Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сумин Интегралные уравнения Фредголма и Волтерра 2016

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2022

Размер:

1.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

При λ π2 <1 ряд, стоящий в квадратных скобках, сходится и пред-

ставляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической про-

грессии. Отсюда при	λ	<	2		получаем
			2
			π			λπ cos (x −t)
			π
				sin (x −t) −
R(x, t, λ) =						2		.
R(x, t, λ) =						λ	π 2	.
							π 2
					1+		2
							2

Для параметра λ в решении (3.4) интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода (1.1) известна оценка, обеспечивающая абсолютную и равномерную сходимость ряда из определения резоль-

венты (3.3):

λ	<	1		,


		K	(b − a)

где K = sup K (x, t) .

a≤x≤b a≤t ≤b

Заметим, что

1	≥	1

B		K (b − a)
B		K (b − a)

(выражение для B2 дается формулой (2.1)). В рассмотренном примере 3.1 получаем

λ	<	1	=	1 .


		K (b − a)		π

Это говорит о том, что приведенная оценка является достаточной, но не является необходимой для сходимости ряда (3.3).

Пример 3.2. Решить методом итерированных ядер интегральное уравнение

1	x
y(x) =λ ∫			y(t) dt +1 + x2 .
	1+t	2
0

Решение. Запишем последовательность итерированных ядер

(x, t) =

1+t2

K1 (x, t) = ∫K (x, s) K0 (s, t) ds =

ln 2

= ∫

1 + s

1 +t

K2 (x, t) = ∫K (x, s) K1 (s, t) ds =

ln 2

ln 2 2

∫0

ds =

1 + s2

1+t2

…,

ln 2

Km (x, t) =

1+ t

Получаем

∞

λ ln 2

R(x, t, λ) = ∑

Km (x, t) =

∑

m=0

При

ln 2

полученный ряд сходится и представляет собой

сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Отсю-

да при

получаем

ln 2

R(x, t, λ) =

+t2

2 −λln 2

Оценим

радиус сходимости

полученного

степенного ряда:

≈ 2,9 . Для рассматриваемого интегрального уравнения

ln 2

1 1

2 dx dt =

B2 = ∫∫

K (x, t)

0 0

		1	1			x	2							π+ 2
		= ∫∫				x					dx dt =			π+ 2	,
		= ∫∫			(1+ t			2	)	2	dx dt =			24	,
		0	0		(1+ t				)					24
т.е. B =	π+ 2	, откуда		1		=			24				≈ 2, 2 . Таким образом, область
т.е. B =	24	, откуда		B		=		π+				2	≈ 2, 2 . Таким образом, область
	24			B				π+				2

сходимости ряда для резольвенты оказывается шире, чем это диктуется условием (2.1).

Решение данного интегрального уравнения определяется формулой (3.4), согласно которой получаем

y(x) = f (x) + λ ∫1				R(x, t, λ) f (t) dt =
			0
=1 + x2 + λ ∫1	x		2	(1 +t2 ) dt =1+ x2 +		2λx	.
=1 + x2 + λ ∫1	1+ t	2	2 −λln 2	(1 +t2 ) dt =1+ x2 +	2	−λln 2	.
0	1+ t		2 −λln 2		2	−λln 2

§4. Интегральные уравнения

свырожденным ядром

Ядро K (x, t) интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода называется вырожденным, если оно имеет вид

n
K (x, t) = ∑ pk (x) qk (t) ,	(4.1)

k =1

где функции pk (x) и qk (t) (k = 1, 2, …, n) непрерывны на основном квадрате [a, b]×[a, b] и линейно независимы между собой. В

случае ядра (4.1) уравнение Фредгольма (1.1) может быть сведено к системе линейных алгебраических уравнений. Для этого перепишем уравнение (1.1) в виде

n	b
y(x) = λ ∑ pk (x) ∫ qk (t) y(t) dt + f (x)		(4.2)
k =1	a

и введем обозначения

ck = ∫b	qk (t) y(t) dt (k = 1, 2, …, n).	(4.3)
a

Тогда уравнение (4.2) принимает вид

n
y(x) = λ ∑ ck pk (x) + f (x) ,	(4.4)

k =1

где ck – неизвестные постоянные.

Подставляя выражение (4.4) для функции y(x) в формулу (4.3),

получим

b		n

ck = ∫ qk (t)		λ ∑ ci pi
a		i=1

n	b	b
= λ ∑ ci ∫ qk (t) pi (t) dt + ∫ qk (t)
i=1	a	a

(t) + f (t)	dt =

	n
f (t) dt = λ ∑ ci aki		+ bk , (4.5)

i=1

где постоянные aki и bk определяются соотношениями

aki = ∫b	pi (t) qk (t) dt ,	bk = ∫b	qk (t) f (t) dt .	(4.6)
a		a

Таким образом, вместо интегрального уравнения Фредгольма с вырожденным ядром получаем из (4.5) эквивалентную систему линейных алгебраических уравнений

n
ck −λ ∑ akici	= bk (k = 1, 2, …, n).	(4.7)

i=1

Решая систему уравнений (4.7) и подставляя полученные значения ck в уравнение (4.4), получим решение исходного интеграль-

ного уравнения Фредгольма (1.1). Число решений исходного интегрального уравнения или его неразрешимость определяются свойствами системы (4.7).

Пример 4.1. Решить интегральное уравнение

y(x) = ∫1	(3x + 2t) y(t) dt +8x2 −5x .
0
Решение. Ядро K (x, t) =3x + 2t		данного интегрального уравне-
ния является вырожденным, параметр λ =1. Обозначим
p1 (x) = x , q1 (t) =3 ,		p2 (x) = 2 , q2 (t) =t .

По формулам (4.6) найдем коэффициенты:

				a11 = ∫1			p1 (t) q1 (t) dt = ∫1									3t dt =					3		,
				a11 = ∫1			p1 (t) q1 (t) dt = ∫1									3t dt =					2		,
						0									0						2
					a12 = ∫1		p2 (t) q1 (t) dt = ∫1 6 dt = 6 ,
						0									0
				a21 = ∫1			p1 (t) q2 (t) dt = ∫1										t2 dt =					1	,
				a21 = ∫1			p1 (t) q2 (t) dt = ∫1										t2 dt =				3		,
						0									0						3
				a22 = ∫1			p2 (t) q2 (t) dt = ∫1										2t dt =1 ,
						0									0
		b1 = ∫1				q1 (t) f (t) dt = ∫1								3 (8t2 −5t) dt =										1		,
		b1 = ∫1				q1 (t) f (t) dt = ∫1								3 (8t2 −5t) dt =										2		,
					0								0											2
		b2 = ∫1				q2 (t) f (t) dt = ∫1								t (8t2 −5t) dt =											1	.
		b2 = ∫1				q2 (t) f (t) dt = ∫1								t (8t2 −5t) dt =										3		.
					0								0											3
Система уравнений (4.7) принимает вид
с1		−		3	с1 +6с2				=			1	,		−			1		c1 −6c2 =							1		,
												2						1									1

			2										или				2									2
													или				2									2
	с	−		1	с	+ с		=		1		,			−			1	c + 0				c =					1		.
	с	−			с	+ с		=				,			−				c + 0				c =							.
	2			3	1	2				3							3									3
				3						3							3									3
Так как главный определитель
									−		1		−6
											1
						=					2			= −2 ≠ 0 ,
						=					2			= −2 ≠ 0 ,
									−		1		0
									−		3		0
											3

то система имеет единственное решение. Вычислим вспомогатель-

ные определители с = 2 ,		c = 0 . Тогда по формулам Крамера
1		2
c =	c1	= −1 , c =	c2	= 0 .
c =		= −1 , c =		= 0 .
1		2

Используя представление (4.4), запишем решение исходного интегрального уравнения:

y(x) = −x +8x2 −5x =8x2 −6x .

Пример 4.2. Решить интегральное уравнение y(x) = 4 π∫/ 2 sin2 x y(t) dt + 2x − π.

Решение. Ядро K (x, t) = sin2 x является вырожденным и состоит

из одного слагаемого, параметр λ = 4 . Решим это уравнение следующим образом.

Запишем

y(x) = 4sin2 x π∫/2 y(t) dt + 2x − π

и обозначим

c = π∫/2 y(t) dt .

Тогда

y(x) = 4c sin2 x + 2x − π .

Подставим полученное выражение в формулу для константы c:

			c = π∫/2	(4c sin2 t + 2t − π) dt ,
			0
или
			π/2		π/2
		c 1	− 4 ∫	sin2 t dt =	∫	(2t − π) dt .
			0		0
Отсюда
				c(1− π) = −	π2	,
				c(1− π) = −	4	,
					4
т.е. c =	π2	. Решение исходного интегрального уравнения име-
т.е. c =	4(π−1)	. Решение исходного интегрального уравнения име-
	4(π−1)

ет вид

y(x) =

π2

sin2 x + 2x − π.

π−1

Пример 4.3. Решить интегральное уравнение

y(x) = −

π ∫1

(cos πx −sin πt) y(t) dt + 2x −1 .

2 0

Решение. Ядро

K (x, t) = cos πx −sin πt

данного

интегрального

уравнения является вырожденным, параметр λ = −

. Обозначим

p1 (x) =cos πx ,

q1 (t) =1,

p2 (x) = −1, q2 (t) =sin πt

и запишем:

a11 = ∫1

p1 (t) q1 (t) dt = ∫1

cos πt dt = 0 ,

a12 = ∫1

p2 (t) q1 (t) dt = −∫1

dt = −1 ,

a21 = ∫1

p1 (t) q2 (t) dt = ∫1

cos πt sin πt dt = 0 ,

a22 = ∫1

(t) q2 (t) dt = −∫1

sin πt dt = −

b1 = ∫1

q1 (t) f (t) dt = ∫1

(2t −1) dt = 0 ,

b2 = ∫1 q2 (t)

f (t) dt = ∫1 sin πt (2t −1) dt = 0 .

Система уравнений (4.7) принимает вид

c +		π (0 c −c ) = 0,
	1	2		1		2
		2
		π				2
c +		π	0	c	−	2	c	=0,
c +			0	c	−		c	=0,
	2			1		π	2
		2				π

или

	−		π	c2		= 0,
c1	−		2	c2		= 0,
			2
0 c			+ 0		c		= 0.
	1					2
Так как главный определитель
=		1 −				π		= 0
						π
						2
		0			0
и вспомогательные определители						c		= c	= 0 , то система уравне-
						1	2

ний имеет бесконечно много решений. Общим решением этой сис-

темы будет c1 =C , c2 = π2 c1 = π2 C , где C – произвольная постоян-

ная. Тогда согласно (4.4) решение исходного интегрального уравнения имеет вид

	π		2			π
y(x) = −		C cos πx −		C	+ 2x −1 = −		C cos πx +C + 2x −1.
y(x) = −	2	C cos πx −	π	C	+ 2x −1 = −	2	C cos πx +C + 2x −1.
	2		π			2
Пример 4.4. Решить интегральное уравнение
		y(x) = ∫1			ext y(t) dt + e−x .
				0

Решение. 1-й способ. Ядро K (x, t) = ext данного интегрального

уравнения является вырожденным и состоит из одного слагаемого, параметр λ =1. Будем решать это уравнение способом, использованным при решении примера 4.2.

Запишем

y(x) = ex ∫1 ty(t) dt + e−x

и обозначим

c = ∫1 ty(t) dt .

Тогда

y(x) = cex +e−x .

Подставим полученное выражение в формулу для константы c:

c = ∫1		t(cet + e−t ) dt ,
или	0
или
	1		1
c 1	− ∫	tet dt	= ∫te−t dt .
	0		0

Отсюда 0 c =1− 2e , что не может выполняться ни при каком c.

Таким образом, исходное интегральное уравнение не имеет решения.

2-й способ. Попробуем решить исходное интегральное уравнение методом последовательных приближений. Напомним, что

λ =1,

K (x, t) = ext . Тогда

1 1

B2 = ∫∫

K (x, t)

2 dx dt = ∫∫ e2 xt2 dx dt =

0 0

= ∫1

e2 x dx ∫1

t2 dt =

(e2 −1) ,

B =

e2 −1 ,

≈ 0,8 .

−1

Здесь

=1 >

≈ 0,8 .

качестве нулевого

приближения

возьмем свободный член

f (x)

данного уравнения, т.е.

y (x) = f (x) = e−x . Строим последова-

тельность функций {yn (x)} по формуле (2.2):

y1 (x) = f (x) + ∫1

K (x, t) y0 (t) dt = e−x + ∫1

exte−t dt =

−x

+ e

∫ te

−t

= e

−x

+ e

1 −

y2 (x) = f (x) + ∫1

K (x, t) y1 (t) dt =

−x

+ ∫ e

−t

= e

+ e

−

dt =

−x

−t

= e

∫ te

+ 1−

∫ te

= e

−x

+ 2e

−

y3 (x) = f (x) + ∫1

K (x, t) y2 (t) dt =

−x

∫

−t

= e

+ 2e

1 −

dt =

= e

−x

+3e

−

…,

yn (x) = f (x) + ∫1

K (x, t) yn−1 (t) dt =

= e

−x

+ ne

−

Так как lim n =∞ ,

то

указанная

последовательность функций

n→∞

{yn (x)} расходится. Последнее согласуется с тем, что исходное интегральное уравнение не имеет решения.

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.11.20223.17 Mб139Смирнов Сборник задач по физике конденсированного состояния 2012.pdf
#
12.11.202235.1 Mб29Солнцева Практический курс английского языка Ч.1 2011.pdf
#
12.11.202233.69 Mб10Солнцева Практический курс английского языка Ч.2 2011.pdf
#
12.11.20225.24 Mб53Стрелков Основы текхники термоядерного експеримента 2015.pdf
#
12.11.2022895.11 Кб2Струкова Сборник дополнителных текст 2014.pdf
#
12.11.20221.12 Mб7Сумин Интегралные уравнения Фредголма и Волтерра 2016.pdf
#
12.11.20224.42 Mб4Сурков Атомная физика посл.pdf
#
12.11.20222.76 Mб2Сурков Лабораторный практикум Атомная физика 2012.pdf
#
12.11.20222.66 Mб7Сурков Лабораторный практикум курса обсчей физики 2012.pdf
#
12.11.20222.55 Mб10Сурков Лабораторный практикум Спектры атомов и молекул 2012.pdf
#
12.11.20223.57 Mб4Троян Физические основы методов исследования наноструктур 2014.pdf