Красавин Компютерныы практикум в среде МатЛаб 2015

x(k) = x1(i); % массив чисел, имеющих заданный закон распределения

end

end

x(k+1:end) = []; % незаполненные элементы массива x удаляются

D = max(x); delta = D/20;

figure % рис. 16.5 H = hist(x,20);

bar(H) % построение гистограммы распределения

hold on

xr = [0 : 0.05 : 20*delta];

f = H(1) * exp(-xr.^2); % нормировка функции на первый столбец гистограммы

plot(xr/delta,f,'r','LineWidth',3) % построение огибающей функции set(gca, 'LineWidth',1)

set(gca, 'FontName', 'Trebuchet MS') set(gca, 'FontSize', 8)

set(gca, 'FontWeight', 'bold')

title('\xi: p(x)=exp(-x^2); x\in[0,\infty]','FontSize', 12, 'FontName', 'Trebuchet MS')

Рис. 16.5. Гистограмма случайных чисел, распределенных с плотностью на интервале

191

Задания

16.1. Методом обратной функции сгенерировать случайные

16.2. Методом Неймана сгенерировать случайные числа,

192

17

Расчет интегралов методом Монте-Карло

.

1.

193

Следует отметить, что сходимость результата к точному значению следует также из закона больших чисел, согласно

Более того, справедлив усиленный закон больших чисел:

Для оптимального расчета интеграла с минимальной погрешностью следует выбирать распределение , пропорциональное | | или, по возможности, близкое к этому. Докажем это утверждение.

Воспользуемся известным неравенством Коши–Буняковского в интегральном виде:

194

Положим

; ,

тогда

Отсюда находим оценку снизу для дисперсии:

Выберем распределение

Из распределения следует, что

Подставив это выражение в выражение для дисперсии, имеем

195

низшей границе неравенства для дисперсии. Такой расчет

Для иллюстрации эффективности такого выбора рассмотрим интеграл

/

sin 1.

Используем для расчета интеграла различные нормированные функции распределения, также определенные на интервале 0,π/2

(рис. 17.1):

Рис. 17.1. Подынтегральная функция и различные плотности распределения для расчета интеграла методом Монте-Карло

196

Методом обратной функции найдем случайные числа, распределенные на интервале 0,π/2 с плотностями и соответственно:

где – случайное число, равномерно распределенное на интервале

0,1 .

На рис. 17.2 показан процесс сходимости расчетного значения интеграла к точному значению в зависимости от числа сгенерированных случайных точек.

Эффективность метода Монте-Карло растет с размерностью рассчитываемого интеграла. Расчет двумерных и трехмерных интегралов методом Монте-Карло более эффективен, чем расчет при помощи разностных схем. Метод Монте-Карло с успехом используется для различных физических и математических задач и процессов: для моделирования систем массового обслуживания,

197

информационных потоков, процессов протекания, процессов распространения нейтронов в средах и т.д.

Рис. 17.2. Выбор функции распределения сильно влияет на скорость сходимости расчета интеграла методом Монте-Карло

В примере 17.1 приведен код, реализующий приближение интеграла с распределениями и .

Пример 17.1. function IntMonte(N)

R = rand(1,N);

I1 = zeros(1,N);

I2 = zeros(1,N);

for i = 1 : N

I1(i) = pi/2/i*sum(sin(pi/2*R(1:i)));

I2(i) = pi/4/i*sum(sin(pi*sqrt(R(1:i))/2)./sqrt(R(1:i))); end

198

figure plot(I1,'b','LineWidth',2) hold on plot(I2,'r','LineWidth',2) set(gca, 'LineWidth',1)

set(gca, 'FontName', 'Trebuchet MS') set(gca, 'FontSize', 8)

set(gca, 'FontWeight', 'bold')

leg = legend('p(x)=2/\pi', 'p(x)=8x/\pi^2', 'Location', 'SouthEast');

set(leg, 'Box', 'off', 'FontName', 'Trebuchet MS', 'FontAngle', 'italic', 'FontSize', 10, 'FontWeight', 'bold')

Задания

17.1. Оптимизировать код из примера 17.1, использовав

17.3. Аппроксимировать интеграл

,

использовав распределения

const;

.

Сравнить скорость сходимости интеграла к точному значению.

199

18

Алгоритм Метрополиса

18.1. Марковская цепь. Понятие эргодичности

Допустим, моделируется броуновское движение, и на каждом вычислительном (и временном) шаге одна из частиц перемещается на какое-то расстояние, что приводит к новому расположению частиц. После передвижения частица «не помнит» своего начального положения, т.е. информация о предыдущем состоянии «стирается». Случайное блуждание является примером марковской цепи. На каждом шаге появляется новое состояние системы, и процесс представляет собой цепь последовательных состояний. Переход из предыдущего состояния в новое зависит только от предыдущего состояния, или, точнее, вероятность нахождения системы в данном состоянии зависит только от предыдущего состояния. Обозначим через

совокупность координат и импульсов), описывающие ее состояние (система может быть многочастичной). Например, может обозначать какую-либо из базисных функций системы, и тогда последовательность описывает переходы от одной базисной функции к другой.

Обозначим через