Сумин Интегралные уравнения Фредголма и Волтерра 2016

Пример 14.3. Установить, существует ли функция Грина для данной краевой задачи, и если существует, то построить ее

Решение. Выясним сначала, существует ли функция Грина для однородной краевой задачи (14.9). Очевидно, что исходное дифференциальное уравнение имеет решение

y(x) =C1 cos x +C2 sin x .

Краевые условия дают два соотношения для определения коэффициентов C1 и C2 :

y(0) = C1 cos 0 +C2 sin 0 = C1 = 0;y(π) = C1 cos π +C2 sin π = −C1 = 0,

или

C1 = 0;

−C1 = 0,

откуда C1 =0 , C2 произвольно. Последняя система уравнений имеет бесконечное множество решений, и решение краевой задачи

(14.9) имеет вид y(x) =C2 sin x .

Таким образом, для данной краевой задачи функции Грина не существует.

71

Краевая задача для дифференциального уравнения 2-го порядка

сводится к рассмотренной краевой задаче (14.3), (14.2) следующим образом:

1) дифференциальное уравнение (14.10) приводится к виду

(14.3) путем умножения (14.10) на функцию p(x) = e ∫p1 ( x) dx , при этом в качестве q(x) следует брать p(x) p2 (x) ;

2) краевые условия (14.11) сводятся к однородным краевым условиям (14.2) линейной заменой исходной функции

z(x) = y(x) − Bb −−aA (x −a) − A .

При такой замене линейность уравнения (14.10) не нарушается, но в отличие от уравнения (14.3), теперь получается неоднородное дифференциальное уравнение

При этом функция Грина строится для однородной краевой задачи

L(z) = 0;

z(a) = z(b) = 0,

которая полностью совпадает с краевой задачей (14.3), (14.2). Пример 14.4. Установить, существует ли функция Грина для

данной краевой задачи, и если существует, то построить ее

x2 y′′+ xy′− n2 y = 0, n > 0;

y(0) конечно, y(1) = 0.

72

Решение. Запишем данную краевую задачу в следующем виде

где f (x) = A − n2 A + Anx 2 .

Выясним, существует ли функция Грина для соответствующей однородной краевой задачи

73

Полученное дифференциальное уравнение 2-го порядка (14.15) является уравнением Эйлера и имеет решение

z(x) = C1 xn + Cxn2 .

Первое краевое условие (14.16) дает C2 = 0 , так как в противном случае z(x) →∞ при x → 0 . Второе краевое условие (14.16) дает C1 =0 . Краевая задача (14.15), (14.16) имеет только нулевое решение y(x) ≡ 0 . Итак, функция Грина существует и единственна. Согласно 1-му методу запишем формально G(x, ξ) в виде

Из непрерывности G(x, ξ) при x =ξ (свойство 1) получаем a1ξn + ξa2n = b1ξn + ξb2n .

Скачок Gx′(x, ξ) в точке ( x =ξ ) (свойство 2) равен ξ12 , поэтому

или

74

Теперь используем свойство 4 функции Грина, согласно которому G(x, ξ) должна удовлетворять кравевым условиям (14.16):

G(0, ξ) = 0 , G(1, ξ) = 0 . Указанные условия принимают вид

75

Используя то, что ck =bk −ak (k = 1, 2) и пользуясь соотношениями

(14.19), (14.20), запишем

§ 15. Применение функции Грина для решениякраевых задач

Если функция Грина G(x, ξ) является решением однородной задачи (14.3), (14.2), то решение краевой задачи

76

определяется формулой

Пример 15.1. Используя функцию Грина, решить следующую краевую задачу

Решение. Выясним сначала, существует ли функция Грина для однородной краевой задачи

откуда С1 =С2 = 0 , т.е. краевая задача (15.5) имеет только нулевое решение y(x) ≡ 0 . Итак, функция Грина существует и единственна. Решение y1 (x) =sin 2x удовлетворяет краевому условию y1 (0) =0 , а решение y2 (x) = cos2x удовлетворяет краевому условию

y2 π4 = 0 , причем эти решения являются л.н.з.

Тогда согласно 2-му методу найдем значение определителя Вронского для y1 (x) =sin 2x и y2 (x) = cos2x в точке x =ξ :

77

= −2sin2 2ξ− 2cos2 2ξ = −2 .

Отметим, что p(x) =1 . Тогда согласно (14.6) находим

Решение краевой задачи (15.4) запишется в виде