пространству. Общие правила расчета этого интеграла методом предпочтительной выборки в рамках алгоритма Монте-Карло справедливы и здесь. Допустим, создана цепь

распределения должна быть эргодической. Сформулируем принцип, согласно которому можно сконструировать алгоритм реализации распределения Ω .

Прежде всего, должны быть выполнены условия эргодичности схемы, и для практической реализации алгоритма необходимо выполнение дополнительных ограничительных условий на вероятности перехода:

Первое условие – вероятности переходов должны выбираться неотрицательными. Второе условие означает, что полная вероятность того, что система перейдет из любого состояния Ω в какое-либо другое состояние, равна единице, т.е. из состояния Ω обязательно есть выход, оно не является «ловушкой». Третье условие эквивалентно последнему из соотношений в условиях

в данное Ω реализует вероятность этого события Ω .

Каждому шагу Ω Ω марковского процесса можно условно поставить в соответствие промежуток времени , время расчета шага, это время отражает масштаб реального времени релаксации

204

физической системы. Предел отношения вероятности перехода к этому промежутку времени

ΩΩ lim Ω Ω

называется интенсивностью перехода, или плотностью вероятности перехода. Предел понимается в смысле того, что полное время расчета много больше , так что можно аппроксимировать дискретные шаги непрерывным процессом.

ΩΩ:

Ω, Ω Ω, Ω, Ω Ω, Ω , .

Ω Ω

Соотношение сохранения вероятностей можно представить следующим образом:

205

Эволюцию вероятности Ω можно описать в виде своеобразного

уравнения баланса, или скоростного уравнения, описывающего производную по времени – времени расчета – этой величины:

Ω

Ω Ω Ω Ω Ω Ω .

Ω Ω Ω Ω

Первый член справа описывает скорость всех переходов из состояния Ω во все другие состояния, а второй – скорость переходов из всех состояний, отличных от Ω, в состояние Ω. Слагаемые с Ω Ω в обеих суммах компенсируют друг друга. Выражение называется также уравнением Колмогорова (или уравнением Колмогорова–Чэпмена).

Для облегчения дальнейшего практического применения уравнения детального баланса на последнее уравнение можно наложить более сильные ограничения. Потребуем, чтобы это уравнение было справедливо для каждого состояния Ω под знаком суммы:

Это соотношение называется условием детального равновесия, или детального баланса. Это соотношение дает существенную свободу при выборе интенсивности переходов.

Одним из наиболее употребительных вариантов выбора интенсивности переходов, удовлетворяющей детальному балансу, является алгоритм Метрополиса, использующий следующий вид

ΩΩ:

206

где τ ~ 1 – произвольная константа. Варьируя параметр τ, можно менять скорость сходимости алгоритма Монте-Карло.

18.3. Одномерный вариант алгоритма Метрополиса

Основная проблема в эффективной реализации приведенного алгоритма состоит в правильном выборе числа δ. Если это число выбрать слишком большим, то повышается вероятность выполнения шага 6 в алгоритме, при котором перемещение системы в новую точку отвергается, и она подолгу находится в одной и той же точке. Если же число δ выбрать слишком маленьким, то вероятность того, что новая точка будет отлична от предыдущей , повышается, однако из-за малости δ система все равно сдвинется недалеко от предыдущего состояния, и генерируемые случайные числа опять дадут плохую выборку. На практике оптимальным выбором δ обычно считается такое число, при котором приблизительно половина переходов системы в новую точку реализуется.

Другой проблемой алгоритма Метрополиса является тот факт, что случайные величины , генерируемые алгоритмом, не являются независимыми, поскольку имеется очевидная корреляция между новой и текущей случайными точками. Таким образом,

,

будет неверной, так как для расчета дисперсии необходима выборка из независимых случайных величин. Для вычленения из последовательности , ,…, ,… подпоследовательности, содержащей независимые случайные величины, используется

автокорреляционная функция

,

208

статистической обработки результатов.

В примере 18.1 демонстрируется алгоритм (рис. 18.1), генерирующий случайные числа с гауссовым распределением [4]

Пример 18.1.

% задание плотности распределения и обращение к функции, реализующей алгоритм Метрополиса

p=inline('1/((2*pi*5)^0.5)*exp(-x^2/10)','x'); N=2*10^5; % число точек случайной последовательности x(1)=0; % первый член случайной последовательности

for i=2:N

x(i) = Metropolis(x(i-1),0.5,p); % delta = 0.5

end

% визуализация случайной последовательности figure % рис. 18.1

i= 1 : N; plot(i,x,'k');

set(gca, 'LineWidth',1)

set(gca, 'FontName', 'Trebuchet MS') set(gca, 'FontSize', 8)

set(gca, 'FontWeight', 'bold')

209

% визуализация гистограммы распределения Ni = 50; % число интервалов гистограммы k = 1 : Ni;

dx = (max(x) - min(x))/(Ni-1); Interval(k) = min(x)+dx*(k-1);

s = hist(x,Interval);

for j = 1 : Ni

z(j) = min(x) + dx*(j-1); Z(j) = N*p(z(j))*dx;

end

figure % рис. 18.2

bar(Interval,s); colormap white hold on

plot(z,Z,'r','LineWidth',2.5) hold off

set(gca, 'LineWidth',1)

set(gca, 'FontName', 'Trebuchet MS') set(gca, 'FontSize', 8)

set(gca, 'FontWeight', 'bold')

%функция, реализующая алгоритм Метрополиса function z = Metropolis(x,delta,p)

%x – координата начальной точки

xt = x+delta*(2*rand - 1); w= p(xt)/p(x);

if w >= 1

xnew = xt;

end

if w < 1

r = rand; if r<=w xnew = xt;

else

xnew = x;

end

end

z = xnew;

210