Красавин Компютерныы практикум в среде МатЛаб 2015

Рис. 19.2. Спектральный анализ крика голубого кита

В примере 19.3 приведен код для анализа частотного спектра одномерной цепочки атомов (рис. 19.3, 19.4).

Пример 19.3. В примере предусмотрена возможность наблюдения колебаний атомов в реальном времени; для этого следует раскомментировать (закомментировать) обозначенные строки.

Fs = 10; %Fs – частота дискретизации dt = 1/Fs; % dt - шаг по времени

a = 1; % a – межатомное расстояние N = 50; %N – количество атомов

L = 10000; %L – число шагов по времени

alpha = 1; %alpha – коэффициент взаимодействия атомов

lattice = [a:a:(a*N)]; %lattice – 'решетка', начальное положение атомов

M = 1; %M – атомная масса, по умолчанию все атомы одинаковые и имееют массу 1

coord = lattice + a*(2*rand(1,N)-1)/100; %coord – вектор координат атомов, задаем случайное начальное отклонение

221

% раскомментировать для визуализации колебаний

%coord=lattice;

%coord(1)=coord(1)+rand/10;

%

coordPast = coord; % coordPast – вектор координат атомов на предыдущей итерации

coordFuture = coord; % coordFuture – вектор координат атомов на будущей итерации; предназначены для реализации разностной схемы Эйлера

position = zeros(L,N); % position – матрица положений атомов во времени

h = waitbar(0,'Period calculating'); % инициализация waitbar для отображения процесса подсчета координат; % закомментировать при визуализации колебаний

%figure

for j = 1:1:L % цикл по времени

for i = 1:1:N % цикл по координатам

if i == 1 % учет краевых уcловий Борна–Кармана coordFuture(1) = dt^2*(-alpha/M)*(2*coord(1)- (coord(N)-(lattice(end)))-coord(2))+2*coord(1)- coordPast(1);

elseif i == N % реализация разностной схемы Эйлера coordFuture(N) = dt^2*(-alpha/M)*(2*coord(N)-coord(N- 1)-(coord(1)+lattice(end)))+2*coord(N)-coordPast(N);

else

coordFuture(i) = dt^2*(-alpha/M)*(2*coord(i)-coord(i- 1)-coord(i+1))+2*coord(i)-coordPast(i);

end

end

coordPast = coord; % переход на следующую итерацию coord = coordFuture;

position(j,:) = coordFuture; % текущее положение атомов

% раскомментировать для визуализации колебаний

%plot(lattice,lattice-coordFuture,’or’) %axis([min(lattice)-1 max(lattice)+1 -1/10 1/10]) %drawnow

%pause(dt)

waitbar(j/L) % закомментировать при визуализации колебаний end

222

close(h) % закомментировать при визуализации колебаний

f = [0:1:(L-1)]*Fs/L*2*pi; % f – сетка по частотам для дискретного фурье-преобразования

Y = zeros(N,L); % Y – будущий фурье-образ зависимости положений атомов от времени

h = waitbar(0,'FFT'); % инициализация waitbar для отображения процесса дискретного фурье-преобразования; закомментировать при визуализации колебаний

/numel(position(:,i)); % нормировка

Y(i,:) = fft(position(:,i)); % дискретное фурье-преобразование Y(i,:) = abs(Y(i,:)); % амплитудное значение фурье-образа waitbar(i/N) % закомментировать при визуализации колебаний

end

close(h) % закомментировать при визуализации колебаний

sumY = sum(Y(i,:),1); % суммируем фурье-образы в один фурье-образ всей системы

k = (2*pi/a)*(0:1:(N-1))/N; % k – массив волновых векторов системы

analit_omega = omega(1:end/2); % analit_omega – рассматриваем только одну ветвь частот

[pks,locs] = findpeaks(sumY(1:end/20), f(1:end/20), 'Npeaks', numel(analit_omega)-1); % ищем значения частот акустических колебаний в полученном суммарном фурье-образе

locs = sort(locs); % cортируем полученные значения частот (locs)

рассматриваем только 1/20, так как остальная часть не несет полезной информации

xlabel('Частота (рад/с)') ylabel('Амплитуда')

title('{\bf Частотные компоненты колебаний одномерной цепочки атомов}')

figure % рис. 19.4

plot([-k(end/2:-1:1) k(1:end/2)],[locs(end:-1:1) 0 0 locs],’*b’) % строим законы дисперсии

223

hold on

plot([-k(end/2:-1:1) k(1:end/2)], [analit_omega(end:-1:1) analit_omega],’r’)

xlabel('Волновой вектор') ylabel('Частота (рад/с)')

title('{\bf Закон дисперсии акустической ветви одномерной цепочки атомов}')

legend({'Полученные значения', 'Аналитическое выражение'}, 'Location', 'SouthWest')

Рис. 19.3. Акустическая ветвь колебаний цепочки атомов

224

20

Разреженные матрицы

20.1. Схема хранения

Разреженными называются матрицы, содержащие нулевые элементы, число которых намного превосходит число ненулевых элементов. Разреженные матрицы встречаются в различных научных областях; для работы с ними созданы специальные алгоритмы. Строго говоря, матрица может считаться разреженной, если компактная схема хранения ее элементов и алгоритмы для разреженных матриц дают существенный выигрыш в быстродействии и использовании памяти по сравнению с обычными плотными матрицами.

Элементы разреженных матриц хранятся в специальных массивах, имеющих тип double array (sparse). В этих массивах хранятся только ненулевые элементы, а также информация о месте в матрице, где эти элементы находятся. Функция sparse переводит схему хранения матрицы из обычной в разреженную:

A = [ 4 0 0 -1 0 % поэлементное задание матрицы

0 0 2 0 1

1 1 0 0 0

3 0 0 0 -7

0 0 5 0 5]

A =

AS = sparse(A)

На рис. 20.1 показана схема хранения разреженной матрицы в MatLab.

Рис. 20.1. Схема хранения разреженной матрицы вMatLab

20.2. Создание разреженных матриц

Функция sparse, помимо преобразования полной матрицы в разреженную, предоставляет возможность создания разреженной

227

матрицы используя векторы, содержащие значения ненулевых элементов и их положения в матрице:

AS = sparse(i,j,nzer,m,n)

Здесь i – вектор строчных индексов ненулевых элементов; j – вектор столбцевых индексов ненулевых элементов; nzer – вектор ненулевых элементов; m,n – размеры полной матрицы. Матрица на рис 20.1 может быть задана при помощи следующих команд:

i = [1 3 4 3 2 5 1 2 4 5]; % элементы разреженной матрицы перечисляются по столбцам

j = [1 1 1 2 3 3 4 5 5 5]; nzer = [4 1 3 1 2 8 -1 1 -7 5]; AS = sparse(i,j,nzer,5,5);

В следующих примерах разобраны различные способы задания разреженных матриц при помощи функции sparse, эффективные и неэффективные.

Пример 20.1. При помощи следующих команд можно создать трехдиагональную разреженную матрицуследующего вида:

j = [1:10 1:9 2:10]; % индексы столбцов

s = [2*ones(1,10) ones(1,9) ones(1,9)]; % элементы матрицы

B = sparse(i,j,s); % при отсутствии четвертого и пятого аргументов размеры матрицы вычисляются автоматически, исходя из максимальных значений элементов векторов i и j

228

Пример 20.2. Разберем эффективные и неэффективные способы создания разреженных матриц.

%1

%самый неэффективный способ

%n – размер квадратной матрицы

%nz – число ненулевых элементов

A = sparse(n,n); % инициализация разреженной матрицы размера nхn

for k = 1:nz

i = 1 + fix(n*rand(1)); % строки и столбцы выбираются случайно j = 1 + fix(n*rand(1));

x = rand(1);

A(i,j) = A(i,j) + x; % в выбранное место матрицы записывается случайное число; такая операция чрезвычайно медленно работает с разреженными матрицами

end

%2

%более эффективной является предварительная инициализация массивов индексов строк, столбцов и значений элементов

i = zeros(nz,1); % инициализация массива индексов строк j = zeros(nz,1);

x = zeros(nz,1);

for k = 1:nz

i(k) = 1 + fix(n*rand(1)); j(k) = 1 + fix(n*rand(1)); x(k) = rand(1);

end

A = sparse(i,j,x);

%3

%наилучший способ – полностью избегать циклов for

e = rand(3,nz);

e(1,:) = 1 + fix(n*e(1,:)); e(2,:) = 1 + fix(n*e(1,:));

A = sparse(e(1,:),e(2,:),e(3,:));

229

Пример 20.3. Рассмотрим функцию spy.

p32 = pascal(32); % матрица Паскаля – матрица, элементами которой являются биномиальные коэффициенты

s32 = rem(p32,2); % функция rem вычисляет остаток от деления элементов матрицы на 2; получается матрица из нулей и единиц

sps32 = sparse(s32); % создание разреженной матрицы

figure % рис. 20.2

spy(sps32) % функция spy рисует портрет матрицы – ненулевые элементы отмечаются точками; под графиком выводится число ненулевых элементов в матрице; портрет этой матрицы совпадает с ковром Серпинского

set(gca, 'LineWidth',1)

set(gca, 'FontName', 'Trebuchet MS') set(gca, 'FontSize', 8)

set(gca, 'FontWeight', 'bold')

Рис. 20.2. Портрет разреженной матрицы

20.3. Операции с разреженными матрицами

Все такие операции линейной алгебры, как сложение, вычитание, умножение матриц и т.д., реализованы в MatLab и для

230