Астахов Механика. Конспект лекций 2011

При определении проекций скорости и ускорения на оси координат Ох и Оу, показанных на рис.5.2, и их подстановки в уравнения (5.13) – (5.16) получаются равенства (при хн = 0, ун = 0, tн = 0):

для проекций скорости

22

максимальную высоту подъёма

(траекторией материальной точки является парабола, представленная на рис.5.2),

зависимость проекции скорости на ось Oу от высоты h: при подъёме

Используя равенство (3.9), на любой высоте (h ≤ H) можно определить радиус кривизны траектории:

При выборе другой системы координат, отличающейся от системы, показанной на рис.5.2, уравнения (5.11) — (5.16) не изменятся, а некоторые (или все) уравнения (5.17) — (5.20) изменятся. Например, если ось Оy будет направлена вертикально вниз, то изменятся уравнения (5.18) и (5.20), поскольку в этом случае gy = g.

23

n

S = lim ∑vi ti . (6.2)

ti →0 i=1

Этот предел суммы называется определённым интегралом (приложение 4) на промежутке времени [tн, tк]:

24

tн

Аналогично равенству (6.3) при движении с переменным ускорением за промежуток времени t определяются:

перемещение

tн

С учетом равенства (6.3) средняя путевая скорость может быть определена из равенства:

с учетом равенства (6.4) средняя скорость — из равенства:

с учетом равенства (6.5) среднее ускорение — из равенства:

и по аналогии с равенством (6.6) среднее значение модуля скорости

— из равенства:

25

§7. Движение материальной точки по окружности

Равномерное движение материальной точки по окружности

— движение, при котором материальная точка (м.т.) за любые равные промежутки времени проходит одинаковые по длине дуги окружности.

Является частным случаем равномерного движения материальной точки.

Скорость (линейная скорость) м.т., движущейся по окружно-

сти радиуса R (рис.7.1), перпендикулярна

Модуль угловой скорости (в дальней-

шем — угловая скорость) ω — СФВ, равная пределу отношения угла поворота Δϕ радиус-вектора м.т. к промежутку времени t, за который произошёл этот поворот, при бесконечном уменьшении промежутка времени:

( ddtϕ — производная угла поворота радиус-вектора по времени).

Единица угловой скорости — радиан в секунду: [ ω ] = рад/с.

При равномерном движении м.т. по окружности за любые равные промежутки времени углы поворота радиус-вектора м.т. одинаковы, и, следовательно, угловая скорость ω — величина постоянная:

26

Соотношение между модулем линейной и угловой скоростями:

где R — радиус окружности, являющейся траекторией материальной точки.

Ускорение при таком движении является нормальным (тангенциальное ускорение равно нулю).

Это ускорение называется также центростремительным:

оно направлено к центру окружности (рис. 7.2) и, следовательно, противоположно радиус-вектору м.т.:

Период обращения T — промежуток времени, в течение которого м.т. совершает один оборот (радиус-вектор м.т. поворачивается на угол, равный 2π радиан):

Путь м.т. за один период равен длине окружности. Модуль линейной скорости (при равномерном движении) может быть найден

27

Частота обращения n — СФВ, равная отношению числа оборотов N, совершенных м.т. за промежуток времени t, к этому промежутку времени:

Единица частоты обращения — обратная секунда: [ n ] = с−1.

Для решения задач полезны соотношения между: угловой скоростью ω и частотой n:

При неравномерном движении по окружности с постоянным по модулю тангенциальным ускорением:

модуль скорости

где aτ — проекция ускорения на ось Оτ (см. §3), которая может быть как больше, так и меньше нуля.

§8. Движение твёрдого тела

Произвольное движение твёрдого тела можно разложить на два вида движения: поступательное и вращательное.

Поступательное движение твердого тела — движение, при котором любая прямая, соединяющая произвольные точки тела

28

(такие малые части тела, которые можно считать материальными точками), остаётся параллельной своему начальному положению в пространстве. Все точки тела при поступательном движении имеют конгруэнтные (совпадающие при наложении) траектории.

Вращательное движение (вращение) твердого тела — движе-

ние, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой — оси вращения.

Угловая скорость вращения твердого тела — угловая ско-

рость любой точки твердого тела (радиус-вектор этой точки лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, при этом начало его находится в точке, принадлежащей оси вращения).

Плоское движение твердого тела — движение твердого тела,

при котором все точки этого тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой плоскости.

При плоском движении скорость любой точки твердого тела может быть представлена в виде суммы скорости поступательного движения точек, принадлежащих некоторой прямой, являющейся осью вращения, и линейной скорости вращательного движения

причем величина угловой скорости вращения одинакова для всех точек твердого тела и не зависит от выбора оси вращения.

Качение круглого цилиндра

Примером плоского движения является качение круглого прямого цилиндра по плоской горизонтальной поверхности опоры.

Пусть с поверхностью опоры П (показанной на рис.8.1), по которой происходит качение цилиндра, связана система отсчета К (в дальнейшем будет называться поверхностью), а с точкой, находящейся в центре основания цилиндра система отсчета К′ (в дальнейшем будет называться центром), которая движется с некоторой скоростью относительно поверхности. На этом же рисунке показано основание круглого прямого цилиндра, в центре которого расположена точка С.

Движение всех точек цилиндра происходит в плоскостях, перпендикулярных оси цилиндра, поэтому достаточно рассмотреть движение точек в одной плоскости, например, плоскости основа-

29

где vсп — скорость центра относительно поверхности, vАс — скорость т. А относительно центра.

Если цилиндр движется без проскальзывания относительно поверхности, то vАп равна нулю. В этом случае vсп = − vАс, и угловая скорость обращения точек вокруг оси цилиндра

где R — радиус основания цилиндра (см. рис.8.1).

Скорость т. В, лежащей на вертикальном диаметре основания цилиндра (см. рис.8.1),

(модуль скорости т. В относительно центра vвс = ωR = vсп). Мгновенная ось вращения — ось вращения, скорость точек ко-

торой равна нулю (в рассматриваемом случае относительно поверхности).

Скорость любой точки цилиндра относительно поверхности равна линейной скорости при вращении цилиндра с угловой скоростью ω вокруг мгновенной оси вращения, которая в случае движе-

30