Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сумин Интегралные уравнения Фредголма и Волтерра 2016

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2022

Размер:

1.12 Mб

Скачать

☆

1 / 101 2 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»

Е.В. Сумин, В.Б. Шерстюков, О.В. Шерстюкова

Интегральные уравнения Фредгольма и Вольтерра, краевые задачи и методы их решения

Учебно-методическое пособие

Москва 2016

УДК 517.968(07)+517.954(07) ББК 22.161.6я7 С89

Сумин Е.В., Шерстюков В.Б., Шерстюкова О.В. Интегральные уравнения Фредгольма и Вольтерра, краевые задачи и методы их решения: Учебно-

методическое пособие. – М.: НИЯУ МИФИ, 2016. – 96 с.

Настоящее издание является учебно-методическим пособием по курсу интегральных уравнений, читаемому студентам 2-го курса НИЯУ МИФИ. В пособии рассмотрены методы решения интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра, краевой задачи Штурма–Лиувилля и разобраны типовые примеры. В конце пособия приведены задачи для самостоятельного решения и ответы к ним.

Пособие будет полезно аспирантам и преподавателям при проведении практических занятий.

Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. НИЯУ МИФИ А.С. Леонов

ISBN 978-5-7262-2282-0	© Национальный исследовательский
	ядерный университет «МИФИ», 2016

Глава 1. Интегральные уравнения Фредгольма

§ 1. Уравнения Фредгольма. Основные понятия и определения

Интегральным уравнением называется всякое уравнение, содержащее неизвестную функцию под знаком интеграла.

Линейным интегральным уравнением Фредгольма 2-го рода на-

зывается уравнение вида

y(x) −λ∫b K (x, t) y(t) dt = f (x),	(1.1)
a

где y(x) – искомая функция; K (x, t) и f (x) – известные функции, заданные на основном квадрате [a, b]×[a, b] и отрезке [a, b] соот-

ветственно; λ – числовой параметр. Функция K (x, t) называется

ядром интегрального уравнения, а f (x) – свободным членом этого

уравнения. Если	f (x) 0,	то уравнение (1.1)	называется неодно-
родным, если же	f (x) ≡ 0,	то данное уравнение называется одно-
родным.
Интегральное уравнение вида
	∫b K (x, t) y(t) dt = f (x),		(1.2)
	a

не содержащее искомой функции y(x) вне интеграла, называется

линейным интегральным уравнением Фредгольма 1-го рода.

Линейные интегральные уравнения

z(x) −λ∫b K (t, x) z(t) dt = g(x),

(1.3)

∫b K (t, x) z(t) dt = g(x)	(1.4)
a

называются союзными (сопряженными) к уравнениям Фредгольма

2-го рода (1.1) и 1-го рода (1.2) соответственно, если функции K (x, t) , f (x) , g(x) и параметр λ – вещественные.

Решением любого из интегральных уравнений (1.1)–(1.4) называется непрерывная на отрезке [a, b] функция, которая при подста-

новке ее в это уравнение обращает последнее в тождество.

§ 2. Метод последовательных приближений

Если в уравнении Фредгольма (1.1) числовой параметр λ удовлетворяет условию

		1		b b
λ	<		,	где B2 = ∫∫	K (x, t)	2 dx dt,	(2.1)

		B
				a a

то уравнение имеет единственное решение при любой непрерывной функции (свободном члене) f (x). В этом случае оно может

быть найдено методом последовательных приближений. Выбирая произвольным образом нулевое приближение y0 (x), можно по-

строить последовательность функций {yn (x)} с помощью рекуррентной формулы

yn (x) = f (x) + λ∫b K (x, t) yn−1 (t) dt.	(2.2)
a

Функции yn (x) (n = 1, 2, …) рассматриваются как приближения к искомому решению уравнения. Данная последовательность {yn (x)} сходится равномерно на [a, b] к точному решению, т.е.

y(x) = lim yn (x).

n→∞

Пример 2.1. Решить методом последовательных приближений интегральное уравнение

y(x) = 1 ∫1 y(t) dt +sin πx. 2 0

Решение. Отметим, что в данном уравнении

	λ =		1	,		K (x, t) =1.
	λ =		2	,		K (x, t) =1.
			2
Тогда
1	1				2	1	1
B2 = ∫∫		K (x, t)				dx dt = ∫∫dx dt =1,


0	0					0	0

и условие λ < B1 выполнено. В качестве нулевого приближения возьмем свободный член f (x) данного уравнения, т.е.

y0 (x) = f (x) =sin πx.

Строим последовательность функций {yn (x)} по рекуррентной формуле (2.2):

												1	1
												2	∫0
		y (x)				=	f (x) +							K(x, t) y (t) dt							=
		1											0
		= sin πx +						1	∫1 sin πt dt = sin πx +										1		,
		= sin πx +							∫1 sin πt dt = sin πx +										π		,
							2		0										π
												1	1
												2	∫0
		y	2	(x)		=	f (x) +							K(x, t) y (t) dt							=
			2														1
					1 1									1						1			1
= sin πx +						∫0	sin πt +									dt = sin πx +						+		,
= sin πx +					2		sin πt +									dt = sin πx +				π		+	2π	,
					2									π						π			2π
												1	1
												2	∫0
		y (x)				=	f (x) +							K (x, t) y			2	(t) dt			=
		3															2
	1	1							1				1							1			1		1
= sin πx +		∫0		sin πt +						+					dt =sin πx +							+		+		,
= sin πx +	2	∫0		sin πt +					π	+			2π		dt =sin πx +					π		+	2π	+	4π	,
													…,
											1		1
	yn (x) =						f (x) +						∫0
											2		∫0
														K (x, t) yn−1 (t) dt =

	1		1		1			1			1	n−1	1
= sin πx +		+		+		+... +				= sin πx +		∑		.
	π		2π		2		2	n−1	π				k
					2 π						π k =0		2

Отсюда точное решение y(x) определяется как предел

		1	n−1	1			2
y(x) = lim yn	(x) = lim sin πx +		∑			=sin πx +		.
				2	k		π
n→∞	n→∞	π k =0

Пример 2.2. Решить методом последовательных приближений интегральное уравнение

y(x) =	5	x +	1	∫1 xt y(t) dt.
	6		2
				0

Решение. Отметим, что в данном уравнении λ = 12 , K (x, t) = xt.

Тогда


1	1	1			1	1
B2 = ∫∫			K (x, t)	2 dx dt = ∫∫x2t2 dx dt =			,

						9

0	0	0			0

и условие λ < B1 выполнено.

Решим данное интегральное уравнение двумя способами: 1) в качестве нулевого приближения выберем свободный член уравне-

ния, т.е. y0 (x) = f (x) ; 2) произвольным образом выберем нулевое

приближение y0 (x) .

1-й способ. В качестве нулевого приближения возьмем свободный член f (x) данного уравнения, т.е. y0 (x) = f (x) = 56 x . Строим по формуле (2.2) последовательность функций {yn (x)} :

								1	1
								2	∫0
				y (x)	=	f (x) +			K(x, t) y (t) dt =
				1								0
	5		1	1	5		5			5		35		5			1
=		x +		xt		t dt =		x +			x =		x =		x 1	+		,
=	6	x +		xt	6	t dt =	6	x +		36	x =	36	x =	6	x 1	+		,
	6		2 ∫0		6		6			36		36		6			6

																				1				1
								y	2	(x) = f (x) +										2					∫0	K(x, t) y (t) dt												=
								y		(x) = f (x) +																K(x, t) y (t) dt												=
																															1
	5		1 1							35						5									35x				215							5							1			1
=		x +			∫0			xt				t dt =						x		+								=				x		=				x	1		+				+		,
=	6	x +	2					xt		36		t dt =				6		x		+				216				=	216			x		=		6		x	1		+		6		+		,
	6		2							36						6								216					216							6							6			36
y (x) = f (x) +											1 1		K(x, t) y (t) dt =																	5	x		+			1 1		xt			215				t dt =

											2 ∫0																									2 ∫0
	3																				2									6											216
																														6											216
				5					215x					1295x												5					1					1				1
		=					x +						=										=				x 1			+			+					+							,
		=		6			x +		1296				=	1296									=			6	x 1			+	6		+			36		+	216						,
				6					1296					1296												6					6					36			216
																						…,
																			1					1
								yn (x) =					f (x) +										∫0				(x, t) yn−1							(t) dt =
																			2				∫0
																									K
						5						1		1						1									1						5			n			1
			=					x 1 +					+				+							+... +							=					x	∑							.
			=			6		x 1 +				6	+	6	2		+		6		3			+... +					6	n	=				6	x	∑			6		k		.
						6						6		6					6										6						6		k =0			6

Отсюда точное решение y(x) определяется как предел

	5		n	1			5	6
y(x) = lim yn	(x) = lim		x ∑			=		x	= x .
		6		6	k		6
n→∞	n→∞		k =0					5

2-й способ. Выбираем произвольным образом нулевое приближение, например y0 (x) = x2 . Строим по формуле (2.2) последовательность функций {yn (x)} :

												1	1
												2	∫0
				y (x) =				f (x) +					K(x, t) y (t) dt												=
				1													0
						5		1	1					5					1			23x
				=		5	x +	1	∫xt3 dt =					5		x +			1	x =		23x				,
				=			x +		∫xt3 dt =							x +				x =						,
						6		2	0					6			8					24
												1	1
												2	∫0
				y	2	(x) =		f (x) +					K(x, t) y (t) dt												=
					2												1
	5		1	1	23					5			23					143					5				1		5
=	5	x +	1	∫xt	23		t dt =			5	x +		23		x =			143			x =		5	x +			1	x +	5	x ,
=		x +		∫xt			t dt =				x +				x =						x =			x +				x +		x ,
	6		2	0	24				6			144					144					6					8		144

																									1		1
																									2	∫0
											y (x) =								f (x) +								K (x, t) y								2		(t) dt						=
												3																							2
	5		1		1			143									5					143							863								5					1					5					5
=	5	x +	1		∫xt			143				t dt =					5		x +			143				x =			863				x =				5		x +			1		x +			5		x +			5	x ,
=		x +			∫xt							t dt =							x +							x =							x =						x +					x +					x +				x ,
	6		2		0		144									6					864							864									6				8						144					864
																										…,
																								1		1
											yn (x) =							f (x) +								∫0		(x, t) yn−1 (t) dt =
																								2		∫0
																											K
						=			5	x +				1	x +				5		x +					5		x +... +													5					x =
						=	6			x +			8		x +			144			x +				864			x +... +							144 6n−2											x =
							6						8					144							864										144 6n−2
				23x			5									1				1										1						23							5					n−2	1
	=					+						x	1+						+				+... +											=						x +							x ∑				.
	=		24			+	144					x	1+			6			+	6	2		+... +					6		n−2				=		24				x +			144				x ∑		6	k	.
			24				144									6				6								6								24							144					k =0	6
	Отсюда точное решение y(x)																										определяется как предел
																											23							5							n−2			1
						y(x) = lim yn (x) = lim																									x	+						x			∑						=
						y(x) = lim yn (x) = lim																									x	+		144				x			∑		6		k		=
												n→∞											n→∞				24							144							k =0		6

=2423 x +1445 x 65 = 2423 x + 241 x = x .

§3. Итерированные ядра. Построение резольвенты уравнения Фредгольма

спомощью итерированных ядер. Решение уравнений с помощью резольвенты

Если в методе последовательных приближений для интегрального уравнения Фредгольма (1.1) выбрать y0 (x) = f (x) , то для n-го приближения можно получить формулу

	n	b
yn (x) = f (x) + ∑ λm+1		∫Km (x, t) f (t) dt =
	m=0	a
b	n
= f (x) + λ ∫	∑λm Km (x, t) f (t) dt .		(3.1)
a	m=0

В формуле (3.1) функции Km (x, t) , называемые итерированными ядрами, определяются следующими соотношениями:

K0 (x, t) = K (x, t) ,

K1 (x, t) = ∫K (x, s) K0 (s, t) ds ,

a
b
K2 (x, t) = ∫K (x, s) K1 (s, t) ds ,	(3.2)

…,

Km (x, t) = ∫K (x, s) Km−1 (s, t) ds ,

m = 1, 2, 3, …

Резольвента интегрального уравнения (1.1) (или резольвента ядра K (x, t) ) определяется формулой

∞
R(x, t, λ) = ∑ λm Km (x, t) .	(3.3)
m=0
Ряд, стоящий в правой части формулы (3.3),	получается, если

n → ∞ под знаком интеграла в формуле (3.1). Этот ряд, называемый рядом Неймана ядра K (x, t) , сходится при выполнении усло-

вия (2.1). В этом случае решение интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода (1.1) может быть найдено по формуле

b
y(x) = f (x) + λ ∫R(x, t, λ) f (t) dt .	(3.4)

Отметим, что граница (2.1) является существенной для сходимости ряда (3.3). Однако область сходимости данного ряда может оказаться шире, и решение уравнения (1.1) может существовать и для

значений λ > B1 .

Пример 3.1. Построить резольвенту для интегрального уравнения

y(x) = λ ∫sin(x −t) y(t) dt + f (x) .

Решение. Согласно (3.2) запишем последовательность итерированных ядер

K0 (x, t) =sin (x −t) ,

K1 (x, t) = ∫K (x, s) K0 (s, t) ds =

= ∫sin (x − s) sin (s −t) ds = − π cos (x −t) ,

K2 (x, t) = ∫K (x, s) K1 (s, t) ds =

= −

π2

sin (x −t) ,

∫sin (x − s) cos (s −t) ds = −

…

Очевидно, что

K2m (x, t) =

(−1)

π 2m

sin (x −t) ,

K2m−1 (x, t) = (−1)

π 2m−1

cos (x −t) ,

m = 1, 2, …

Получаем

∞

R(x, t, λ) = ∑ λm Km (x, t) = K0 (x, t) +

m=0

+λK (x, t) + λ2 K

(x, t) +... =

=sin (x −t) −

λπ

cos (x −t) −

λ2 π2

sin (x −t) +... =

λπ

−

= sin (x −t) 1 −

... −

−

λπ

λπ 2

λπ

cos (x −t) 1 −

−... .

1 / 101 2 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.11.20223.17 Mб129Смирнов Сборник задач по физике конденсированного состояния 2012.pdf
#
12.11.202235.1 Mб29Солнцева Практический курс английского языка Ч.1 2011.pdf
#
12.11.202233.69 Mб10Солнцева Практический курс английского языка Ч.2 2011.pdf
#
12.11.20225.24 Mб53Стрелков Основы текхники термоядерного експеримента 2015.pdf
#
12.11.2022895.11 Кб2Струкова Сборник дополнителных текст 2014.pdf
#
12.11.20221.12 Mб7Сумин Интегралные уравнения Фредголма и Волтерра 2016.pdf
#
12.11.20224.42 Mб4Сурков Атомная физика посл.pdf
#
12.11.20222.76 Mб2Сурков Лабораторный практикум Атомная физика 2012.pdf
#
12.11.20222.66 Mб6Сурков Лабораторный практикум курса обсчей физики 2012.pdf
#
12.11.20222.55 Mб10Сурков Лабораторный практикум Спектры атомов и молекул 2012.pdf
#
12.11.20223.57 Mб4Троян Физические основы методов исследования наноструктур 2014.pdf