Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сумин Интегралные уравнения Фредголма и Волтерра 2016

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2022

Размер:

1.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Все эти решения определяются формулой

y(x) = Cλ cos2 x = 2πC cos2 x = C1 cos2 x .

Пример 7.3. Исследовать на разрешимость при различных значениях параметра λ интегральное уравнение

y(x) −λ ∫1

(2xt − 4x2 ) y(t) dt =1 − 2x .

Решение.

Ядро K (x, t) = 2xt − 4x2

является вырожденным, где

p (x) = 2x , q (t) =t , p

(x) = −4x2 , q (t) =1.

Запишем интегральное уравнение в следующем виде:

y(x) =λ 2x ∫1

ty(t) dt −λ 4x2 ∫1

y(t) dt +1 −2x .

Обозначим C1 = ∫1

ty(t) dt , C2

= ∫1

y(t) dt . Тогда

интегральное

уравнение запишется следующим образом:

y(x) = C λ 2x −C

λ 4x2 +1 − 2x .

(7.11)

Подставим (7.11) в выражения для C1 и C2 и получим систему

уравнений

C1 =

∫ t(C1 2λt −C2λ 4t2 +1 − 2t) dt;

∫1

C2 =

(C1λ 2t −C2λ 4t2 +1− 2t) dt,

или

					2					1
			C1	1 −		λ +C2			λ = −		;
			C1	1 −	3	λ +C2			λ = −	6	;
					3					6	(7.12)
							1	+ 4	λ = 0.		(7.12)
			−C λ + C				1	+ 4	λ = 0.
				1		2		3
								3
Вычислим главный определитель									и вспомогательные определи-
тели C и	C	2	системы уравнений (7.12):
1		2

	1 −	2	λ	λ										2						4							λ			2
	1 −	3	λ	λ																						2				2
		3																								2
=						4				= 1 −						λ 1			+			λ		+λ			=		+1	,
=										= 1 −				3		λ 1			+	3		λ		+λ			=	3	+1	,
	−λ 1			+				λ						3						3								3
	−λ 1			+	3			λ
					3
							−		1			λ							1					4
									1

							6
			C1 =										4				= −			1 +					λ		,
			C1 =														= −		6	1 +				3	λ		,
								0		1	+				λ				6					3
								0		1	+		3		λ
													3
								=		1−	2		λ			−		1	= −		1		λ .
											2							1

					C2						3					6
					C2						3					6					6
										−λ						0					6
										−λ						0

Если ≠ 0 , то по формулам Крамера

				−	1			+	4
				−	6	1		+	3	λ
C	=	C1	=		6				3			,
C	=		=						2			,
1						λ			2
						3	+1
						3
						−		λ
	C2 =		C2	=				6			.
	C2 =			=		λ				3	.
						λ
						3	+1
						3

1. Если λ ≠ −3 , то данное неоднородное интегральное уравнение имеет единственное решение

	−2λx		1		+	4					λ
	−2λx			1	+		λ 4x2				λ
											2
y(x) =			6			3		+			6	+1− 2x =
y(x) =		λ			2			+	λ	+	2	+1− 2x =
		λ			2				λ		2
				+1					3		1
	3								3

= 3x(2λ2 x −2λ2 −5λ −6) +(λ +3)2

(λ +3)2 ,

а соответствующее однородное уравнение

y(x) −λ ∫1 (2xt −4x2 ) y(t) dt = 0

имеет только нулевое решение (λ не является характеристическим числом, 1-й случай альтернативы Фредгольма).

2. Если λ = −3 , то система уравнений (7.12) принимает вид

			1						1
3C1	−3C2	= −		;	или	C1	−C2	= −		;
3C1	−3C2	= −	6	;		C1	−C2	= −	18	;
			6						18
	−3C2	= 0,					−C2	= 0.
3C1	−3C2	= 0,				C1	−C2	= 0.

Данная система уравнений несовместна, т.е. решений не имеет. Отметим, что исходное неоднородное интегральное уравнение также не имеет решений, так как правая часть f (x) =1−2x не ор-

тогональна к p (x) = 2x		и p	2	(x) = −4x2 , поскольку
	1		2
∫1	(1− 2x) 2x dx ≠ 0 и ∫1				(1− 2x) (−4x2 ) dx ≠ 0 .
0				0

Соответствующее однородное уравнение имеет бесконечное множество решений (λ – характеристическое число, 2-й случай альтернативы Фредгольма), так как однородная система уравнений для определения C1 и C2 , соответствующая (7.12), принимает вид

3C1 −3C2 = 0;

3C1 −3C2 = 0,

откуда C1 =C2 =C , где C произвольно.

Все эти решения согласно (7.11) определяются формулой y(x) = −6Cx +12Cx2 +1−2x = C3 x − 2C3 x2 +1−2x .

Пример 7.4. Исследовать на разрешимость при различных значениях параметра λ интегральное уравнение

y(x) −λ ∫π cos (x +t) y(t) dt = cos 3x .

Решение. Отметим, что ядро

K (x, t) = cos (x +t) =cos x cost −sin xsin t

является одновременно и		симметричным и вырожденным, где
p1 (x) =cos x , q1 (t) =cost ,		p2 (x) = −sin x ,	q2 (t) =sin t .
Запишем интегральное уравнение в следующем виде:
y(x) = λcos x ∫π	cost y(t) dt −λsin x ∫π sin t y(t) dt +cos 3x .
0		0
Обозначим
C1 = ∫π	cost y(t) dt , C2 = ∫π		sin t y(t) dt .
0		0

Тогда интегральное уравнение запишется следующим образом:

y(x) =C1λcos x −C2λsin x +cos3x . (7.13)

Подставим (7.13) в выражения для C1 и C2 и получим систему уравнений:

= ∫ cost (C1λcost −C2λsin t + cos3t) dt;

= ∫π

sin t (C1λcost −C2λsin t +cos 3t) dt,

или

= 0;

C1 1 −λ

(7.14)

+λ

= 0.

C2 1

Вычислим определитель

системы уравнений (7.14):

1 −λ

= 1−λ

1+ λ

1. Если λ ≠ ± π2 , то система уравнений (7.14) имеет единствен-

ное решение: C1 =0 , C2 = 0 . Поэтому исходное неоднородное интегральное уравнение имеет единственное решение y(x) =cos3x , а соответствующее однородное уравнение

y(x) −λ ∫π cos (x +t) y(t) dt = 0

имеет только нулевое решение (λ не является характеристическим числом, 1-й случай альтернативы Фредгольма).

2. Если λ = λ1 = π2 , то система уравнений (7.14) принимает вид

C1 0 = 0;

C2 0 = 0,

откуда C1 произвольно, C2 = 0 .

Исходное неоднородное интегральное уравнение имеет бесконечное множество решений, которые определяются формулой:

y(x) = C1λ cos x + cos3x = C1 π2 cos x +cos3x = C cos x +cos3x .

Отметим, что	правая часть	f (x) = cos3x ортогональна к
p1 (x) =cos x и p2 (x) = −sin x , так как
∫π	cos3t cost dt = 0 ,	∫π	cos 3t sin t dt = 0 .
0		0

Соответствующее однородное интегральное уравнение имеет бесконечное множество решений, которые определяются формулой:

y(x) = C1λ cos x = C1 π2 cos x = C3 cos x

( λ1 является характеристическим числом, 2-й случай альтернативы Фредгольма).

3. Если λ = λ2 = − π2 , то система уравнений (7.14) принимает вид

C1 2 = 0;

C2 0 = 0,

откуда C1 =0 , C2 произвольно.

Исходное неоднородное интегральное уравнение имеет бесконечное множество решений, которые определяются по формуле:

y(x) = −C2λ sin x + cos3x = C2 π2 sin x +cos 3x = C sin x +cos 3x .

y(x) = C2λ sin x = C2 − π2 sin x = C4 sin x

( λ2 является характеристическим числом, 2-й случай альтернативы Фредгольма).

Глава 2. Интегральные уравнения Вольтерра

§ 8. Уравнения Вольтерра. Основные понятия и определения

Линейным интегральным уравнением Вольтерра 2-го рода на-

зывается уравнение вида

y(x) −λ ∫x	K (x, t) y(t) dt = f (x) .	(8.1)
a

Интегральное уравнение вида

∫x	K(x, t) y(t) dt = f (x)	(8.2)
a

называется интегральным уравнением Вольтерра 1-го рода. Все обозначения в уравнениях (8.1), (8.2) аналогичны обозначениям в уравнениях Фредгольма (1.1), (1.2).

Формально уравнения Вольтерра (8.1), (8.2) можно рассматривать как частный случай уравнений Фредгольма (1.1), (1.2), полагая в уравнениях Фредгольма K (x, t) ≡ 0 при t > x или рассматривая

ядро интегрального уравнения Вольтерра в треугольнике a ≤ x ≤ b , a ≤ t ≤ x . Однако физические задачи, приводящие к уравнениям Вольтерра и Фредгольма, а также свойства решений этих уравнений существенно различны. Поэтому уравнения Вольтерра выделяют в отдельный тип интегральных уравнений.

§ 9. Метод последовательных приближений

Уравнения Вольтерра в отличие от уравнений Фредгольма всегда имеют единственное решение. В частности, уравнение Вольтерра 2-го рода (8.1) имеет единственное решение при любом значении числового параметра λ. Это решение может быть найдено

методом последовательных приближений. Выбирая произвольным образом нулевое приближение y0 (x) , можно с помощью рекуррентной формулы

yn (x) = f (x) + λ ∫x	K (x, t) yn−1 (t) dt	(9.1)
a

построить последовательность функций {yn (x)}, которая всегда сходится к единственному решению интегрального уравнения при

n → ∞ , т.е. y(x) = lim yn (x) .

n→∞

Пример 9.1. Решить методом последовательных приближений интегральное уравнение

y(x) = ∫x

y(t) dt +

Решение. Отметим, что в данном уравнении λ =1,

K (x, t) =1 .

В качестве нулевого приближения возьмем

y0 (x) =1 . Строим

последовательность функций {yn (x)} по формуле (9.1):

y1 (x) = f (x) + ∫x

K (x, t) y0 (t) dt =

∫x

1 dt =

+ x ,

y2 (x) = f (x) + ∫x

K (x, t) y1 (t) dt =

+ ∫

+ t dt =

= x2 +

y3 (x) = f (x) + ∫ K (x, t) y2

(t) dt =

∫

dt =

…,

yn (x) = f (x) + ∫x

K (x, t) yn−1 (t) dt =

+... +

= 1

+ x +

+... +

−(x +1)

= ∑

− x −1.

2! 3!

k =0

Отсюда точное решение y(x) определяется как предел

			n	xk			x
y(x) = lim	yn	(x) = lim	∑		− x −1	= e		− x −1 .
				k!
n→∞		n→∞ k =0

Пример 9.2. Решить методом последовательных приближений интегральное уравнение

	y(x) = x +1 − ∫x	y(t) dt .
	0
Отметим, что в данном уравнении λ =1, K (x, t) =1 .
В	качестве нулевого приближения возьмем свободный член
f (x)	данного уравнения, т.е. y0 (x) = f (x) = x +1 .

Строим по формуле (9.1) последовательность функций {yn (x)}:

y1 (x) = f (x) + ∫x

K (x, t) y0 (t) dt =

= x +1 − ∫x

(t +1) dt = x +1−

− x =1 −

y2 (x) = f (x) + ∫ K (x, t) y1 (t) dt = x +1− ∫ 1

−

dt =

= x +1 − x +

=1 +

y3 (x) = f (x) + ∫x

K(x, t) y2 (t) dt =

= x +1 − ∫

dt = x +1− x

−

=1−

…,

xn+1

yn (x) = f (x) + ∫0 K (x, t) yn−1 (t) dt =1+ (−1)n (n +1)!.

Отсюда точное решение y(x) определяется как предел

y(x) = lim	y		(x) = lim	1+ (−1)n	xn+1	=1 .
		n

n→∞			n→∞		(n +1)!

§10. Решение интегрального уравнения путем сведения его

кдифференциальному уравнению

Если в интегральных уравнениях (8.1), (8.2) ядро K (x, t) и свободный член f (x) имеют непрерывные производные по перемен-

ной x, то эти уравнения могут быть почленно продифференцированы несколько раз. Это позволяет свести решение интегрального уравнения к задаче Коши для некоторого обыкновенного дифференциального уравнения. Отметим, что производная от интеграла вычисляется по формуле

d	∫x	K (x, t) y(t) dt = K (x, x) y(x) + ∫x	∂K (x, t)	y(t) dt . (10.1)
dx			∂x
	0	0

Пример 10.1. Решить интегральное уравнение y(x) = x + ∫x xty(t) dt.

Решение. Данное уравнение перепишем в следующем виде

	x
y(x) = x 1	+ ∫ ty(t) dt .
	0

Обозначим

z(x) =1+ ∫x ty(t) dt .

Продифференцируем последнее уравнение и найдем z′(x) = xy(x) .

Так как y(x) = x z(x) , то получаем обыкновенное дифференциальное уравнение z′(x) = x2 z(x) . Отсюда z(x) = Cex3 /3 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.11.20223.17 Mб139Смирнов Сборник задач по физике конденсированного состояния 2012.pdf
#
12.11.202235.1 Mб29Солнцева Практический курс английского языка Ч.1 2011.pdf
#
12.11.202233.69 Mб10Солнцева Практический курс английского языка Ч.2 2011.pdf
#
12.11.20225.24 Mб53Стрелков Основы текхники термоядерного експеримента 2015.pdf
#
12.11.2022895.11 Кб2Струкова Сборник дополнителных текст 2014.pdf
#
12.11.20221.12 Mб7Сумин Интегралные уравнения Фредголма и Волтерра 2016.pdf
#
12.11.20224.42 Mб4Сурков Атомная физика посл.pdf
#
12.11.20222.76 Mб2Сурков Лабораторный практикум Атомная физика 2012.pdf
#
12.11.20222.66 Mб7Сурков Лабораторный практикум курса обсчей физики 2012.pdf
#
12.11.20222.55 Mб10Сурков Лабораторный практикум Спектры атомов и молекул 2012.pdf
#
12.11.20223.57 Mб4Троян Физические основы методов исследования наноструктур 2014.pdf