Астахов Механика. Конспект лекций 2011

81

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Единицы физических величин

Международная система единиц имеет сокращенное название

SI (от начальных букв Systeme International d′Units) или в рус-

ской транскрипции СИ.

Она построена на семи основных (табл. П2.1) и двух дополнительных (табл. П2.2) единицах.

В механике используются часть основных и дополнительных единиц.

82

Метр равен длине пути, проходимого светом в вакууме за промежуток времени 1/299 792 458 с (1983 г).

При таком определении метра скорость света в вакууме равна точно 299 792 458 м/с.

Первоначально (1791 г.) метр определялся как одна десятимиллионная часть четверти земного меридиана, после измерения которого был изготовлен прототип метра.

Килограмм равен массе международного прототипа килограмма, который хранится в Международной палате мер и весов в г. Севре, Франция.

Секунда равна 9 192 631 770 периодам излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133, не возмущенного внешними полями.

Первоначально (1791 г.) секунда определялась как 1/86400 часть средних солнечных суток.

Радиан равен углу между двумя радиусами окружности, длина дуги между которыми равна радиусу.

Производные единицы

Производная единица образуется согласно физическому уравнению, связывающему данную физическую величину с другими физическими величинами, единицы которых известны.

Таким образом, производная единица физической величины представляет собой произведение основных и дополнительных единиц, возведенных в некоторые (соответствующие физическому уравнению) целочисленные степени, которые могут быть положительными, отрицательными или равными нулю.

Размерность

Физические величины характеризуются размерностью. Каждой из основных физических величин приписывают свою размерность. Размерность длины обозначают символом L, массы M, времени T, силы электрического тока I, термодинамической температуры Θ, силы света J, количества вещества N.

Размерности других физических величин выражают через размерности основных величин согласно определяющим уравнениям этих величин.

83

Например, размерность (обозначается dim, от dimension размерность) скорости, ускорения и силы имеют, соответственно, следующий вид:

По размерности физической величины можно определить, как изменилась бы единица этой величины с изменением размера основных единиц.

Некоторые физические величины могут быть безразмерными. Например, такими величинами являются обе дополнительные величины СИ.

Применяются также внесистемные единицы, некоторые из них приведены в табл. П2.3.

84

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Система координат

Прямолинейная координатная ось Ox (Oy,Oz) — прямая линия с выбранными положительным направлением (отмечается стрелкой), началом отсчета и единичным отрезком (масштабом).

Начало отсчёта — любая точка (обозначается буквой О), принадлежащая оси. Точка О делит ось на положительную (вдоль

— величина, равная:

в) нулю, если точка совпадает с началом отсчета.

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

— система, состоящая из двух взаимно перпендикулярных прямолинейных координатных осей. Точка пересечения осей называется началом координат и обозначается буквой О.

На рис.П3.2 представлена система прямоугольных координат xOy. Ось Ox называется также осью абсцисс, ось Oy — осью орди-

нат.

85

Проекция точки на ось — точка пересечения перпендикуляра,

где x1 и y1 — координаты точки N1, x2 и y2 — координаты точки N2 (см. рис.П3.2).

Прямоугольная декартова система координат в пространст-

zве — система, состоящая из трех взаимно перпендикулярных координатных осей, пересекающихся в одной точке, которая

Oz происходящим против хода часовой стрелки. Ось Oz называется также осью аппликат.

86

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

Скаляры. Функции и графики

Скаляр — величина, определяемая одним числом. Скаляр не зависит от направления в пространстве.

Две однородные скалярные физической величины равны, если при измерении их одной и той же единицей получаются одинаковые числа.

Приращение (изменение) некоторой величины A — разность между конечным (Aк) и начальным (Aн) значениями этой величины:

Убыль (разность) некоторой величины A — разность между начальным (Aн) и конечным (Aк) значениями этой величины:

Приращение и убыль некоторой величины может быть больше или меньше нуля или равняться нулю.

Между убылью и приращением величины A выполняется соотношение:

Функция y = f(x) или y = y(x) — правило, по которому каждому числу x сопоставляется число y.

Числа x называются значением аргумента функции, числа y — значением функции (в точке x).

Область определения функции D — множество X чисел x. Область значений функции R — множество Y чисел y.

График функции y(x) — множество точек на координатной

87

Графиком постоянной функции является прямая, параллельная оси Ох и пересекающая ось Оу в точке (0,с) или совпадающая с осью Ох. Постоянная функция есть частный случай линейной функции.

Линейная функция функция вида:

где а и b некоторые константы.

Графиком линейной функции является прямая линия. На рис.П4.1 приведены графики этой функции при различных постоянных а и b.

где а (а ≠ 0), b и с некоторые константы.

Графиком квадратичной функции является парабола.

Для построения графика квадратичной функции правую часть (П4.6) можно представить в виде:

что позволяет определить координаты вершины параболы. График квадратичной функции при а > 0 приведен на

88

рис.П4.2,а (ветви параболы направлены вверх), при а < 0 на рис.П4.2,б (ветви параболы направлены вниз).

Приращение функции y (соответствующее приращению аргумента x) — разность вида:

Производная функции у по аргументу х (обозначаетсяy′x , либо

dy/dx) — предел, к которому стремится отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечном уменьшении приращения аргумента:

(lim — означает предел).

Геометрический смысл производной

Производная функции y(x) в точке х0 равна тангенсу угла, образованного положительной полуосью Ох и касательной к графику функции в точке с абсциссой х0:

Производная линейной функции (П4.5) равна постоянной при аргументе.

89

Определение площади под графиком функции

На рис.П4.3 представлен график некоторой функции у(х) на отрезке [xн, xк].

Площадь S под графиком функции у(х) на отрезке [xн; xк] является площадью криволинейной трапеции CDFE, ограниченной графиком функции y(x), осью Ох от xн до xк и отрезками прямых х = xн и х = xк. Для определения этой площади отрезок [xн; xк] раз-

бивается на n отрезков [xi—1;xi], таких малых, что на каждом из них функцию можно считать либо постоянной, либо слабо изменяю-

щейся (максимальное изменение функции на любом малом отрезке значительно меньше минимального значения функции на этом отрезке).

Площадь под графиком функции равна пределу суммы произ-

ведений уi на приращения аргумента хi при бесконечном уменьшении всех хi:

Среднее значение функции y(x) на отрезке [xн,xк] — величина,

равная отношению определённого интеграла функции у(х) на отрезке [хн; хк] к приращению аргумента x на этом отрезке:

90