Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сумин Интегралные уравнения Фредголма и Волтерра 2016

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2022

Размер:

1.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

Заметим, что z(0) =1, поэтому C =1. Таким образом, решение исходного уравнения имеет вид

y(x) = x z(x) = xex3 /3 .

Пример 10.2. Решить интегральное уравнение y(x) = sin x + ∫x sin (x −t) y(t) dt .

Дважды продифференцируем данное уравнение. С учетом (10.1) получим

			x
	′	(x) = cos x + ∫ cos (x −t) y(t) dt		,
	y	(x) = cos x + ∫ cos (x −t) y(t) dt		,
			0
			x
′′	(x) = −sin x + y(x) − ∫ sin (x −t) y(t) dt .
y	(x) = −sin x + y(x) − ∫ sin (x −t) y(t) dt .
			0	′′
Исключая из полученных выражений для y(x) , y				′′	интеграл
Исключая из полученных выражений для y(x) , y				(x)	интеграл
		∫x	sin (x −t) y(t) dt ,
		0

получим обыкновенное дифференциальное уравнение y′′= 0 . Отсюда y(x) =C1 x +C2 . Из выражений для y(x) , y′(x) вытекают следующие начальные условия: y(0) = 0 , y′(0) =1 . Решением данной задачи Коши

y′′(x) = 0;
	= 0,	′	(0)	=1
y(0)		y

будет функция y(x) = x .

§ 11. Итерированные ядра. Построение резольвенты уравнения Вольтерра

с помощью итерированных ядер. Решение уравнений с помощью резольвенты

Если в методе последовательных приближений для интегрального уравнения Вольтерра (8.1) выбрать в качестве нулевого при-

ближения y0 (x) = f (x) , то по аналогии с уравнением Фредгольма для n-го приближения можно получить формулу

	n	x
yn (x) = f (x) + ∑		λm+1 ∫ Km (x, t) f (t) dt =
	m=0	a
x	n
= f (x) + λ ∫	∑ λm Km (x, t) f (t) dt .		(11.1)

am=0

Вформуле (11.1) функции Km (x, t) , называемые итерированными ядрами, определяются следующим рекуррентным соотношением:

Km (x, t) = ∫x	K (x, s) Km−1 (s, t) ds ,	(11.2)
t

m = 1, 2, 3, … . Здесь K0 (x, t) = K (x, t) . Резольвента интегрального уравнения (8.1) (или резольвента ядра K (x, t) ) определяется формулой

∞
R(x, t, λ) = ∑ λm Km (x, t) .	(11.3)

m=0

Указанный ряд в случае непрерывного ядра сходится абсолютно и равномерно. В этом случае решение интегрального уравнения Вольтерра (8.1) может быть найдено по формуле

y(x) = f (x) + λ ∫x	R(x, t, λ) f (t) dt .	(11.4)
a

Пример 11.1. Построить резольвенту для интегрального уравнения

y(x) = ex2 + ∫ ex2 −t2 y(t) dt .

С помощью построенной резольвенты найти решение данного интегрального уравнения.

Решение. Запишем последовательность итерированных ядер. Имеем

K0 (x, t) = ex2 −t2 ,

K1 (x, t) = ∫x	K(x, s) K0 (s, t) ds = ∫x	ex2 −s2 es2 −t2 ds =
t	t

= ex2 −t2 ∫ ds = ex2 −t2 (x −t) .

Отметим, что при нахождении итерированных ядер уравнения Вольтерра интегрирование ведется не от a до x (в условии примера a = 0), а от t до x. Далее

K2 (x, t) = ∫x

K (x, s) K1 (s, t) ds = ∫x

ex2 −s2 es2 −t2 (s −t) ds =

= ex2 −t2 ∫x

(s −t) ds = ex2 −t2

(x −t)2

=ex2 −t2

(x −t)2

K3 (x, t) = ∫x

K (x, s) K2 (s, t) ds =

= ∫x

ex2 −s2 es2 −t2

(s −t)2

ds = ex2 −t2 ∫x

(s −t)2

ds =

= ex2 −t2

(x −t)3

= ex2 −t2

(x −t)3

…,

Kn (x, t) = ∫x

K(x, s) Kn−1 (s, t) ds = ex2 −t2

(x −t)n

Таким образом, согласно определению (11.3) имеем

∞

(x −t)

R(x, t, λ) = ∑ λn Kn (x, t) = ∑ λn ex

2 −t2

n=0

∞

−t)

= ex2 −t2 ∑ λn

= ex2 −t2

eλ( x−t ) .

n=0

В данном уравнении λ =1, поэтому R(x, t,1) = ex2 −t2 ex−t . Решение

данного интегрального уравнения определяется формулой (11.4), согласно которой получаем

y(x) = f (x) + ∫x	R(x, t,1) f (t) dt = ex2 + ∫x	ex2 −t2 ex−t et2 dt =
0	0

= ex2 + ex+x2 ∫ e−t dt = ex2 −ex+x2 (e−x −1) = ex+x2 .

Пример 11.2. Решить интегральное уравнение y(x) = ∫x (x −t) y(t) dt + x2 .

Решим данное интегральное уравнение тремя способами: 1) с помощью резольвенты; 2) методом последовательных приближений; 3) методом сведения интегрального уравнения к обыкновенному дифференцильному уравнению.

1-й способ. Запишем последовательность итерированных ядер:

K0 (x, t) = x −t ,

K1 (x, t) = ∫x

K (x, s) K0 (s, t) ds = ∫x

(x − s) (s −t) ds =

(x −t)3

K2 (x, t) = ∫x

K (x, s) K1 (s, t) ds =

= ∫x

(x − s)

(s −t)3

ds =

(x −t)5

K3 (x, t) = ∫x

K (x, s) K2 (s, t) ds = ∫x

(x − s)

(s −t)5

ds =

(x −t)7

…,

Kn (x, t) = ∫x

K (x, s) Kn−1

(s, t) ds

(x −t)2n+1

(2n +1)!

Таким образом, согласно (11.3)


			∞		∞	(x −t)		2n+1
	R(x, t, λ) = ∑			λn Kn (x, t) = ∑ λn		(x −t)			=
	R(x, t, λ) = ∑			λn Kn (x, t) = ∑ λn		(2n +		1)!	=
			n=0		n=0	(2n +		1)!
∞		λ (x −t)	2n+1	∞	λ(x −t) 2n+1
= ∑ λn		λ (x −t)		= ∑			= sh [ λ (x −t)] .
= ∑ λn		λ (2n +1)!		= ∑			= sh [ λ (x −t)] .
n=0		λ (2n +1)!		n=0	λ(2n +1)!				λ

В данном уравнении λ =1, поэтому R(x, t,1) =sh (x −t) .

Решение данного интегрального уравнения определяется фор-

мулой (11.4):

y(x) = f (x) + ∫x		R(x, t, 1) f (t) dt =
	0
= x2 + ∫x	sh (x −t) t2 dt = 2 (ch x −1) .
0
2-й способ. В качестве		нулевого приближения возьмем

y0 (x) = 0 . Строим по формуле (9.1) последовательность функций

{yn (x)} :

y1 (x) = f (x) + ∫x

K (x, t) y0 (t) dt = x2 ,

y2 (x) = f (x) + ∫x

K (x, t) y1 (t) dt =

= x2 + ∫x

(x −t) t2 dt = x2 +

−

= x2

y3 (x) = f (x) + ∫x

K(x, t) y2 (t) dt =

= x

+ ∫ (x −t) t

dt = x

360

…,

yn (x) = f (x) + ∫x

K(x, t) yn−1 (t) dt =

= x2 +

+... +

= 2

+... +

−2 .

(2n)!

360

(2n)!

Отсюда точное решение y(x) определяется как предел

y(x) = lim yn

(x) = 2 lim 1

+... +

− 2

n→∞

(2n)!

= 2 ch x −2 = 2 (ch x −1) .

3-й способ. Дважды продифференцируем данное интегральное уравнение и учтем (10.1). Получим

y′(x) = ∫x y(x) dt + 2x ,

y′′(x) = y(x) + 2 .

Решая последнее обыкновенное дифференциальное уравнение,

			′
получаем y(x) =C1 ch x +C2 sh x −2 . Из выражений для y(x) , y (x)
вытекают следующие начальные условия: y(0) =0		′	=0 . Ре-
вытекают следующие начальные условия: y(0) =0		, y (0)	=0 . Ре-
шением данной задачи Коши
y′′ = y + 2;
	′
y(0) = 0,	y (0) = 0

будет функция y(x) = 2 (ch x −1) .

§ 12. Интегральные уравнения с вырожденным ядром

Если ядро интегрального уравнения Вольтерра (8.1) является вырожденным, т.е. имеет вид, определяемый формулой (4.1), то уравнение Вольтерра 2-го рода можно записать в виде

n	x
y(x) = λ ∑ pk (x) ∫ qk (t) y(t) dt + f (x) .		(12.1)
k =1	a

Введем функции:
zk (x) = ∫x	qk (t) y(t) dt , k = 1, 2, …, n,	(12.2)
a

и подставим их в уравнение (12.1). Решение интегрального уравнения (8.1) с вырожденным ядром (4.1) принимает вид

n
y(x) = λ ∑ pk (x) zk (x) + f (x) .	(12.3)

k =1

Продифференцировав формулы (12.2) и подставив в полученные соотношения выражение y(x) из (12.3), получим систему диффе-

ренциальных уравнений для неизвестных функций zk (x) : zk′(x) = qk (x) y(x) =

= λ ∑ qk (x) pj (x) z j (x) + f (x) qk (x) , k = 1, 2, …, n. (12.4)

j=1

Из (12.2) при x = a вытекают начальные условия для функций zk (x) : z1 (a) = z2 (a) =... = zn (a) =0 . Полученные функции zk (x) ( k =1, n ) подставляем в (12.3) и получаем решение исходного инте-

грального уравнения Вольтерра 2-го рода с вырожденным ядром. Пример 12.1. Решить интегральное уравнение

y(x) = ∫x 2t y(t) dt + x2 .

1 x2

Решение. Ядро K (x, t) = xt2 является вырожденным, параметр

λ= 2 .

Обозначим

z(x) = ∫x	t y(t) dt .	(12.5)
1

Тогда исходное уравнение запишется в виде

y(x) =	2	z(x) + x2 .	(12.6)
	x2

Продифференцируем (12.5) и подставим вместо

y(x) выражение

(12.6). Получим

′

(x) = x y(x) = x

z(x) + x

Решением этого уравнения с учетом начального условия z(1) = 0 будет функция

z(x) = 12 (x4 − x2 ).

Подставляя ее в (12.6), получаем решение исходного интегрального уравнения:

y(x) = x22 z(x) + x2 = 2x2 −1 .

Пример 12.2. Решить интегральное уравнение

y(x) = ∫x	2	y(t) dt +1 .
	t ln x
e

Решение. Ядро K (x, t) = t ln1 x является вырожденным, параметр

λ= 2 .

Обозначим

z(x) = ∫x	y(t) dt	.	(12.7)

e	t

Тогда исходное уравнение запишется в виде

y(x) =	2	z(x) +1.	(12.8)
	ln x

Продифференцируем (12.7) и подставим вместо y(x) выражение

(12.8). Получим

′

(x) =

y(x) =

z(x) +1

z(x) +

x ln x

ln x

Решением этого уравнения с учетом начального условия z(e) =0 будет функция

z(x) = ln2 x −ln x .

Подставляя ее в (12.8), получаем решение исходного интегрального уравнения:

y(x) = ln2x z(x) +1 = 2 ln x −1.

§ 13. Интегральные уравнения с разностным ядром. Преобразование Лапласа. Решение интегральных и интегро-дифференциальных уравнений

Интегральные уравнения Вольтерра 1-го и 2-го рода

∫x	K(x, t) y(t) dt = f (x) ,		(13.1)
0
y(x) −λ ∫x		K (x, t) y(t) dt = f (x) ,	(13.2)
	0

у которых ядро K (x, t) зависит лишь от разности аргументов, т.е.

K (x, t) = K (x −t) , называются интегральными уравнениями Воль-

терра 1-го и 2-го рода типа свертки. Такие уравнения могут быть решены операторным методом. Суть этого метода состоит в том, что каждой функции f (x) (называемой оригиналом) взаимно одно-

значно ставится в соответствие функция F( p) (называемая изображением) по следующему правилу:

F ( p) = +∞∫ f (x) e− px dx ,

которое называется преобразованием Лапласа. Ключевым свойством преобразования Лапласа является свойство умножения изображений (теорема о свертке), которое определяется следующим соотношением:

f (x) * g(x) = ∫x		f (x −t) g(t) dt =
	0
= ∫x	f (x) g(x −t) dt F( p) G( p) ,		(13.3)
0

т.е. изображение свертки оригиналов f (x) * g(x) равно произведению их изображений F( p) и G( p) . Здесь соответствия между оригиналами f (x) и g(x) и их изображениями F( p) и G( p) обозначаются символически так: f (x) F( p) , g(x) G( p) .

Пусть y(x) Y ( p) , f (x) F( p) , K (x) K( p) . Пользуясь свой-

ством линейности преобразования Лапласа и теоремой о свертке (13.3), преобразуем исходное интегральное уравнение (13.2) в алгебраическое уравнение относительно изображений (операторное уравнение)

Y ( p) −λ K ( p) Y ( p) = F( p) ,				(13.4)
откуда находим
Y ( p) =		F ( p)	.	(13.5)
Y ( p) =	1	−λ K ( p)	.	(13.5)
	1	−λ K ( p)

По полученному изображению (13.5) восстанавливаем искомую функцию y(x) . Для перехода от оригиналов f (x) к изображениям

F( p) и обратно используем таблицу соответствия (табл. 13.1).

Пример 13.1. Решить интегральное уравнение с помощью преобразования Лапласа

		y(x) = ∫x	sin (x −t) y(t) dt + e−x .
		0
Решение. В данном уравнении						f (x) = e−x , K (x) =sin x , λ =1,
тогда f (x)	1	, K (x)		1	.	Пользуясь свойством линейно-
тогда f (x)	p +1	, K (x)		p2 +1	.	Пользуясь свойством линейно-

сти преобразования Лапласа и теоремой о свертке, получаем следующее операторное уравнение

			Y ( p) =		1	Y ( p) +	1	,
			Y ( p) =		p2 +1	Y ( p) +	p +1	,
					p2 +1		p +1
откуда	Y ( p) =	p2	+1	. Разлагая дробь, стоящую в правой части
откуда	Y ( p) =	p2 ( p +1)		. Разлагая дробь, стоящую в правой части
		p2 ( p +1)

на сумму простейших дробей, получаем

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.11.20223.17 Mб139Смирнов Сборник задач по физике конденсированного состояния 2012.pdf
#
12.11.202235.1 Mб29Солнцева Практический курс английского языка Ч.1 2011.pdf
#
12.11.202233.69 Mб10Солнцева Практический курс английского языка Ч.2 2011.pdf
#
12.11.20225.24 Mб53Стрелков Основы текхники термоядерного експеримента 2015.pdf
#
12.11.2022895.11 Кб2Струкова Сборник дополнителных текст 2014.pdf
#
12.11.20221.12 Mб7Сумин Интегралные уравнения Фредголма и Волтерра 2016.pdf
#
12.11.20224.42 Mб4Сурков Атомная физика посл.pdf
#
12.11.20222.76 Mб2Сурков Лабораторный практикум Атомная физика 2012.pdf
#
12.11.20222.66 Mб7Сурков Лабораторный практикум курса обсчей физики 2012.pdf
#
12.11.20222.55 Mб10Сурков Лабораторный практикум Спектры атомов и молекул 2012.pdf
#
12.11.20223.57 Mб4Троян Физические основы методов исследования наноструктур 2014.pdf