Астахов Механика. Конспект лекций 2011

Скорости материальной точки относительно разных систем отсчета

Пусть система отсчета К′ (рис.2.6) движется относительно системы отсчета К с постоянной скоростью vк′к, материальная точка движется относительно системы отсчета К со скоростью vтк и относительно системы отсчета К′ со скоростью vтк'.

Радиус-векторы, перемещения и скорости материальной точки в различных системах отсчета связаны соотношениями:

тема К′относительно системы К, (vтк называется также абсолют-

ной, vтк′ — относительной, а vк′к — переносной скоростью).

Скорости относительного движения материальных точек

Если известны скорости движения материальных точек отно-

§3. Ускорение

Среднее ускорение <a> — ВФВ, равная отношению приращения скорости v к промежутку времени t, за который это приращение произошло:

Ускорение (мгновенное) a — ВФВ, равная пределу отношения приращения скорости v к промежутку времени t, за который это приращение произошло, при бесконечном уменьшении промежутка времени:

Единица ускорения — метр на секунду в квадрате: [ a ] = м/с2 . Ускорение может быть разложено на тангенциальное aτ и нор-

12

мальное an ускорения (рис.3.1,а и 3.1,б):

Тангенциальное ускорение характеризует изменение модуля

скорости. Оно направлено по касательной к траектории:

aτ — проекция ускорения на ось Оτ (см. рис.3.1), совпадающей по направлению со скоростью v; она равна пределу приращения модуля скорости v к промежутку времени t, за который это приращение произошло, при бесконечном уменьшении промежутка времени:

τед — единичный вектор, направленный по оси Оτ:

Проекция ускорения на ось Оτ может быть больше нуля (рис.3.1,a), меньше нуля (рис.3.1,б) или равна нулю (при равномерном движения м.т. по окружности — §7).

Модуль тангенциального ускорения равен модулю проекции ускорения на ось Оτ:

Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. Оно перпендикулярно скорости м.т. и направлено к

13

центру кривизны траектории:

где an — проекция ускорения на ось Оn, направленной к центру кривизны траектории (см. рис.3.1):

где R — радиус кривизны траектории в данной точке, nед — единичный вектор, направленный по оси Оn.

Проекция ускорения на ось Оn всегда положительна и равна модулю нормального ускорения:

Cружность. Центром этой окружности является точка пересечения перпендикуляров к

точка С будет стремиться к некоторому предельному положениюточке С0 (на рис.3.2 не показана). Точка С0 называется центром кривизны траектории в т.М, а предельное значение радиуса окружности радиусом кривизны траектории в т.М.

Модуль ускорения материальной точки

Угол между скоростью и ускорением материальной точки может изменяться от нуля до 180°.

14

§4. Равнопеременное движение

Равнопеременное движение — движение, при котором за лю-

бые равные промежутки времени приращения скорости материальной точки одинаковы.

При равнопеременном движении:

ускорение

радиус-вектор

Равнопеременное прямолинейное движение равноперемен-

ное движение, при котором приращения скорости коллинеарны скорости материальной точки.

При равнопеременном прямолинейном движении ускорение является тангенциальным (нормальное ускорение равно нулю):

согласно равенствам (4.1), (4.2) и (4.3) проекция ускорения

15

проекция скорости

траектория м.т. прямая линия, при этом направления ускорения и скорости м.т. либо совпадают, либо прямо противоположны.

Равноускоренное прямолинейное движение — прямолинейное равнопеременное движение, при котором модуль скорости увеличивается.

Направления скорости и ускорения м.т. в начальный и последующие моменты времени совпадают (рис.4.1).

представлен на рис.4.2.

Путь S в системе координат vОt за промежуток времени t = tк равен площади (выраженной в единицах пути) трапеции, ограни-

16

ченной графиком v(t), осью времени от начального до конечного моментов времени и отрезками прямых t = tн = 0 и t = tк (см. рис.4.2).

График квадратичной зависимости пути от времени (при Sн = 0

и tн = 0)

представлен на рис.4.3 (на координатной плоскости SOt пунктиром показано положение вершины параболы, частью которой является график зависимости пути от времени).

При равноускоренном прямолинейном движении:

модуль конечной скорости

ния материальной точки в начальный и последующие моменты времени противоположны (рис.4.4), а движение существует в промежутке времени:

Рис. 4.4

17

При равнозамедленном прямолинейном движении:

модуль скорости

и квадратичной зависимости пути от времени (при Sн = 0 и tн = 0)

представлены на рис.4.5 и рис.4.6 (пунктиром показано продолжение параболы и положение ее вершины) соответственно.

Путь S в системе координат vОt за промежуток времени t = tк равен площади (выраженной в единицах пути) трапеции, образованной графиком v(t), осью времени от начального до конечного моментов времени и отрезками прямых t = tн = 0 и t = tк (см. рис.4.5).

18

5)если на графике vx(t) имеется разрыв (т.F), то в соответствующей точке на графике x(t) наблюдается излом (касательные к кривым в точке перехода не совпадают);

6)график S(t) является как бы зеркальным отражением графика x(t) относительно линии, параллельной оси Ох (на рис. 4.7, в — CH) в тех точках, где x(t) убывает (участок CE), поскольку путь — неотрицательная неубывающая величина (при tн = 0 Sн = 0).

19

§5. Свободное падение тел

Свободное падение материальной точки у поверхности Земли

— равнопеременное движение, происходящее при малых высотах h (h << Rз — радиуса Земли) и скоростях (практически без сопротивления воздуха).

Ускорение свободного падения постоянно (g = const), направ-

лено вертикально вниз и не зависит от массы материальной точки. Модуль ускорения свободного падения g = 9,81 м/с2.

Движение материальной точки, брошенной по вертикали

Это равнопеременное прямолинейное движение относительно системы отсчёта, связанной с Землей, в случаях когда м.т. бросают вертикально вверх (рис.5.1,а) или вниз (рис.5.1,б) с некоторой начальной скоростью (может быть с некоторой высоты), либо когда

Согласно этим уравнениям, проекция скорости материальных точек на ось Oy в системе отсчёта, показанной на рис.5.1, равна:

20