Астахов Механика. Конспект лекций 2011

Равнодействующая всех сил, приложенных к абсолютно твердому телу, равна сумме этих сил:

i=1

где Fi — силы, приложенные к абсолютно твердому телу.

Линия действия Fр находится из условия равенства момента

пары сил, причем для нахождения равнодействующей этих сил они переносятся по их линиям действия в точку пересечения этих линий и затем складываются. Полученная Fрi,j любых двух сил складывается таким же способом с оставшимися силами по очереди,

71

где L — расстояние между линиями действия сил (хр может находиться вне абсолютно твердого тела).

Условия равновесия твердого тела

1. Сумма всех сил, приложенных к твердому телу, равна нулю:

i=1

Для плоской системы сил (сил, лежащих в одной плоскости, например, плоскости хОy) уравнению (17.6) эквивалентна система уравнений для проекций сил:

2. Сумма моментов всех сил, приложенных к телу и лежащих в одной плоскости, относительно любой оси вращения равна нулю:

i=1

При равновесии бруска, находящегося на горизонтальной опоре (рис.17.4,а), линия действия силы реакции опоры R = (N + Fтр) проходит через точку пересечения силы тяжести и внешней силы (линия действия нормальной силы реакции опоры N не проходит через центр тяжести бруска).

При равновесии бруска, находящегося на наклонной опоре (рис.17.4,б), линия действия сила реакции опоры R = (N + Fтр) про-

72

ходит через центр тяжести тела (линия действия нормальной силы реакции опоры N не проходит через центр тяжести бруска).

Виды равновесия абсолютно твердого тела:

а) устойчивое — при любых малых отклонениях от первоначального положения возникают силы или моменты сил, стремя-

в) безразличное — не возникает сил или моментов сил, стремящихся возвратить или удалить тело от начального положения (рис.17.5,в), потенциальная энергия тела не изменяется.

Центр тяжести тела (системы тел) — точка, к которой приложена равнодействующая сил тяжести, приложенных ко всем частям данного тела (телам данной системы).

Сумма моментов сил тяжести всех частей тела (тел системы) относительно центра тяжести равна нулю.

73

К каждой i-й м.т. приложена сила тяжести Fтяж i = mig. Координата центра тяжести этой системы материальных то-

чек

i=1

где Fтяж i = mig — модуль силы тяжести i-й м.т. массой mi, координата которой хi.

Центр тяжести системы м.т. (тела) в случае, когда размеры системы (тела) таковы, что поле сил тяжести можно считать однородным, совпадает с центром масс системы материальных точек (тела).

где m1, x1, y1 — масса и координаты центра тяжести первого прямоугольника, m2, x2, y2 — масса и координаты центра тяжести второго прямоугольника соответственно.

74

ТЕМА 5. МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ

§18. Гидростатика

Гидростатика — раздел механики, в котором изучается равновесие жидкости и её взаимодействие с другими телами.

Жидкость, в отличие от твёрдого тела, не оказывает сопротивления внешним силам, стремящимся изменить её форму без изменения объёма (т.е. не оказывает сопротивления сдвигу). При воздействии внешними силами, стремящимися изменить объём жидкости, в ней возникают силы, препятствующие этому изменению.

Давление p — СФВ, равная пределу отношения модуля силы давления Fn, приложенной к поверхности тела в перпендикулярном направлении к ней, к площади S этой поверхности при ее бесконечном уменьшении:

При условии постоянства сил давления по всей поверхности тела давление определяется отношением:

Единица давления — паскаль: [р] = Па = Н/м2 = кг/с2.

Силы давления жидкости — силы, действующие со стороны жидкости на внешние тела, а также между частями самой жидкости. Силы давления покоящейся жидкости направлены перпендикулярно к поверхности тел (частей жидкости), к которым они приложены.

В покоящейся жидкости под действием поверхностных сил (сил, приложенных к поверхности жидкости со стороны соприкасающихся с ней тел) на любой по форме и объёму элемент жидкости внутри неё действуют силы давления, сумма которых равна нулю.

Закон Паскаля

Под действием поверхностных сил давление в любых частях

75

покоящейся жидкости одинаково.

Средняя плотность тела <ρ> — СФВ, равная отношению массы тела m к его объёму V:

Плотность тела (в окрестности точки) — СФВ, равная пределу отношения массы части тела, выбранной в окрестности данной точки, к объёму этой части, при его неограниченном уменьшении:

Единица плотности тела — килограмм на кубический метр:

[ρ] = кг/м3.

Однородное тело — тело, любые равные части которого имеют одинаковые физические свойства.

Плотность однородного тела — СФВ, равная отношению массы тела m к его объему V:

Плотность всех частей однородного тела одинакова и может быть определена через отношение массы mi любой части тела к ее объёму Vi:

Средняя плотность неоднородного тела, состоящего из однородных частей, может быть определена через отношение суммы масс всех однородных частей тела mi к сумме их объемов

Vi (i = 1,2,...,n):

i=1

76

Несжимаемая жидкость — жидкость, изменения плотности которой в зависимости от давления малы настолько, что ими в данной задаче можно пренебречь.

Если жидкость находится в поле сил тяжести, то на каждый её элемент действуют силы тяжести, называемые объёмными силами, которые обусловливают гидростатическое давление в жидкости.

Гидростатическое давление — давление в покоящейся жидко-

сти, находящейся в поле сил тяжести:

где ρж — плотность жидкости, g — модуль ускорения свободного падения, h — глубина уровня в жидкости.

Во всех точках любой горизонтальной плоскости в жидкости, характеризуемой глубиной h, гидростатическое давление одинаково (pгс = const) и не зависит от формы сосуда.

Закон сообщающихся сосудов

Высоты поверхностей двух разнородных жидкостей в открытых сообщающихся сосудах обратно пропорциональны плотностям этих жидкостей и не зависят от площадей поперечного сечения сосудов:

Закон Архимеда

На тело, погружённое в неподвижную жидкость (газ), действует выталкивающая сила (сила Архимеда), равная по модулю весу жидкости (газа) в объёме погружённой части тела, направленная вертикально вверх и приложенная к центру давления, который совпадает с центром тяжести жидкости в объёме погружённой части тела:

77

При свободном падении сосуда сила Архимеда равна нулю.

Условия плавания тел

Сила Архимеда FА, приложенная со стороны покоящейся жидкости (покоящегося газа) на погруженное в нее (него) тело, должна быть по модулю не меньше силы тяжести, действующей на это тело:

Для плавания тела в положении устойчивого равновесия необходимо, чтобы центр давления находился выше центра тяжести тела.

78

§19. Гидродинамика

Стационарное (установившееся) течение жидкости — тече-

ние жидкости, при котором во всех точках жидкости скорости частиц жидкости не зависят от времени.

Ламинарное течение жидкости — течение жидкости, при ко-

тором её соприкасающиеся слои движутся без перемешивания.

Турбулентное движение жидкости — течение жидкости, со-

провождающееся перемешиванием её слоёв. При таком движении скорость частиц жидкости в данном месте хаотически изменяется по модулю и направлению.

Линии тока — линии, касательные к которым в какой-либо точке совпадают с направлением скорости частиц жидкости в этой точке.

При стационарном ламинарном течении жидкости линии тока совпадают с траекториями частиц жидкости.

Трубка тока — поверхность, образованная линиями тока, проходящими через все точки замкнутого контура, выделенного внутри жидкости.

При стационарном течении жидкости:

а) трубки тока со временем не изменяются; б) частицы жидкости не выходят за пределы трубки тока;

в) массы жидкости, проходящей через любое поперечное сечение трубки тока за любые равные промежутки времени, одинаковы.

Уравнение неразрывности

При стационарном ламинарном течении несжимаемой жидкости произведение модуля скорости жидкости vi в любом i-ом поперечном сечении трубки тока на площадь этого поперечного сечения Si равно одной и той же

постоянной величине:

79

щадь поперечного сечения трубки тока, тем больше в этом сечении скорость и тем меньше давление жидкости.

Идеальная жидкость — жидкость, при течении которой силами вязкого трения можно в данной задаче пренебречь.

Уравнение Бернулли

При ламинарном течении идеальной жидкости выполняется соотношение:

80