Астахов Механика. Конспект лекций 2011

пружины в нагруженном состоянии (рис.11.1,б). Начало координат находится в закрепленном конце пружины — т.А (в общем случае начало координат может находится в любой точке).

Единица жесткости пружины — ньютон на метр: [к] = Н/м.

Удлинение тела (пружины, стержня) при растяжении (укоро-

где L — длина нагруженного тела; L0 — длина ненагруженного тела.

Модуль силы упругости пружины прямо пропорционален мо-

дулю удлинения при растяжении (укорочения при сжатии) пружины L:

Сила упругости пружины приложена к внешнему телу, вызы-

вающему деформацию пружины.

Внешняя сила Fвнеш, приложенная к пружине, равна по модулю силе упругости пружины и направлена в противоположную сторону:

К закрепленному на опоре концу пружины также приложена сила Fопор, направленная противоположно внешней силе, модуль которой равен модулю внешней силы:

Если начало координат находится в точке, где находился незакрепленный конец ненагруженной пружины (рис.11.1б), то сила упругости пружины:

где r — радиус-вектор нагруженного внешней силой конца пружины.

Проекция силы упругости на ось Ох:

42

где х — координата незакреплённого конца пружины, называемая также смещением.

Жесткость системы соединенных пружин

При параллельном соединении пружин жесткости пружин складываются:

i=1

где кi — жесткость i–й пружины, n — число пружин.

На рис.11.2 показаны две параллельно соединенные пружины разных жесткостей. Для того, чтобы при нагружении пружин перемычка,

их соединяющая, была параллельна своему первоначальному положению, внешняя сила должна быть приложена ближе к пружине с большей жесткостью. Точка приложения внешней силы может быть

определена при использовании условий равновесия твердых тел

(§17).

При последовательном соединении пружин складываются величины, обратные жесткостям пружин:

Закон Гука для стержня

Стержень, площадь поперечного сечения которого равна S0, закреплен на опоре в сечении АВ (рис.11.4). К свободному концу стержня приложена внешняя сила Fвнеш, направленная по оси стержня. Стержень под действием этой силы находится в растяну-

43

том состоянии (может быть в сжатом состоянии, если направление силы изменить на противоположное).

Модуль силы упругости стержня прямо пропорционален мо-

дулю удлинения при растяжении (укорочения при сжатии) стерж-

одноосном растяжении (сжатии) σ

— СФВ, равная отношению модуля силы упругости к первоначальной площади поперечного сечения стержня:

Модуль Юнга Е — величина, характеризующая упругие свойства материала стержня. Он связан с жесткостью стержня к соотношением:

где L0 — длина ненагруженного стержня.

Единица напряжения и модуля Юнга — паскаль: [σ] = [E] = = Па = Н/м2 = кг/м с2.

Деформация стержня при одноосном растяжении (сжатии) ε

— СФВ, определяемая равенством:

где σ — напряжение в стержне, Е — модуль Юнга, ε — деформация стержня.

44

§12. Силы тяготения

Закон всемирного тяготения

Между двумя материальными точками действуют силы тяготения (гравитационные силы), являющиеся силами взаимного притяжения, модули которых прямо пропорциональны произведению их масс и обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними. Силы направлены по линии, проходящей через эти матери-

m2 равен r (рис. 12.1).

Сила тяготения Fтяг, действующая со стороны первой материальной точки на вторую:

где r расстояние между м.т. (модуль радиус-вектора r).

Закон тяготения в указанной форме (равенство 12.2) справедлив также для:

а) тел со сферически-симметричным распределением массы, при котором плотность (§18) является только функцией расстояния от центра тела; в этом случае r — расстояние между центрами масс тел;

45

б) тел, одно из которых, имеющее сферически-симметричное распределение массы, по размерам значительно превосходит второе. В этом случае r — расстояние между центром масс первого тела и вторым телом, которое можно рассматривать как материальную точку.

В общем случае, силы тяготения, с которыми действуют друг на друга материальные точки, могут быть представлены в виде выражения:

Сила тяжести

На тело, расположенное в точке А (рис.12.3) на поверхности Земли, характеризующейся широтой ϕ, действуют сила тяготения Fтяг и сила реакции опоры R. Сумма этих сил равна равнодействующей Fцс (центростремительной силе), обеспечивающей вращение тела совместно с Землей вокруг ее оси:

Модуль центростремительной силы

46

где Т — период вращения Земли вокруг своей оси, Rз — радиус Земли.

Сила тяжести Fтяж — сила, под действием которой все тела падают относительно поверхности Земли с ускорением свободного падения g (без учета силы сопротивления воздуха):

Вследствие вращения Земли вокруг своей оси система отсчета, связанная с поверхностью Земли, является неинерциальной и сила тяжести несколько отличается от силы тяготения (см. рис.12.3).

R

Fцс A

ϕ

Fтяг Fтяж

ЮРис. 12.3

Однако это отличие мало, и для решения задач можно считать,

что

где Mз — масса Земли, Rз— радиус Земли.

Значение g = 9,806 м/с2 принято в качестве стандартного.

Вес тела FВ — сила, с которой тело действует на опору или подвес, удерживающие его от свободного падения.

Вес тела по модулю равен силе реакции опоры и направлен противоположно ей (на рис.12.4 брусок рассматривается как материальная точка).

47

Если опора неподвижна (или движется равномерно и прямолинейно) относительно поверхности Земли,

Rто вес тела равен силе тяжести (эти силы приложены к разным телам):

меньше или равным модулю силе тяжести.

Состояние невесомости — состояние, при котором вес тела равен нулю.

т.е. при свободном падении тела.

Состояние перегрузки — состояние, при котором модуль веса тела больше модуля силы тяжести.

Первая космическая скорость — скорость спутника планеты,

радиус орбиты Rор которого незначительно превышает радиус планеты Rпл:

где g — ускорение свободного падения на поверхности Земли, R3 — радиус Земли.

48

Скорость изменения импульса м.т. относительно инерциальной системы отсчета (ИСО) равна приложенной к ней силе:

Импульс силы S — ВФВ, равная пределу суммы произведений сил на соответствующие промежутки времени их действия при бесконечном уменьшении промежутков времени:

Единица импульса силы — ньютон-секунда: [S] = Н с = кг м/с.

49

Приращение импульса м.т. относительно ИСО равно импульсу силы за промежуток времени t:

Скорость изменения импульса м.т. относительно ИСО при од-

новременном приложении к ней нескольких сил равна сумме всех приложенных сил (или равнодействующей силе):

Если равнодействующая сила постоянна (Fp = const) на промежутке времени t, то приращение импульса м.т. равно импульсу равнодействующей силы:

В общем случае, если равнодействующая сила непостоянна, то приращение импульса м.т. может быть найдено через среднее рав-

нодействующей силы Fр :

tн

Импульс системы м.т. равен сумме импульсов всех м.т., принадлежащих данной системе:

где pi — импульс i-й м.т. массой mi, движущейся со скоростью vi.

50