Сумин Интегралные уравнения Фредголма и Волтерра 2016

Таким образом, если числовой параметр λ и функция y(x) яв-

ляются соответствующими друг другу собственным значением и собственной функцией (ненулевым решением) краевой задачи (14.1), (14.2), то λ и y(x) являются отвечающими друг другу ха-

рактеристическим числом и собственной функцией интегрального уравнения (16.1).

Отметим, что ядро K (x, ξ) = G(x, ξ) r(ξ) интегрального уравне-

ния (16.1), вообще говоря, – несимметричное.

Преобразуем интегральное уравнение (16.1), умножив обе части

a

с симметричным ядром

K (x, ξ) = G(x, ξ) r(x) r(ξ) .

Интегральные уравнения (16.1) и (16.2) эквивалентны, т.е. если при некотором λ непрерывная функция y(x) – решение интегрального

уравнения (16.1), то непрерывная функция z(x) = y(x) r(x) – ре-

шение интегрального уравнения (16.2) при том же λ, и, наоборот, если непрерывная функция z(x) является решением интегрального

уравнения (16.2), то непрерывная функция y(x) = zr((xx)) (напом-

ним, что r(x) >0 на [a, b] ) является решением интегрального

уравнения (16.1).

Во многих случаях приходится рассматривать дифференциальное уравнение 2-го порядка вида

с краевыми условиями (14.2).

81

При h(x) ≡ 0 получаем дифференциальное уравнение

Если однородная краевая задача (16.4), (14.2) имеет функцию Грина G(x, ξ) , то краевая задача (16.3), (14.2) эквивалентна уравнению

Фредгольма 2-го рода

В частности, однородная краевая задача (16.4), (14.2) эквивалентна однородному интегральному уравнению

к интегральному уравнению.

Решение. В данном примере согласно (14.1) имеем p(x) =1 , r(x) =1, q(x) = −1 .

Найдем функцию Грина G(x, ξ) для соответствующей однородной краевой задачи

82

Пользуясь функцией Грина, получим следующее интегральное уравнение (типа (16.1) или (16.2), где r(x) ≡1)

Отметим, что ядро K (x, ξ) =G(x, ξ) r(ξ) в данном примере являет-

ся симметричным.

Пример 16.2. Свести краевую задачу

к интегральному уравнению.

Решение. Выясним сначала, существует ли функция Грина для соответствующей однородной краевой задачи

решение y(x) ≡ 0 . Итак, функция Грина существует и единственна.

83

Решение y1 (x) = x удовлетворяет краевому условию y1 (0) =0 , а

y2 π2 = 0 , причем эти решения являются л.н.з.

Тогда согласно 2-му методу найдем значение определителя

Пользуясь функцией Грина как ядром интегрального уравнения, запишем следующее интегральное уравнение

Итак, краевая задача (16.8) свелась к интегральному уравнению

84

Пример 16.3. Свести краевую задачу

к интегральному уравнению.

Решение. Выясним сначала, существует ли функция Грина для соответствующей однородной краевой задачи

Очевидно, что дифференциальное уравнение y′′(x) =0 имеет решение y(x) = Ax + B . Краевые условия дают два соотношения для определения A и B:

откуда A = B = 0 , т.е. краевая задача (16.11) имеет только нулевое решение y(x) ≡ 0 . Итак, функция Грина существует и единственна.

Согласно 1-му методу выражение для функции Грина записывается в виде, аналогичном общему решению дифференциального уравнения:

85

Воспользуемся свойством 4 функции Грина, а именно тем, что она должна удовлетворять краевым условиям

G(0, ξ) =Gx′(1, ξ);Gx′(0, ξ) =G(1, ξ).

Тогда

a2 =b1;a1 = b1 +b2 .

Так как ck =bk −ak (k = 1, 2), то получаем систему уравнений

b1 −a1 =1;

b2 −a2 = −ξ;

a2 =b1;

a1 =b1 +b2 ,

откуда

b1 −a1 =1;

2b1 −a1 =ξ, т.е. a1 = ξ−2 , b1 =ξ−1, a2 =ξ−1, b2 = −1,

(ξ−2)x +ξ−1, 0 ≤ x ≤ ξ;

G(x, ξ) = (ξ−1)x −1, ξ ≤ x ≤1.

Пользуясь функцией Грина как ядром интегрального уравнения, запишем следующее интегральное уравнение

Итак, краевая задача (16.10) свелась к интегральному уравнению

86

Задачи для самостоятельного решения

Интегральные уравнения Фредгольма

Решить методом последовательных приближений следующие интегральные уравнения.

1. y(x) = ∫1 xex−t y(t) dt + ex .

0

2. y(x) = 1 ∫π t sin x y(t) dt +cos x . 2π 0

Построить резольвенту для интегрального уравнения.

3. y(x) =λ ∫1 xet y(t) dt + f (x) .

−1

Решить методом итерированных ядер следующие интегральные уравнения.

Решить следующие интегральные уравнения с вырожденными ядрами.

Найти характеристические числа и собственные функции следующих интегральных уравнений с вырожденными ядрами.

Найти характеристические числа и собственные функции следующих интегральных уравнений с симметричными ядрами.

x (t −1), 0 ≤ x ≤ t;

K (x, t) =

t (x −1), t ≤ x ≤1.

Исследовать на разрешимость при различных значениях параметра λ следующие интегральные уравнения.

Интегральные уравнения Вольтерра

Решить методом последовательных приближений следующие интегральные уравнения.

16. y(x) = ∫x (x −t) y(t) dt + x .

0

88

Решить следующие интегральные уравнения путем сведения их

кдифференциальным уравнениям.

18.y(x) = 2sh x +1− ∫x (x −t) y(t) dt .

Построить резольвенту для интегрального уравнения.

Решить методом итерированных ядер следующие интегральные уравнения.

Решить следующие интегральные уравнения с вырожденным ядром.

Решить интегральные и интегро-дифференциальные уравнения с помощью преобразования Лапласа.

26. y(x) = −5 ∫x sh (x −t) y(t) dt +ch x + 4 .

0

89

Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений

Установить, существуют ли функции Грина для данных краевых задач, и если существуют, то построить их.

Используя функцию Грина, решить следующие краевые задачи.

Свести краевые задачи к интегральным уравнениям.

33.y′′= λy +ex ;

y(0) = y(1) =0.

90