Астахов Механика. Конспект лекций 2011

ния цилиндра без проскальзывания проходит через точки касания цилиндра с поверхностью (в том числе и через т.А).

Например, абсолютная величина скорости т.В, модуль радиусвектора которой rвА = 2R (см. рис 8.1),

что совпадает со значением, найденным по формуле (8.5). Скорость т. P (относительно поверхности) зависит от угла α

Рис. 8.2

где rpА — модуль вектора rpА, равный расстоянию от мгновенной оси вращения (т.А) до точки Р.

При решении задач на движение твердого тела с использованием мгновенной оси вращения для нахождения ее положения можно провести перпендикуляры через начала скоростей двух точек твердого тела. Точка пересечения этих перпендикуляров принадлежит мгновенной оси вращения. Если скорости лежат на одном перпендикуляре (см. т.С и т.В на рис. 8.1), необходимо провести дополнительно прямую (годограф скоростей) через концы скоростей этих двух точек (см. штрихпунктирную прямую на рис. 8.1), пересечение которой с перпендикуляром определит положение мгновенной оси вращения. Кроме того, при определении скоростей точек твердого тела можно использовать то, что проекции скоростей точек на ось, проходящую через эти точки, должны быть одинаковыми (расстояние между точками абсолютно твердого тела не изменяется). Например, проекции скоростей т.Р и т.В на ось, проходящую через эти точки равны 2ωRcosα (или −2ωRcosα), т.е. одинаковы.

Ускорения любой точки основания цилиндра относительно поверхности и относительно центра в случае постоянства скорости

31

поступательного движения оси цилиндра одинаковы и направлены к центру основания цилиндра.

Ускорение любой точки основания цилиндра относительно центра (и относительно поверхности) может быть найдено из равенства:

где rтс — радиус-вектор, начало и конец которого находятся в центре основания цилиндра и в выбранной точке соответственно.

Например, ускорение т.Р (см. рис.8.2) направлено к центру основания цилиндра, причем относительно центра является центростремительным (нормальным) ускорением.

Модуль ускорения

поскольку rРс = R.

Относительно поверхности ускорение т.Р может быть разложено на нормальное арn и тангенциальное aрτ ускорения (см. рис.8.2), модули которых зависят от угла α между вертикалью и прямой АР:

Используя равенство (3.9), можно определить радиус кривизны траектории (относительно поверхности) в т.Р:

Центр кривизны траектории в т.Р лежит на прямой, проходящей через точки Р и А.

32

ТЕМА 2. ДИНАМИКА

Динамика — раздел механики, в котором рассматривается взаимодействие тел и его влияние на их движение.

§9. Законы Ньютона

Классическая динамика основана на трёх законах Ньютона, являющихся обобщением большого количества опытных (экспериментальных) данных.

Механическое действие тел — действие, вызывающее дефор-

мацию (изменение размеров и формы тела) и ускорение (по отдельности или совместно) взаимодействующих тел.

Механическое взаимодействие происходит как между телами находящимися в контакте, так и между телами, находящимися на некотором расстоянии друг от друга. В последнем случае, взаимодействие осуществляется посредством силового поля (области пространства, в которой на тело действует сила).

Сила F — ВФВ, являющаяся мерой механического воздействия на данное тело другого тела. Сила характеризуется направлением, абсолютной величиной и точкой приложения.

Единица силы — ньютон: [F] = Н = кг м/с2.

Система тел — тела, объединенные в группу при решении данной задачи.

Внутренние тела — тела, принадлежащие данной системе. Внешние тела — тела, не принадлежащие данной системе. Замкнутая система тел — система, ни одно из тел которой не

взаимодействует с внешним телом (внешними телами). Незамкнутая система тел — система, хотя бы одно из тел

которой взаимодействует с внешним телом (внешними телами). Внутренние силы — силы, с которыми взаимодействуют тела,

принадлежащие данной системе.

Внешние силы — силы, с которыми на тела данной системы действуют внешние тела.

Инертность — свойство тела, состоящее в том, что для изменения скорости тела при воздействии на него другого тела (или нескольких тел) требуется некоторый промежуток времени.

33

Гравитационное взаимодействие тел — взаимное притяжение тел, силы которого пропорциональны массам этих тел.

Масса тела m — СФВ, являющаяся мерой инертности тела и гравитационного взаимодействия тел.

Свойства массы: является положительной величиной (m > 0);

не зависит от скорости тела (m = const);

масса системы тел равна сумме масс всех тел, входящих в эту

n

систему ( mс = ∑mi , где n — число тел системы);

i=1

масса замкнутой системы тел остаётся неизменной при всех процессах, происходящих в этой системе (mз.с = const).

Единица массы — килограмм: [m] = кг.

Первый закон Ньютона

Существуют системы отсчёта, называемые инерциальными системами отсчёта (ИСО), относительно которых материальная точка (м.т.) движется равномерно и прямолинейно или покоится, если на нее не действуют другие материальные точки.

Для решения некоторых задач систему, связанную с поверхностью Земли (геоцентрическая система), можно считать инерциальной. Система отсчета, связанная с центром Солнца (гелиоцентрическая система), является инерциальной системой отсчета для решения задач с большей точностью.

Система отсчета, движущаяся относительно любой инерциальной системы отсчета с постоянной скоростью, также является инерциальной системой отсчета.

Свободная материальная точка — материальная точка, на которую не действуют другие материальные точки.

Первый закон Ньютона с использованием понятия «свободная материальная точка»:

существуют системы отсчёта, называемые инерциальными системами отсчета (ИСО), относительно которых скорость свободной материальной точки постоянна:

(в случае покоя свободной материальной точки const = 0).

34

Второй закон Ньютона

Относительно инерциальной системы отсчёта ускорение материальной точки прямо пропорционально приложенной к ней силе F и обратно пропорционально массе m этой материальной точки:

Принцип независимости действия (суперпозиции) сил

Относительно инерциальной системы отсчёта ускорение материальной точки при одновременном приложении к ней нескольких сил прямо пропорционально сумме всех приложенных сил и обратно пропорционально массе m этой материальной точки:

n

∑Fi

где Fi — сила, с которой i-я м.т. действует на данную м.т. по отдельности, n — число сил, приложенных к данной материальной точке.

Равнодействующая сила Fр — сила, равная сумме всех сил Fi (i = 1,2,...,n), одновременно приложенных к данной материальной точке:

i=1

Второй закон Ньютона с использованием понятия «равнодействующая сила» запишется в виде равенства:

Динамическое уравнение движения материальной точки:

i=1

35

Виды фундаментальных взаимодействий:

а) гравитационное; б) электромагнитное; в) сильное (ядерное); г) слабое.

Гравитационное взаимодействие существует между всеми телами и частицами при любых, в том числе больших, расстояниях (является дальнодействующим). Электромагнитное взаимодействие существует между электрически заряженными телами и частицами и также является дальнодействующим. Сильное взаимодействие проявляется в атомных ядрах (на расстояниях порядка 10−15 м), слабое — между элементарными частицами на расстояниях порядка 10−18 м. Сильное и слабое взаимодействия являются короткодействующими и в классической механике не рассматриваются.

36

Виды сил в механике: а) силы трения; б) силы упругости; в) силы тяготения.

Механический принцип относительности Галилея

Пусть система отсчета К′ движется равномерно и прямолинейно со скоростью v = const относительно системы отсчета К (на рис.9.2 оси Oz и O′z′ направлены перпендикулярно листу).

Абсолютный характер ускорения в классической механике

ускорения м.т. во всех ИСО одинаковы:

Механический принцип относительности Галилея законы механического движения одинаковы во всех инерциальных систем отсчёта.

Неинерциальные системы отсчёта (НСО) — системы отсчёта,

движущиеся с ускорением относительно любой ИСО.

При определении ускорения материальной точки в неинерциальной системе отсчета (НСО) в динамическое уравнение (9.9) добавляется сила инерции

37

где a — ускорение данной неинерциальной системы отсчета (НСО) относительно любой инерциальной системы отсчета (ИСО).

Динамическое уравнение относительно неинерциальной системе отсчета:

i=1

где анc — ускорение материальной точки относительно неинерциальной системы отсчета (НСО).

Особенностью сил инерции является то, что к ним не применим третий закон Ньютона.

На рис.10.1 показаны брусок, находящийся на горизонтальной поверхности опоры, и силы, приложенные к нему: сила реакции опоры R, сила тяжести mg (§12) и сила F (брусок рассматривается как м.т. и поэтому все силы изображены приложенными к точке, расположенной в центре бруска).

Сила реакции опоры R (является внутренней силой в системе брусок — опора) может быть разложена на две составляющие — силу трения Fтр, параллельную поверхности опоры, и нормальную силу реакции опоры N, перпендикулярную поверхности опоры:

Сила трения покоя Fтр.п. равна по модулю и направлена проти-

38

воположно Fпар составляющей силы F, параллельной поверхности соприкосновения бруска с опорой (см. рис.10.1):

Равенство (10.2) выполняется в диапазоне от нуля до максимальной силы трения покоя Fтр.п.м.

Модуль максимальной силы трения покоя прямо пропорционален модулю нормальной силы реакции опоры:

где μп — коэффициент трения покоя.

Максимальная сила трения покоя может быть представлена в виде выражения:

Движение бруска относительно опоры происходит при усло-

вии:

Сила трения скольжения Fтр.ск направлена противоположно скорости бруска относительно опоры v:

где μск — коэффициент трения скольжения.

Модуль силы трения скольжения прямо пропорционален модулю нормальной силы реакции опоры:

Коэффициент трения скольжения μск несколько меньше коэффициента трения покоя μп. Для решения некоторых задач их можно считать одинаковыми и равными коэффициенту трения μ:

39

Вязкое трение — трение между твердым телом и окружающей его жидкой или газообразной средой или между слоями жидкостей и газов.

Сила вязкого трения — сила воздействия жидкой (или газообразной) среды на движущееся в ней тело.

Сила вязкого трения покоя равна нулю.

При малых скоростях тела сила вязкого трения прямо пропорциональна скорости тела относительно среды, в которой находится данное тело:

При больших скоростях тела сила сопротивления среды про-

40