Красавин Компютерныы практикум в среде МатЛаб 2015

Пример 21.3. function menger(n)

switch nargin % при отсутствии входных аргументов case 0

n = 2; % порядок губки будет выбран по умолчанию 2

end

figure % рис. 21.2

%расчет матрицы, состоящей из нулей и единиц, которые обозначают присутствие или отсутствие кубов размера, соответствующего текущей итерации

%M - конечная матрица

M = 0; % единичный куб

for k = 1 : n

%создание куба А, в 3 раза превосходящего куб М по каждому

измерению

A = zeros([3^k, 3^k, 3^k]);

%на нижней грани куба А вырезается куб размера М

A(:,:,1:3^(k-1)) = [M,M,M; M,ones(size(M)),M; M,M,M];

%в кубе A вырезается крест из пяти кубов M

A(:,:,3^(k-1)+1:2*3^(k-1)) = ...

[M,ones(size(M)),M; ...

ones(size(M)),ones(size(M)),ones(size(M));...

M,ones(size(M)), M];

% на верхней грани куба А вырезается куб размера М

A(:,:,2*3^(k-1)+1:3^k) = [M,M,M; M,ones(size(M)),M; M,M,M];

M=A; % получившейся фигуре присваивается имя M для следующей итерации

end

% преобразование матрицы (куба) M в 3D–изображение

hold on d = 1;

241

% цикл по всем ячейкам матрицы (куба) М for i = 1:3^n

for j = 1:3^n

for k = 1:3^n

% проверка наличия куба if M(i,j,k) == 0

cube(i,j,k,d,n); % вызывается функция прорисовки куба

end

end

end

end

axis equal; axis off; hold off;

view(3); hold off;

function cube(i,j,k,d,n)

%Функция прорисовки малого куба

%d – отношение размера малого куба к размеру губки;

%значение d = 1 эквивалентно всей губке Менгера

%i,j,k – координаты куба

%n – номер итерации

%координаты граней куба (полигоны):

243

%задание градиента для граней куба

%каждый столбец массива задает значения цвета в вершине грани куба; между вершинами происходит плавный цветовой переход, тем

0.20.86 1.2 1.2 0.2 0.86 ; ...

0.30.88 1.3 1.3 0.3 0.88 ; ...

0.40.90 1.4 1.4 0.4 0.90 ];

%создание куба размера d с центральной точкой (i,j,k)

%и сокращение его размеров до 3^(-n)

X= (d*(X-0.5) + i)/3^n;

Y= (d*(Y-0.5) + j)/3^n;

Z= (d*(Z-0.5) + k)/3^n;

% прорисовка куба fill3(X,Y,Z,C);

Задания

21.1.Модифицировать код из примера 21.2 и построить квадратный ковер Серпинского.

21.2.Модифицировать код из примера 21.3 и построить пирамидальную губку Менгера.

244

22

L-Системы

Понятие L-систем было введено в 1968 г. А. Линденмайером; первоначально они использовались при изучении формальных языков, а также в биологических моделях [5].

L-Системой называется набор, состоящий из алфавита, аксиомы и нескольких правил.

Алфавитом называется конечное множество, а его элементы – символами. Природа символов не важна, их единственная функция – отличаться друг от друга. Строкой алфавита называется конечная последовательность символов алфавита.

Аксиома – некоторая строка алфавита.

Каждое правило – пара, состоящая из предшественника и последователя. Предшественник – символ алфавита, а последователь – строка алфавита, например A → FA + A (стрелка отделяет предшественника от последователя). В списке правил символы-предшественники должны быть уникальными.

Как только L-система определена, она начинает развиваться в соответствии со своими правилами. Начальным состоянием L- системы является ее аксиома. При дальнейшем развитии эта строка, описывающая состояние, будет меняться. Развитие L- системы происходит циклически. В каждом цикле развития строка просматривается от начала к концу, символ за символом. Для каждого символа ищется правило, для которого этот символ служит предшественником. Если такого правила нет, символ оставляется без изменений. Если же соответствующее правило найдено, символ-предшественник заменяется на строкупоследователь из этого правила.

L-Системы находят применение при моделировании процессов роста как живых организмов, так и неживых объектов (например, кристаллов, раковин моллюсков или пчелиных сот). Для иллюстрации рассмотрим следующую L-систему (она называется

245

Algæ – водоросль, поскольку ее развитие моделирует рост одного из видов водорослей):

Аксиома Правила

Ниже приведены состояния этой системы после шести циклов развития.

Цикл

0

1

2

3

4

5

Можно заметить, что каждая следующая строка получается конкатенацией двух предыдущих строк.

Для моделирования L-системы требуется придать смысл символам ее алфавита. Для графического представления L-систем символы алфавита интерпретируются на «черепашьем» языке, который состоит из следующих команд:

–продвинуться на один шаг вперед, рисуя за собой след;

–продвинуться на один шаг вперед, не рисуя за собой след; [ – открыть ветвь; ] – закрыть ветвь;

+– увеличить угол на величину θ;

каждом следующем шаге цикла символы в текущей строке заменяются в соответствии с правилами.

позволяют ввести несколько порождающих правил в L-систему.

246

;– строка , к которой присоединен знак +):

Вход:

axiom (слово инициализации) newF (порождающее правило) newX (порождающее правило) level (число итераций)

Выход:

word (строка-результат)

Инициализация: W = axiom

n = length(W)

T = {} (пустое множество)

Шаги:

while level > 0 for j = 1 to n

if W(j) = +, T = {T +}, end if if W(j) = –, T = {T –}, end if if W(j) = [, T = {T [}, end if if W(j) = ], T = {T ]}, end if if W(j) = F, T = {T newF}, end if if W(j) = X, T = {T newX}, end if

end for W = T

level = level – 1 end while

word = W

Пример 22.1 иллюстрирует реализацию приведенного кода на языке MatLab для построения Дракона Хартера–Хейтуэя [4]. Дракон задается следующими правилами:

Аксиома: Порождающие правила:

New

New

New – –

Соответственно, для первых нескольких шагов L-система будет иметь следующий вид:

247

Пример 22.1.

function [X,Y]=dragon(Lmax)

%функция, возвращающая изображение дракона

%Lmax – порядок максимальной итерации

%порождающие правила

Axiom='FX';

Newf='F';

Newx='X+YF+'; Newy='-FX-Y'; teta=pi/2; alpha=0;

p=[0;0]; % координата стартовой точки

%обращение к функции, возвращающей координаты вершин дракона p=Coord(p,Lmax,Axiom,Newf,Newx,Newy,alpha,teta);

%визуализация

M=size(p,2); % число точек

X=p(1:1,1:M); % вектор, содержащий x-координаты вершин дракона Y=p(2:2,1:M); % вектор, содержащий y-координаты вершин дракона

figure;

plot(X,Y,'Color','r','LineWidth',2); set(gca,'XTick',[]) % отключение отметок по оси x

set(gca,'XTickLabel',[]) % отключение обозначений координат по оси x

set(gca,'YTick',[])

set(gca,'YTickLabel',[])

% функция, возвращающая координаты вершин дракона function z=Coord(p,Lmax,Axiom,Newf,Newx,Newy,alpha,teta)

Rule=DraconString(Lmax,Axiom,Newf,Newx,Newy,1,''); % задание L-

системы

M=length(Rule); for i=1:M

tmp=p(1:2,size(p,2):size(p,2));

if Rule(i)=='F' % шаг вперед R=[cos(alpha);sin(alpha)];

R=R/(2^Lmax); % масштабирование рисунка в зависимости от числа итераций

248

tmp=tmp+R;

p=cat(2,p,tmp); end

if Rule(i)=='+' % увеличение угла alpha=alpha+teta;

end

if Rule(i)=='-' % уменьшение угла alpha=alpha-teta;

end end z=p;

% функция, возвращающая L-систему

function z=DraconString(Lmax,Axiom,Newf,Newx,Newy,n,tmp_str)

if n <= Lmax if n==1

tmp_str=Axiom; end

M=length(tmp_str);

tmp=''; % создание пустой строки

for i=1:M

if tmp_str(i)=='F' tmp=strcat(tmp,Newf);

end

if tmp_str(i)=='X' tmp=strcat(tmp,Newx);

end

if tmp_str(i)=='Y' tmp=strcat(tmp,Newy);

end

if not(tmp_str(i)=='F') && not(tmp_str(i)=='X') && not(tmp_str(i)=='Y')

tmp=strcat(tmp,tmp_str(i)); end

end

tmp_str=tmp; n=n+1;

tmp_str=DraconString(Lmax,Axiom,Newf,Newx,Newy,n,tmp_str); %

рекурсия end z=tmp_str;

249

На рис. 22.1 показан Дракон Хартера–Хейтуэя для различного числа итераций. Время расчета L-системы очень быстро увеличивается с ростом числа итераций.

Рис. 22.1. Дракон Хартера–Хейтуэя для различного числа итераций

250