Сумин Интегралные уравнения Фредголма и Волтерра 2016

3. R(x, t, λ) =

3xt

,

λ

<

3

.

3

−2λ

2

11. λ = −π,

y (x) =

π2C

(cos 2πx −sin

πx) −2πCx ;

1

1

3

λ2 = π ,

y2 (x) =πC (2 cos2πx +sin πx) .

12. λn =

1−μ2

, где μn

– корни уравнения

n

sin1

tg 2πμ = −μ tg 1 ;

yn (x) =sin μn (π+ x) , n = 1, 2, … .

13. При λ ≠ −n2 π2

λ

∞

(−1)

n+1

y(x) = x −

∑

sin nπx ;

2

π

2

)

π n=1

n (λ+ n

91

y(x) =sin x ;

при λ =1

y(x) =C1 cos 2x +C2 sin 2x +sin x .

16.

y(x) =sh x .

17.

y(x) =

1

.

1

−ln 2

18.

y(x) =cos x +sin x +sh x .

19.

y(x) = x2 (ln x +1) .

20.

R(x, t, λ) =

ch x

eλ( x−t ) .

21.

ch t

y(x) =3x (1−e−x ) .

22.

y(x) =ex (1 + x2 ) .

23.

y(x) =(xln x +1) cos x ex .

24.

y(x) = x3 (sin x +cos x) .

25.

y(x) = xe2 x +1 .

26.

y(x) =cos 2x .

27.

y(x) =1 + x2 +

x4

.

28.

24

y(x) =1−e−x − xe−x .

x (ξ−1)

(x − xξ+ 2ξ), 0 ≤ x ≤ ξ;

29.

2

G(x, ξ) =

ξ

[x (2 − x) (ξ−2)

+ ξ],

ξ≤ x ≤1.

2

0

x (ξ−1),

0 ≤ x ≤ ξ;

G(x, ξ) =

ξ ≤ x ≤1.

(x −1) ξ,

34. y(x) =λ ∫1

G(x, ξ) y(ξ) dξ+

x

sin

πx

+

2

cos

πx

, где

2

2

2

−1

π

π

1

sin π (ξ− x),

−1 ≤ x ≤ξ;

π

2

G(x, ξ) =

1

sin

π

(x −ξ),

ξ ≤ x ≤1.

2

π

Глава 1. Интегральные уравнения Фредгольма..................................................

3

§ 1.

Уравнения Фредгольма.

Основные понятия и определения.....................................................

3

§ 2.

Метод последовательных приближений...........................................

4

Решение уравнений с помощью резольвенты...................................

8

§ 4.

Интегральные уравнения с вырожденным ядром............................

13

§ 5.

Собственные значения и собственныефункции .............................

21

§ 6.

Интегральные уравнения с симметричным ядром..........................

28

§ 7.

Альтернатива Фредгольма...............................................................

36

Глава 2. Интегральные уравнения Вольтерра...................................................

47

§ 8.

Уравнения Вольтерра. Основные понятия и определения..............

47

§ 9.

Метод последовательных приближений.........................................

47

§ 10.

Решение интегрального уравнения путем сведения его

к дифференциальному уравнению...................................................

50

§ 11.

Итерированные ядра. Построение резольвенты

уравнения Вольтерра с помощью итерированных

ядер. Решение уравнений с помощью резольвенты........................

51

§ 12.

Интегральные уравнения с вырожденным ядром............................

56

§ 13.

Интегральные уравнения с разностным ядром.

Преобразование Лапласа. Решение интегральных

и интегро-дифференциальных уравнений.......................................

59

Глава 3. Краевые задачи

для обыкновенных дифференциальных уравнений..........................................

66

§ 14.

Задача Штурма–Лиувилля. Определениефункции Грина.

Два метода построения функции Грина..........................................

66

§ 15.

Применениефункции Грина для решения краевых задач...............

76

§ 16.

Краевые задачи, содержащие параметр, и их сведение

к интегральному уравнению............................................................

80

Задачи для самостоятельного решения...............................................................

87

Ответы....................................................................................................................

91

Список рекомендуемой литературы....................................................................

94