Сумин Интегралные уравнения Фредголма и Волтерра 2016

Так как 1−λ ≠ 0 , то cos (π 1−λ)= 0 , т.е.

уравнений (6.6) принимает вид

C1 0 +C2 = 0;

C2 = 0,

отсюда С2 = 0 , C1 =C , где C произвольно. Значит, исходное инте-

гральное уравнение имеет бесконечно много решений, определяемых формулой (6.5):

Итак, характеристические числа и собственные функции данного интегрального уравнения имеют вид

Рассмотрим неоднородное интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода (1.1) с симметричным ядром. Если функция f (x) непре-

рывна на [a, b] и числовой параметр λ не совпадает с характеристическими числами λn (n = 1, 2, …) соответствующего однород-

ного уравнения, то неоднородное уравнение (1.1) имеет единственное решение

где yn (x) – собственные функции соответствующего однородного уравнения,

31

причем ряд, стоящий в правой части формулы (6.7), сходится абсолютно и равномерно на [a, b] .

Если же параметр λ совпадает с одним из характеристических чисел, например λ = λ1 ранга q (т.е. λ1 отвечает q л.н.з. (линейно независимых) собственных функций y1 (x) , y2 (x) , …, yq (x) ), то

неоднородное уравнение (1.1), вообще говоря, не имеет решений. Решения существуют, когда выполняются q условий

т.е. когда функция f (x) ортогональна ко всем собственным функциям y1 (x) , y2 (x) , …, yq (x) , принадлежащим характеристическо-

му числу λ1 . В этом случае неоднородное уравнение имеет бесконечно много решений

y(x) = f (x) +C1 y1 (x) +C2 y2 (x) +... +Cq yq (x) −

(x +1)t, 0 ≤ x ≤ t;

K (x, t) =

(t +1)x, t ≤ x ≤1.

Решение. Соответствующее однородное уравнение запишем в следующем виде

32

Дифференцируя уравнение (6.11), получаем

Повторное дифференцирование с учетом (6.11) дает y′′(x) =λ (x +1) y(x) −λxy(x) =λy(x) .

Из равенств (6.11) и (6.12) получаем, что y(0) = y′(0) , y(1) = y′(1) .

Итак, исходное интегральное уравнение сведено к следующей краевой задаче

Здесь возможны два случая.

Случай 1. Пусть λ = μ2 > 0 (считаем, что μ > 0 ). Уравнение

(6.13) принимает вид

y′′(x) −μ2 y(x) = 0 ,

откуда получаем общее решение

y(x) =C1 ch μx +C2 sh μx .

Тогда

y′(x) =C1μsh μx +C2μch μx .

Краевые условия (6.14) дают следующую систему уравнений

C1 = μC2 ,

C1 ch μ+C2 sh μ = C1μsh μ+C2μch μ,

C1 = μC2 ,

(C1 −μC2 ) ch μ = (μC1 −C2 )sh μ,

или

C1 = μC2 ,

(μ2 −1)C2 sh μ = 0.

С учетом того, что μ > 0 (sh μ ≠ 0 ), получаем систему уравнений

33

C1 = μC2 ,

(μ2 −1)C2 = 0,

которая при μ2 ≠1 имеет единственное решение C1 =0 , C2 = 0 .

Значит, в этой ситуации интегральное уравнение имеет тривиальное решение y(x) ≡ 0 .

Пусть λ = λ0 = μ2 =1 , т.е. μ =1. Уравнение (6.13) принимает вид

Тогда

y′(x) = −C1μ sin μx +C2μ cosμx .

Краевые условия (6.14) дают следующую систему уравнений

Так как система (6.16) – однородная, то она будет иметь ненулевое решение, только если основной определитель данной системы равен нулю:

34

уравнение имеет бесконечно много решений, определяемых формулой:

y(x) =C (sin nπx + nπcos nπx) , n = 1, 2, … .

Итак, характеристические числа и собственные функции данного интегрального уравнения имеют вид

λ0 =1 , y0 (x) = ex ,

λn = −n2 π2 , yn (x) =sin nπx + nπcos nπx , n = 1, 2, … .

1. Если λ ≠1 и λ ≠ −n2 π2 (n = 1, 2, …), то исходное неоднородное уравнение имеет единственное решение, которое будет определяться по формуле (6.7):

y(x) = cos πx −

35

то

3. Если λ = −n2π2 (n = 2, 3, …), то исходное неоднородное интегральное уравнение имеет бесконечно много решений, которые определяются по формуле (6.10):

y(x) =cos πx +C (sin nπx + nπcos nπx) +

где C – произвольная постоянная.

§ 7. Альтернатива Фредгольма

Рассмотрим интегральные уравнения Фредгольма 2-го рода

36

Согласно альтернативе Фредгольма для фиксированного характеристического числа λ или неоднородное уравнение (7.1) при заданной непрерывной функции f (x) имеет единственное решение (λ

не является характеристическим числом, 1-й случай альтернативы), или соответствующее ему однородное уравнение (7.2) имеет по крайней мере одно ненулевое решение (λ – характеристическое число, 2-й случай альтернативы).

Во 2-м случае альтернативы (т.е. когда λ – характеристическое число) для существования решения неоднородного уравнения (7.1) необходимо и достаточно, чтобы функция f (x) была ортогональна

любому решению z(x) однородного сопряженного уравнения (7.4), т.е.

При выполнении последнего условия (7.5) уравнение (7.1) будет иметь бесконечное множество решений. Если же f (x) не ортого-

нальна хотя бы одному из решений z(x) однородного уравнения

(7.4), то неоднородное уравнение (7.1) решений не имеет.

Если ядро K (x, t) интегрального уравнения (7.1) симметрично,

то однородное сопряженное уравнение (7.4) совпадает с однородным уравнением (7.2), соответствующим уравнению (7.1).

В случае неоднородного интегрального уравнения (7.1) с вырожденным ядром (4.1)

условие (7.5) ортогональности правой части этого уравнения дает n равенств

37

Отметим, что при использовании альтернативы Фредгольма вместо того, чтобы доказывать, что данное неоднородное интегральное уравнение (7.1) имеет единственное решение, часто бывает проще доказать, что соответствующее однородное уравнение (7.2) имеет только нулевое (тривиальное) решение.

Пример 7.1. Исследовать на разрешимость при различных значениях параметра λ интегральное уравнение

Решение. Ядро K (x, t) =sin ln x 1 является вырожденным, где

1. Если λ ≠ −2 , то данное неоднородное интегральное уравнение имеет единственное решение

y(x) = λ2+λ2 sin ln x + 2x ,

а соответствующее однородное уравнение

38

имеет только нулевое решение (λ не является характеристическим числом, 1-й случай альтернативы Фредгольма).

2. Если λ = −2 , то исходное неоднородное интегральное уравнение не имеет решений, так как правая часть f (x) = 2x не ортого-

нальна к функции p(x) =sin ln x , поскольку

∫1 2x sin ln x dx ≠ 0 .

0

Соответствующее однородное уравнение имеет бесконечное множество решений (λ – характеристическое число, 2-й случай альтернативы Фредгольма). Действительно, в случае однородного уравнения соотношение для определения константы C, соответсвующее (7.8), принимает вид

C 0 = 0 ,

т.е. C произвольно.

Все эти решения определяются формулой

y(x) =Cλ sin ln x = −2C sin ln x =C1 sin ln x .

Пример 7.2. Исследовать на разрешимость при различных значениях параметра λ интегральное уравнение

y(x) −λ ∫π cos2 x y(t) dt =1.

0

Решение. Ядро K (x, t) = cos2 x 1 является вырожденным, где p(x) = cos2 x , q(t) =1.

Обозначим C = ∫π y(t) dt . Тогда исходное уравнение запишется

0

в виде

Подставим (7.9) в выражение для C и получим

39

C = Cλ ∫π cos2 t dt + ∫π 1 dt ,

0 0

откуда

C1 − πλ = π . (7.10)

2

1.Если λ ≠ π2 , то данное неоднородное интегральное уравнение

имеет единственное решение

имеет только нулевое решение (λ не является характеристическим числом, 1-й случай альтернативы Фредгольма).

Соответствующее однородное уравнение имеет бесконечное множество решений (λ – характеристическое число, 2-й случай альтернативы Фредгольма). Действительно, в случае однородного уравнения соотношение для определения константы C, соответсвующее (7.8), принимает вид

C 0 = 0 ,

т.е. C произвольно.

40